第三章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第三章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第1頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.1系統(tǒng)的微分方程3.1.1建立微分方程的基本步驟（1）確定系統(tǒng)或各組成元件的輸入、輸出量。（2）根據(jù)各變量所遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和物理定律，列寫出信號(hào)在傳遞過程中各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微分方程。（3）按照系統(tǒng)的工作條件，忽略一些次要因素，對(duì)已建立的原始動(dòng)態(tài)微分方程進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，并考慮相鄰元件間是否存在負(fù)載效應(yīng)。（4）消除所列動(dòng)態(tài)微分方程的中間變量，得到描述系統(tǒng)的輸入、輸出量之間關(guān)系的微分方程。（5）整理所得的微分方程。第2頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.1.2機(jī)械系統(tǒng)的微分方程在機(jī)械系統(tǒng)中，有些部件具有較大的慣性和剛度，而另一些部件則慣性較小、柔性較大。我們將前一類部件的彈性忽略，將其視為質(zhì)量塊；而把后一類部件的慣性忽略，將其視為無質(zhì)量的彈簧。這樣，機(jī)械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)。通過牛頓第二定律將質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)（位移、速度和加速度）與力聯(lián)系起來，建立機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，即機(jī)械系統(tǒng)的微分方程。第3頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為了分析這個(gè)系統(tǒng)，首先將動(dòng)力滑臺(tái)連同銑刀抽象成如3.1(b)所示的質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)的力學(xué)模型(其中，m為受控質(zhì)量；k為彈性剛度；c為粘性阻尼系數(shù)；yo(t)為輸出位移)。根據(jù)牛頓第二定律

例3－1如圖3.1(a)所示的組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)銑平面時(shí)的情況。工件動(dòng)力滑臺(tái)（a)(b)圖3.1組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)及其動(dòng)力學(xué)模型第4頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三的運(yùn)動(dòng)方程。例3－2如圖3.2(a)所示的機(jī)械位移系統(tǒng)。它由彈簧K、質(zhì)量塊m、阻尼器c所組成。試寫出在外力的作用下，質(zhì)量可得將輸出變量項(xiàng)寫在等號(hào)的左邊，將輸入變量項(xiàng)寫在等號(hào)的右邊，并將各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，得上式就是組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)銑平面時(shí)的機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即微分方程。塊m的位移第5頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖3.2機(jī)械位移系統(tǒng)(a)(b);阻位移在本題中的輸入變量為外力，輸出變量為質(zhì)量塊m的，受控對(duì)象為質(zhì)量塊m。

取質(zhì)量塊m對(duì)其進(jìn)行受力分析，作用在質(zhì)量塊m上的力有外力;彈簧的彈力

尼器的阻尼力。由牛頓第二定律得第6頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為阻尼比。

，即令，。，則上式可寫成（3.1）

式中，T稱為時(shí)間常數(shù)，單位為秒，顯然上式描述的質(zhì)量塊m的位移的運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)二階線性定常微分方程。第7頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三齒輪1和齒輪2的原動(dòng)轉(zhuǎn)矩及負(fù)載轉(zhuǎn)矩分別是、和、。其粘性摩擦系數(shù)及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別是、和、；例3－3試列寫圖3.3(a)所示的齒輪系的運(yùn)動(dòng)方程。圖中齒輪1和齒輪2的轉(zhuǎn)速、齒數(shù)和半徑分別用、、和、、

表示；

(a)(b)圖3.3齒輪系解：

在齒輪傳動(dòng)中，兩個(gè)嚙合齒輪的線速度相同，傳送的功率亦相同，因此齒數(shù)與半徑成正比，即第8頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可得齒輪1和齒輪2的運(yùn)動(dòng)方程為消去中間變量，可得

令則得齒輪系微分方程為第9頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：當(dāng)汽車沿著道路行駛時(shí)，輪胎的垂直位移作為一種運(yùn)動(dòng)激勵(lì)作用在汽車的懸浮系統(tǒng)上。該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由質(zhì)心的平移運(yùn)動(dòng)和圍繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所組成。建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是相當(dāng)復(fù)雜的。例3－4圖3.4(a)表示了一個(gè)汽車懸浮系統(tǒng)的原理圖，試求汽車在行駛過程中的數(shù)學(xué)模型。質(zhì)心車體(a)(b)圖3.4汽車懸浮系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)模型第10頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三根據(jù)牛頓第二定律，可得圖3.4(b)表示了經(jīng)簡(jiǎn)化后的懸浮系統(tǒng)，只考慮車體在垂直方向的運(yùn)動(dòng)。

即第11頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.1.3電氣系統(tǒng)的微分方程

通過應(yīng)用一種或同時(shí)應(yīng)用兩種基爾霍夫定律，就可以得到電路系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

電氣系統(tǒng)所遵循的基本定律是基爾霍夫電流定律和電壓定律?；鶢柣舴螂娏鞫?也稱節(jié)點(diǎn)電流定律)表明，流入節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流出同一節(jié)點(diǎn)的電流之和；基爾霍夫電壓定律(也稱環(huán)路電壓定律)表明，在任意瞬間，在電路中沿任意環(huán)路的電壓的代數(shù)和等于零。第12頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三。輸入變量，中間變量為。，輸出變量為例3－5RLC無源網(wǎng)絡(luò)如圖3.5所示，圖中R、L、C分別為電阻、電感、電容。試列出以為輸入，為輸出的微分方程。RLC圖3.5RLC無源網(wǎng)絡(luò)解設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的電流為忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。解

