2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理（安徽）

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）

數(shù)學(xué)（理科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1至第2頁，第II卷第3

頁至第4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

考生注意事項：

答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定填寫自己的姓名、座位號，并認(rèn)真核對答題卡上所粘貼的條形

碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致。務(wù)必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號

后兩位。

答第I卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。

答第H卷時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答踵卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰。作

圖題可先用鉛筆在答跑卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在

題號所指示的答題區(qū)域作答，超出書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效。

考試結(jié)束后，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交。

參考公式：

椎體體積丫=，5力，其中S為椎體的底面積，h為椎體的高.

3

I〃

若y二—（X],y]），（x2,y2）（x“，y〃）為樣本點，$=為回歸直線，則

〃i=i

xnx

Z（%一9）（“一歹）X<y<-y

b=歸----------------------三月----------------__

YV-2”丁2>a=y-bx

1=11=1

a=y-bx

說明：若對數(shù)據(jù)適當(dāng)?shù)念A(yù)處理，可避免對大數(shù)字進(jìn)行運算.

第I卷（選擇題共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

（1）設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)匕絲為純虛數(shù)，則實數(shù)。為

2-Z

（A）2（B）-2（C）--（D）-

22

(2)雙曲線2d—>2=8的實軸長是

(A)2(B)272(C)4(D)472

(3)設(shè)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x〈O0寸J(x)=2,一x,貝"⑴=

(A)-3(B)-1(C)I(D)3

(4)設(shè)變量滿足|x|+|y區(qū)1,貝k+2y的最大值和最小值分別為

(A)1,-1(B)2,-2(C)1,-2(D)2,-1

7T

(5)在極坐標(biāo)系中，點(2,§)到圓夕=2005。的圓心的距離為

(B)

(A)2卜+在(D)V3

(6)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

(A)48

(B)32+8而

(C)48+8V17

(D)80

(7)命題“所有能被2整聊的整數(shù)都是偶數(shù)”的行定是

(A)所有不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)

(B)所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)第(8)11圖

(C)存在一個不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)

(D)存在一個能被2整除的數(shù)都不是偶數(shù)

(8)設(shè)集合4={1,2,3,4,5,6},8={4,5,6,7,8}則滿足514且5的集合S為

(A)57(B)56(C)49(D)8

TT

(9)已知函數(shù)/(%)=sin(2x+0)，其中9為實數(shù)，若f(x)</(—)對xwR恒成立，且

6

>/(?)，則/&)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(A)《左?一事,我"十菅:(&￡Z)(B)卜肛+

/c、L兀、2萬

(C)《kjr-\—,kjrH---(AeZ)(D)1上萬一5，％萬1(%eZ)

163

(10)函數(shù)/(幻=。1"(1一幻"在區(qū)間[0,1]

上的圖像如圖所示，則m,n的值可能是

(A)m=l,n=l(B)m=l,n=2

(C)m=2,n=1(D)m=3,n=l

第H卷(非選擇題共100分)

考生注意事項：

請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.

二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

(11)如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是.

(12)設(shè)(x—I)-'=4+a1％+ci^x~+?,,+2//，則40+q]=。?

(13)己知向量滿足(a+2Z?)―(a-份=-6,且同=1,同=2,

則a與b的夾角為.

(14)已知A4BC的一個內