：由基爾霍夫定律得，消去中間變量，得令，，則

（3.2）又第13頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中，T為時(shí)間常數(shù)，單位為秒，為阻尼比。顯然上式描述的以為輸入電壓，為輸出電壓的網(wǎng)絡(luò)微分方程是一個(gè)二階線性定常微分方程。例3－6圖3.6所示為兩個(gè)形式相同的RC網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)而成的濾波網(wǎng)絡(luò)。試寫出以輸出電壓和輸入電壓為變量的濾波網(wǎng)絡(luò)微分方程。R2C2圖3.6兩級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)C1R1解：（1）考慮負(fù)載效應(yīng)時(shí)根據(jù)基爾霍夫定律，得：第14頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三消去中間變量后得（3.3）即濾波網(wǎng)絡(luò)微分方程。如果孤立地分別寫出R1C1和R2C2這兩個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程。則對(duì)前一個(gè)環(huán)節(jié)，有（3.4）

（2）不考慮負(fù)載效應(yīng)時(shí)式中，為此時(shí)前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出與后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入。（3.5）

對(duì)后一個(gè)環(huán)節(jié)，有第15頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三消去中間變量，得（3.6）特別指出：負(fù)載效應(yīng)是物理環(huán)節(jié)之間的信息反饋?zhàn)饔?，相鄰環(huán)節(jié)的串聯(lián)，應(yīng)該考慮它們之間的負(fù)載效應(yīng)。對(duì)于電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)而言，只有當(dāng)后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入阻抗很大，對(duì)前面環(huán)節(jié)的影響可以忽略時(shí)，方可單獨(dú)分別列寫每個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程。3.1.4機(jī)電系統(tǒng)的微分方程對(duì)于較復(fù)雜的控制系統(tǒng)，列寫系統(tǒng)微分方程可采用以下步驟：分析系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)和工作原理，將系統(tǒng)按照其組成結(jié)構(gòu)和屬性劃分為各組成環(huán)節(jié)，并確定各環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量；

(2)根據(jù)各組成環(huán)節(jié)的屬性和所遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和物理定律，第16頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3－7在圖3.7所示的機(jī)電系統(tǒng)中，在質(zhì)量塊上產(chǎn)生的電磁力為，為輸出為輸入電壓，列寫每一個(gè)環(huán)節(jié)的原始微分方程，并將其適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化；(3)按照系統(tǒng)的工作原理，根據(jù)信號(hào)在傳遞過程中能量的轉(zhuǎn)換形式，找出各組成環(huán)節(jié)的相關(guān)物理量，將各組成環(huán)節(jié)的微分方程聯(lián)立，消去中間變量，最后得到系統(tǒng)得微分方程。位移。R和L分別為鐵芯線圈的電阻與電感，m為質(zhì)量塊的質(zhì)量，k為彈簧的剛度，c為阻尼器的阻尼系數(shù)，功率放大器為一理想放大器，其增益為K。

假定鐵芯線圈的反電動(dòng)勢(shì)為，線圈電流并設(shè)全部初始條件為零。試列寫該系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。第17頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖3.7機(jī)電系統(tǒng)RL功率放大器對(duì)于電氣系統(tǒng)這個(gè)環(huán)節(jié)，根據(jù)基爾霍夫定律，寫出原始方程：對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)這個(gè)環(huán)節(jié)，根據(jù)牛頓第二定律，寫出原始方程，可得消去中間變量，并整理得即為該系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。第18頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3－8試列寫圖3.8所示的電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的輸入輸出微分方程。電樞的輸入電壓為輸為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向

對(duì)于電樞回路，設(shè)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)為動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩，設(shè)激磁磁通為常值。為折合到電出量，圖中R、L分別為電樞電路的電阻和電感，負(fù)載圖3.8電樞控制直流電動(dòng)機(jī)原理圖RL，其大小（3.7）與電樞電壓相反，即根據(jù)基爾霍夫定律，得：（3.8）

解：第19頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)于負(fù)載而言，設(shè)f是電動(dòng)機(jī)折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)，J是電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程為

（3.10）將式（3.7）～（3.10）消去中間變量，可得到電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程（3.11）在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感L較小，通常忽略不動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)為，則電磁回路的轉(zhuǎn)矩方程（3.9）對(duì)于電磁回路，設(shè)電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩為，電第20頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中，是電動(dòng)機(jī)的時(shí)間常數(shù)，是電動(dòng)機(jī)的傳遞系數(shù)。

如果電樞電阻R和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J都很小，可忽略不計(jì)時(shí)，式（3.12）還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為（3.13）成正比，于是，電與電樞電壓這時(shí)，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速動(dòng)機(jī)可作為測(cè)速發(fā)電機(jī)使用。（3.12）計(jì)，因而式（3.11）可簡(jiǎn)化為第21頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三，系統(tǒng)微分3.2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對(duì)線性定常系統(tǒng)，若輸入為

3.2.1傳遞函數(shù)的基本概念，輸出為（3.14）方程的一般形式可表示為在零初始條件下，即當(dāng)外界輸入作用前，輸入、輸出的，，…，

初始條件和，，…，均為零時(shí)，對(duì)式（3.14）作拉氏變換得

（3.15）第22頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在外界輸入作用前，輸入、輸出的初始條件為零時(shí)，線的拉氏變換與輸?shù)睦献儞Q之比，稱為該系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件）的表示。

入性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件）的輸出傳遞函數(shù)，用（3.16）則（3.17）將式（3.17）所表示的系統(tǒng)用方框圖表示為圖3.9所示。如無特別聲明，一般將外界輸入作用前的輸出的初始條件，，…，稱為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。，圖3.9系統(tǒng)方框圖第23頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三傳遞函數(shù)分母的階次與各項(xiàng)系數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的與外界無關(guān)的固有特性，而分子的階次與各項(xiàng)系數(shù)取決于系統(tǒng)與外界之間的關(guān)系。所以，傳遞函數(shù)的分母與分子分別反映了由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)所決定的系統(tǒng)的固有特性和系統(tǒng)與外界之間的聯(lián)系。由于已設(shè)初始狀態(tài)為零，而這一輸出與系統(tǒng)在輸入作用前的初始狀態(tài)無關(guān)。

（3.18）傳遞函數(shù)具有如下一些主要特點(diǎn)：(2)當(dāng)系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零時(shí)，對(duì)于給定的輸入，系統(tǒng)輸出的拉氏逆變換完全取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。式（3.17）通過拉氏逆變換，便可求得系統(tǒng)在時(shí)域中的輸出第24頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)傳遞函數(shù)分母中s的階次n不會(huì)小于分子中s的階次m,即n≥m。

(4)傳遞函數(shù)可以有量綱，也可以是無量綱的，這取決于系統(tǒng)輸出的量綱與輸入的量綱。

(5)物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)、環(huán)節(jié)或元件，可以具有相同類型的傳遞函數(shù)。

(6)傳遞函數(shù)非常適用于對(duì)單輸入、單輸出的線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行描述。

第25頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.2.2傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)是以復(fù)變量s作為自變量的函數(shù)。通過因式分解后，傳遞函數(shù)G(s)可以寫成如下的一般形式：

K為常數(shù)（3.19）由復(fù)變函數(shù)可知，在式（3.19）中，當(dāng)s=zj(j=1,2,…,m)時(shí)，均能使傳遞函數(shù)G(s)＝0，稱z1,z2,…,zm為傳遞函數(shù)G(s)的零點(diǎn)。當(dāng)s=pi(i=1,2,…,n)時(shí)，均能使傳遞函數(shù)G(s)的分母等于零，即使傳遞函數(shù)G(s)取極值

(i=1,2,…,n)

（3.20）因此，稱p1,p2,…,pn為傳遞函數(shù)G(s)的極點(diǎn)，即系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)也就是系統(tǒng)微分方程的特征根。第26頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果用拉氏變換求解系統(tǒng)的微分方程可得系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，其瞬態(tài)響應(yīng)由以下形式的分量所構(gòu)成，，其中，p和是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，也就是系統(tǒng)微分方程的特征根。假定所有的極點(diǎn)是負(fù)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)，即，當(dāng)時(shí)，上述分量將趨近于零，瞬態(tài)響應(yīng)是收斂的。在這種情況下，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，也就是說系統(tǒng)是否穩(wěn)定由系統(tǒng)的極點(diǎn)性質(zhì)所決定。

同樣，根據(jù)拉氏變換求解系統(tǒng)的微分方程可知，當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)一定時(shí)，系統(tǒng)的零、極點(diǎn)決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，即零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有影響，但它對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀有影響。第27頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三當(dāng)s=0時(shí)若系統(tǒng)輸入為單位階躍信號(hào)，即，根據(jù)拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出值為所以G(0)決定著系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出值，由式（3.16）可知，G(0)就是系統(tǒng)的放大系數(shù)。

由上述可知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù)決定著系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。

第28頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三，可以用如下的形式3.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)對(duì)于線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如果將上式進(jìn)行因式分解，總可以分解為如下一些因式的有限組合：描述：（3.21），，，，，這些簡(jiǎn)單因式可以構(gòu)成獨(dú)立的控制單元，并具有各自獨(dú)特的動(dòng)態(tài)性能，我們稱這些簡(jiǎn)單因式作為傳遞函數(shù)所構(gòu)成的控制單元為典型環(huán)節(jié)。式（3.21）所表示的典型環(huán)節(jié)分別為：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延時(shí)環(huán)節(jié)。

第29頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.比例環(huán)節(jié)

也稱為放大環(huán)節(jié)，無慣性環(huán)節(jié)，零階環(huán)節(jié)。凡輸出量與輸入量成正比，輸出不失真也不延遲，而按比例反映輸入量的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)。其輸入輸出方程為（3.22）為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或式中，為輸出，為輸入，增益。其傳遞函數(shù)為：用方框圖表示圖3.10比例環(huán)節(jié)方框圖第30頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為輸出電壓；R1、R2為電阻。為輸入電壓，圖3.11運(yùn)算放大器R2R1例3－9求如圖3.11所示的運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)。其中，的關(guān)系為解輸入電壓與輸出電壓經(jīng)拉氏變換后，得則運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)第31頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若齒輪副無傳動(dòng)間隙，且傳動(dòng)系統(tǒng)的剛性為無窮大。那分別為輸入和輸出軸的轉(zhuǎn)速，z1、z2為齒輪的齒數(shù)。例3－10求如圖3.12所示的齒輪傳動(dòng)副的傳遞函數(shù)。、圖3.12齒輪傳動(dòng)副解，故有，就會(huì)產(chǎn)生輸出轉(zhuǎn)速么，一旦有輸入轉(zhuǎn)速經(jīng)拉氏變換后，得則齒輪傳動(dòng)副的傳遞函數(shù)式中，K為齒輪副的傳動(dòng)比。第32頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.慣性環(huán)節(jié)也稱為一階慣性環(huán)節(jié)。凡在時(shí)域中，如果輸入、輸出量可表達(dá)為如下一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。設(shè)初始狀態(tài)為零，將上式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，得則

（3.23）式中，K為慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù)，T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的方框圖第33頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖3.16微分環(huán)節(jié)方框圖在慣性環(huán)節(jié)中，總是含有一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)于突變形式的輸入，其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出總是落后于輸入。例3－11求如圖3.14所示的質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)的傳遞函為輸入位移，為輸出位移，k為彈簧的剛度，c為阻數(shù)。尼器的阻尼系數(shù)。圖3.14忽略質(zhì)量的阻尼—彈簧系統(tǒng)解若質(zhì)量塊的質(zhì)量m相對(duì)很小，可以忽略其影響。根據(jù)牛頓第二定律，有經(jīng)拉氏變換后，得第34頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三電壓，為電流，R為電阻，C為電容。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。為輸出故傳遞函數(shù)為：式中，T為慣性系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，且。RC圖3.15無源濾波網(wǎng)絡(luò)例3－12圖3.15為無源濾波網(wǎng)絡(luò)，為輸入電壓，解根據(jù)基爾霍夫定律，有消去中間變量，得

第35頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三正比于輸入量經(jīng)拉氏變換后，得

故傳遞函數(shù)為：式中，T＝RC為慣性系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。凡在時(shí)域中，如果輸出量的微分，3.微分環(huán)節(jié)即具有形式的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié)。將上式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，第36頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三則傳遞函數(shù)為：式中，T為微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。微分環(huán)節(jié)的方框圖

（3.24）圖3.16微分環(huán)節(jié)方框圖

微分環(huán)節(jié)的輸出反映了輸入的微分關(guān)系，當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出在理論上將是一個(gè)幅值為無窮大而時(shí)間寬度為零的脈沖函數(shù)，這在實(shí)際中是不可能的。這也證明了傳遞函數(shù)中分子的階次不可能高于分母的階次。因此，微分環(huán)節(jié)不可能單獨(dú)存在，它是與其他環(huán)節(jié)同時(shí)存在的。因此，式（3.24）定義的微分環(huán)節(jié)稱為理想的微分環(huán)節(jié)。第37頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3－13圖3.17是機(jī)械液壓阻尼器的原理圖。圖中A為活塞面積，k為彈簧剛度，R為液體流過節(jié)流閥上阻尼小孔時(shí)的液阻，p1、p2分別為液壓缸左右腔單位面積上的壓力。輸入量是活塞，輸出量是液壓缸的位移。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。位移圖3.17機(jī)械液壓阻尼器解液壓缸的力平衡方程為通過節(jié)流閥上阻尼小孔的流量方程為以上二式中消去p1、p2，得到第38頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為輸入電壓，即

經(jīng)拉氏變換后，得

故傳遞函數(shù)為：

令，得、為電流，和為電阻，C為電容，例3－14圖3.18也是一個(gè)具有慣性的微分環(huán)節(jié)。圖中R1、R2為輸出電壓。求其傳遞函數(shù)。第39頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三CR1圖3.18具有慣性的微分環(huán)節(jié)R2解根據(jù)基爾霍夫定律，有代入將、中，得對(duì)、進(jìn)行拉氏變換，分別得到第40頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三消去中間變量則傳遞函數(shù)為式中，稱為時(shí)間常數(shù)。而當(dāng)時(shí)，經(jīng)拉氏變換后，得故傳遞函數(shù)函數(shù)為式中，稱為時(shí)間常數(shù)。第41頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如對(duì)一比例環(huán)節(jié)Kp施加一速度函數(shù)，即單位斜坡函數(shù)作為輸入，則當(dāng)Kp＝1時(shí)，此環(huán)節(jié)在時(shí)域中的輸出即為45°斜線，如圖3.19所示；若對(duì)此比例環(huán)節(jié)再并聯(lián)一個(gè)微分環(huán)節(jié)KpTs，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（如圖3.20(b)所示）:在控制系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)主要用來改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，其控制作用如下所述：0圖3.19比例環(huán)節(jié)(Kp＝1)的輸入輸出曲線即系統(tǒng)并聯(lián)了微分環(huán)節(jié)（在Kp＝1時(shí)）它所增加的輸出（1）使系統(tǒng)的輸出提前，即對(duì)系統(tǒng)的輸入有預(yù)測(cè)作用。第42頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三，故微分環(huán)節(jié)所增加的輸出為：因?yàn)樵敵?a)

(b)

0圖3.20微分環(huán)節(jié)的控制作用新輸出第43頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）增加系統(tǒng)的阻尼。如圖3.21(a)所示，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(a)圖3.21微分環(huán)節(jié)增加系統(tǒng)的阻尼(b)

對(duì)系統(tǒng)的比例環(huán)節(jié)Kp并聯(lián)微分環(huán)節(jié)KpTds化簡(jiǎn)后，其傳遞函數(shù)為：第44頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

G1(s)與G2(s)均為二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其分母中的第二項(xiàng)s前的系數(shù)與阻尼有關(guān)，G1(s)的系數(shù)為1，而G2(s)的系數(shù)為1＋KpKTd>1。所以，采用微分環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的阻尼增加。（3）具有強(qiáng)化系統(tǒng)噪聲的作用。

4.積分環(huán)節(jié)凡在時(shí)域中，如果輸出量正比于輸入量的積分，即具有形式的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)。顯然，其則傳遞函數(shù)為：（3.25）式中，T為積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。積分環(huán)節(jié)的方框圖如圖3.22所示。第45頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，經(jīng)拉氏逆變換后，積分環(huán)節(jié)的輸出圖3.22積分環(huán)節(jié)方框圖圖3.23積分環(huán)節(jié)的輸入輸出關(guān)系0對(duì)階躍輸入，輸出要在t=T時(shí)才能等于輸入，故有滯后作用。經(jīng)過一段時(shí)間的累積后，當(dāng)輸入變?yōu)榱銜r(shí)，輸出量不再增加，但保持該值不變，具有記憶功能。其特點(diǎn)是輸出量為輸入量對(duì)時(shí)間的累積，輸出的幅值呈線性增長(zhǎng)，如圖3.23所示。第46頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為輸出量。試求此機(jī)構(gòu)的為輸入量，齒條的位移量例3－15圖3.24示出了一齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。齒輪的轉(zhuǎn)速解齒輪齒條的轉(zhuǎn)速關(guān)系為傳遞函數(shù)。圖3.24齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)式中，D為齒輪的節(jié)圓直徑。對(duì)上式取拉氏變換后，得其傳遞函數(shù)為時(shí)，這個(gè)環(huán)節(jié)變?yōu)楸壤h(huán)節(jié)。倍。若輸出為速度時(shí)，輸出上式表示，當(dāng)輸入為轉(zhuǎn)速為輸入的積分的第47頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3－16圖3.25所示出為有源積分網(wǎng)絡(luò)，為輸出電壓，R為電阻，C為電容。求網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。為輸入電壓，解由圖可得圖3.25有源積分網(wǎng)絡(luò)CR故其傳遞函數(shù)為：式中，。第48頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三振蕩環(huán)節(jié)也稱二階振蕩環(huán)節(jié)，它是一個(gè)二階環(huán)節(jié)。凡在時(shí)域中，如果輸出量與輸入量可用下列微分方程表示5.振蕩環(huán)節(jié)的環(huán)節(jié)稱為振蕩環(huán)節(jié)。將上式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，得則傳遞函數(shù)為：令，式（3.26）可化為：（3.27）

（3.26）第49頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中，為無阻尼固有頻率，T為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，為阻尼比，且0≤<1。圖3.26振蕩環(huán)節(jié)方框圖（1）當(dāng)0≤<1時(shí)，系統(tǒng)的輸出為一振蕩過程，此時(shí)二階環(huán)對(duì)于二階環(huán)節(jié)作階躍輸入時(shí)，系統(tǒng)的輸出有兩種情況：節(jié)為振蕩環(huán)節(jié)。即第50頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其輸出曲線如圖3.27(b)所示，是一條按指數(shù)衰減振蕩的曲線。0圖3.27振蕩環(huán)節(jié)中單位階躍輸入輸出曲線0(a)(b)（2）當(dāng)≥1時(shí)，系統(tǒng)的輸出為一指數(shù)上升曲線而不振蕩，最后達(dá)到常值輸出。振蕩環(huán)節(jié)一般含有兩個(gè)儲(chǔ)能元件和一個(gè)耗能元件，由于兩個(gè)儲(chǔ)能元件之間有能量交換，使系統(tǒng)的輸出發(fā)生振蕩。

第51頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為輸入位移，例3－17求圖3.28所示的質(zhì)量—阻尼—彈簧系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。為輸出位移，k為彈簧的剛度，m為質(zhì)量塊的質(zhì)量，c為質(zhì)量塊與支撐面間的阻尼系數(shù)。解根據(jù)牛頓第二定律，寫出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下經(jīng)拉氏變換后，得故傳遞函數(shù)為式中，，。當(dāng)0≤<1時(shí)，系統(tǒng)為一振蕩環(huán)節(jié)。

圖3.28質(zhì)量—阻尼—彈簧系統(tǒng)第52頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為輸入電壓，例3－18圖3.29所示為電感L、電阻R與電容C的串、并聯(lián)電路，解根據(jù)基爾霍夫定律，有為輸出電壓。試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。而將后兩式代入第一式并整理，得經(jīng)拉氏變換后，得C圖3.29RLC電路RL第53頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三延時(shí)環(huán)節(jié)也稱延遲環(huán)節(jié)。凡在時(shí)域中，如果輸出量滯后輸入時(shí)間而不失真地反映輸入量的環(huán)節(jié)稱為延時(shí)環(huán)節(jié)。具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為延時(shí)系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為：式中，為電路的固有振蕩頻率，為電路的阻尼比。

6.延時(shí)環(huán)節(jié)延時(shí)環(huán)節(jié)的輸入量與輸出量之間有如下的關(guān)系：第54頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中，為延遲時(shí)間。（3.28）

延時(shí)環(huán)節(jié)也是線性環(huán)節(jié)，它符合疊加原理。根據(jù)式（3.28）,可得延時(shí)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：（3.29）延時(shí)環(huán)節(jié)的方框圖如圖3.30所示。圖3.30延時(shí)環(huán)節(jié)方框圖。內(nèi)并無輸出，在時(shí)刻起就已有了輸出。而延時(shí)環(huán)節(jié)在輸入開始之初的時(shí)間

延時(shí)環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)不同。慣性環(huán)節(jié)的輸出需要延遲一段時(shí)間才接近于所要求的輸出量，但它從輸入開始后，輸出就完全等于從一開始起的輸入，第55頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三且不再有其他滯后過程；即輸出等于輸入，只是在時(shí)間上延遲了一段時(shí)間間隔。當(dāng)輸入階躍信號(hào)時(shí)，延時(shí)環(huán)節(jié)的輸入輸出特性如圖3.31所示。0圖3.31延時(shí)環(huán)節(jié)的輸入輸出關(guān)系1第56頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（圖中為。若測(cè)厚儀與機(jī)架的距離為L(zhǎng)，帶鋼的速度為v，則延遲想厚度）。但是，這一厚度偏差在到達(dá)B點(diǎn)時(shí)才被測(cè)厚儀所檢測(cè)到。測(cè)厚儀檢測(cè)到的帶鋼厚度偏差為例3－19圖3.32所示為軋鋼時(shí)的帶鋼厚度檢測(cè)示意圖。帶鋼，h為要求的理，即為其輸出信號(hào)。故測(cè)厚儀輸出信號(hào)與厚度偏差這一輸入信號(hào)之間有如下關(guān)系：在A點(diǎn)軋出時(shí)，產(chǎn)生厚度偏差時(shí)間因而有圖3.32軋鋼時(shí)帶鋼厚度檢測(cè)示意圖第57頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)列寫的一般方法如下：（1）首先列寫出控制系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。

（2）對(duì)所列寫出的控制系統(tǒng)輸入輸出微分方程的兩邊分別對(duì)輸入量和輸出量進(jìn)行拉氏變換，并整理、化簡(jiǎn)成傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（1）傳遞函數(shù)框圖中的環(huán)節(jié)是根據(jù)運(yùn)動(dòng)微分方程來劃分的，一個(gè)環(huán)節(jié)并不一定代表一個(gè)具體的物理元件，一個(gè)具體的物理元件也不一定就是一個(gè)傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)；

在列寫系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，還有幾點(diǎn)需要強(qiáng)調(diào)是：（2）不要把表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)情況的物理框圖與分析系統(tǒng)的傳遞函數(shù)框圖混淆起來。

第58頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所示的物理框圖表示。為輸入，例如，對(duì)于圖3.6所示的兩級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)，其結(jié)構(gòu)可用圖3.33為輸出時(shí)，它的正確的（3.30）傳遞函數(shù)由式（3.3）可知為：但不考慮負(fù)載效應(yīng)，R1與C1的子系統(tǒng)R2與C2的子系統(tǒng)圖3.33兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的物理框圖R2C2圖3.6兩級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)C1R1（3.31）

（3.32）第59頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三直接將式（3.31）和式（3.32）代入到圖3.33中，由此作出的系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖如圖3.34所示，并由此得到的系統(tǒng)傳（3.33）顯然是錯(cuò)誤的。只有組成整個(gè)系統(tǒng)的物理元件（物理環(huán)節(jié)或子系統(tǒng)）之間無負(fù)載效應(yīng)時(shí)，上述代入才是正確的。物理框圖與傳遞函數(shù)框圖才是一致的。

圖3.34兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)框圖（未考慮負(fù)載效應(yīng)）遞函數(shù)為：第60頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

，取速度，則有如果輸入為位移作為輸入例如，微分環(huán)節(jié)的微分方程和傳遞函數(shù)分別為：顯然，該環(huán)節(jié)就成為一個(gè)比例環(huán)節(jié)。（3）同一個(gè)物理元件（物理環(huán)節(jié)或子系統(tǒng)）在不同系統(tǒng)中的作用不同時(shí)，其傳遞函數(shù)也可能不同，因?yàn)閭鬟f函數(shù)同所選擇的輸入、輸出物理量的類型有關(guān)，并不是不可改變的。第61頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.3系統(tǒng)方塊框圖及其簡(jiǎn)化一個(gè)系統(tǒng)可由若干個(gè)環(huán)節(jié)按一定的關(guān)系所組成，將這些環(huán)節(jié)用方框來表示，其間用相應(yīng)的變量及其信號(hào)流向聯(lián)系起來，這就構(gòu)成了系統(tǒng)的方框圖。根據(jù)系統(tǒng)方框圖，通過一定的運(yùn)算變換可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

3.3.1系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方框圖表示（1）函數(shù)方框

1.方框圖的結(jié)構(gòu)要素函數(shù)方框是傳遞函數(shù)的圖解表示。

圖3.35系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖指向方框的箭頭表示輸入信號(hào)的拉氏變換；離開方框的箭頭表示輸出信號(hào)的拉氏變換；方框中表示的是該環(huán)節(jié)的第62頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三傳遞函數(shù)。所以，方框輸出的拉氏變換等于方框中的傳遞函數(shù)乘以其輸入的拉氏變換，即輸出信號(hào)的量綱等于輸入信號(hào)的量綱與傳遞函數(shù)量綱的乘積。相加點(diǎn)是信號(hào)之間代數(shù)求和運(yùn)算的圖解表示。在相加點(diǎn)處，輸出信號(hào)等于各輸入信號(hào)的代數(shù)和，每一個(gè)指向相加點(diǎn)的箭頭前方（2）相加點(diǎn)圖3.36相加點(diǎn)示意圖的＋號(hào)或－號(hào)表示該輸入信號(hào)在代數(shù)運(yùn)算中的符號(hào)。在相加點(diǎn)處加減的信號(hào)必須是同種變量，運(yùn)算時(shí)的量綱也要相同。相加點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的。第63頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三分支點(diǎn)表示同一信號(hào)向不同方向的傳遞。在分支點(diǎn)引出的信號(hào)不僅量綱相同，而且量值也相同。（3）分支點(diǎn)圖3.37分支點(diǎn)示意圖（1）根據(jù)系統(tǒng)的工作原理和特性將系統(tǒng)劃分為若干個(gè)環(huán)節(jié)；（2）建立各個(gè)環(huán)節(jié)的原始微分方程；（3）對(duì)所建立的各個(gè)環(huán)節(jié)原始微分方程進(jìn)行拉氏變換，分別建立其傳遞函數(shù)和繪制環(huán)節(jié)的方框圖；（4）按照信號(hào)在系統(tǒng)中傳遞、變換的關(guān)系，依次將各傳遞函2.系統(tǒng)方框圖的建立建立系統(tǒng)方框圖的一般步驟為：第64頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三數(shù)方框圖連接起來（同一變量的信號(hào)通路連接在一起），系統(tǒng)輸入量置于左端，輸出量置于右端，便可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖。方框圖中的方框與實(shí)際系統(tǒng)的物理元部件并非一一對(duì)應(yīng)。

強(qiáng)調(diào)指出：

R2C2圖3.38兩級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)C1R1例3－20圖3.38所示的兩級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)的方框圖。（1）將整個(gè)系統(tǒng)作為一個(gè)環(huán)節(jié)解

根據(jù)基爾霍夫定律可列寫出系統(tǒng)的微分方程：第65頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（3.34）

在零初始條件下對(duì)上式取拉氏變換消去中間變量（3.35）其中，分母的項(xiàng)就是由于兩級(jí)RC電路之間的負(fù)載效應(yīng)而產(chǎn)生的。圖3.39兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的方框圖第66頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）將整個(gè)系統(tǒng)劃分為若干個(gè)無負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)由式（3.34）可將該系統(tǒng)劃分為若干個(gè)無負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)取拉氏變換并令初始條件等于零，則可得各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

或

環(huán)節(jié)Ⅰ：

環(huán)節(jié)Ⅱ：

環(huán)節(jié)Ⅲ：

環(huán)節(jié)Ⅳ：

第67頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三環(huán)節(jié)Ⅴ：

圖3.40兩級(jí)RC電路的另一種形式的方框圖(a)(b)(d)(c)(e)(f)繪制各環(huán)節(jié)的方框圖，分別如圖3.40(a)-(e)所示。將各環(huán)節(jié)的方框圖按照信號(hào)的傳遞關(guān)系聯(lián)接起來，即可得到系統(tǒng)的方框圖如圖3.40(f)所示，

第68頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三結(jié)論：

（1）系統(tǒng)的方框圖不是唯一的。

（2）各環(huán)節(jié)的方框圖間應(yīng)無負(fù)載效應(yīng)。

3.3.2傳遞函數(shù)方框圖的化簡(jiǎn)等效變換原則是：變換前后前向通道中的傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變，回路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變。即變換前后整個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)保持不變。前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入的聯(lián)接方式稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)。當(dāng)各環(huán)節(jié)之間不存在（或可忽略）負(fù)載效應(yīng)時(shí)，則串聯(lián)聯(lián)接后的傳遞函數(shù)為：1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則第69頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（3.36）

故環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)等效傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積。圖3.41串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則各環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和，這種聯(lián)接方式稱為環(huán)節(jié)的并聯(lián)，如圖3.42所示。則并聯(lián)聯(lián)接后的傳遞函數(shù)為：圖3.42并聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換第70頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

（3.37）故環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)等效傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之和。3.反饋聯(lián)接及其等效變換規(guī)則圖3.43反饋環(huán)節(jié)等效變換圖3.43中，G(s)稱為前向通道傳遞函數(shù)，它是輸出Xo(s)與偏差E(s)之比，即

（3.38）第71頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三H(s)稱為反饋回路傳遞函數(shù)，即（3.39）前向通道傳遞函數(shù)G(s)與反饋回路傳遞函數(shù)H(s)之積定義為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)，它也是反饋信號(hào)B(s)與偏差E(s)之比，即（3.40）開環(huán)傳遞函數(shù)可以理解為：

封閉回路在相加點(diǎn)斷開以后，以E(s)作為輸入，經(jīng)G(s)、H(s)而產(chǎn)生輸出B(s)，此時(shí)，輸出與輸入的比值B(s)/E(s)，可以認(rèn)為是一個(gè)無反饋的開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由于B(s)與E(s)在相加點(diǎn)的量綱相同，因此，開環(huán)傳遞函數(shù)無量綱，而且H(s)的量綱是G(s)的量綱的倒數(shù)。

第72頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三輸出信號(hào)Xo(s)與輸入信號(hào)Xi(s)之比，定義為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)，即（3.41）由圖3.43可知

由此可得（3.42）故反饋聯(lián)接時(shí)，其等效傳遞函數(shù)等于前向通道傳遞函數(shù)除以1加（或減）前向通道傳遞函數(shù)與反饋回路傳遞函數(shù)的乘積。注意：若相加點(diǎn)的B(s)處為負(fù)號(hào)，則第73頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三此時(shí)，式（3.42）變?yōu)?/p>

若相加點(diǎn)的B(s)處為正號(hào)，則此時(shí)，式（3.42）變?yōu)?/p>

但是，閉環(huán)系統(tǒng)的反饋是正反饋還是負(fù)反饋，與反饋信號(hào)在相加點(diǎn)取正號(hào)還是負(fù)號(hào)是兩回事。

閉環(huán)傳遞函數(shù)的量綱決定于Xo(s)與Xi(s)的量綱，兩者可以相同也可以不相同。

第74頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若反饋回路傳遞函數(shù)H(s)＝1，稱為單位反饋。此時(shí)的系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)：（3.43）

4.分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則若分支點(diǎn)由方框之后移到該方框之前，為了保持移動(dòng)后分支信號(hào)X3(s)不變，應(yīng)在分支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的方框，如圖3.44(a)所示。若分支點(diǎn)由方框之前移到該方框之后，為了保持移動(dòng)后分支信號(hào)X3(s)不變，應(yīng)在分支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框，如圖3.44(b)所示。第75頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則若相加點(diǎn)由方框之前移到該方框之后，為了保持總的輸出信號(hào)X3(s)不變，應(yīng)在移動(dòng)的支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的方框，如圖3.45(a)所示。若相加點(diǎn)由方框之后移到該方框之前，應(yīng)在移動(dòng)的支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框，如圖3.45(b)所示。第76頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三分支點(diǎn)、相加點(diǎn)間的相互移動(dòng)，均不改變?cè)械膫鬟f函數(shù)關(guān)系，因此，可以相互移動(dòng)，如圖3.46(a)、(b)所示，但分支點(diǎn)相加點(diǎn)之間不能相互移動(dòng)，因?yàn)檫@種移動(dòng)不是等效移動(dòng)。

6.分支點(diǎn)之間、相加點(diǎn)之間相互移動(dòng)規(guī)則第77頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第78頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三序號(hào)原方框圖等效方框圖12345表3.1常用傳遞函數(shù)方框圖的等效簡(jiǎn)化規(guī)則第79頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三序號(hào)原方框圖等效方框圖6789或第80頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3－21運(yùn)用方框圖簡(jiǎn)化規(guī)則化簡(jiǎn)圖3.47(a)所示的方框圖，并求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解

（4）最后消去單位反饋回路，得到單一向前傳遞函數(shù)，即系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（1）相加點(diǎn)前移;

（2）將小回路化為單一向前傳遞函數(shù);

（3）再消去第二個(gè)閉環(huán)回路，使之成為單位反饋的單環(huán)回路;圖3.47傳遞函數(shù)框圖簡(jiǎn)化第81頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三說明：方框圖的簡(jiǎn)化途經(jīng)并不是唯一的。

傳遞函數(shù)簡(jiǎn)化的一般步驟：（1）確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。

（2）若方框圖中有無交叉的多個(gè)回路，則按照先里后外的原則，逐個(gè)化簡(jiǎn)，直到簡(jiǎn)化成一個(gè)方框的形式為止。

則可以直接用下列公式求得：（3.44）

若方框圖中有交叉的聯(lián)接：方法一：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件條件1，整個(gè)系統(tǒng)方框圖中只有一條前向通道；條件2，各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。第82頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三方法二：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件，通過相加點(diǎn)、分支點(diǎn)的前后移動(dòng)等規(guī)則，將系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖化為同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件的形式，然后應(yīng)用公式

（3.44）即可。

方法三：對(duì)于更為復(fù)雜的系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖，可利用梅森增益公式進(jìn)行簡(jiǎn)化。

例3－22簡(jiǎn)化圖3.48所示的方框圖，并求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

(a)圖3.48傳遞函數(shù)方框圖的簡(jiǎn)化第83頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立的局部反饋回路，其間沒有公共的方框。若直接用式（3.44），則會(huì)錯(cuò)誤地得出傳遞函數(shù)：

應(yīng)先將兩局部反饋回路分別簡(jiǎn)化成兩個(gè)方框圖，然后，將這兩個(gè)方框串聯(lián)：，才是正確的傳遞函數(shù)。第84頁(yè)，共95頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(b)

圖3.48傳遞函數(shù)方框圖的簡(jiǎn)化系統(tǒng)的兩個(gè)反饋回路間有公共的傳遞函數(shù)方框可直接利用式（3.44）得出傳遞函數(shù),因此，或先將局部反饋回路的傳遞函數(shù)簡(jiǎn)化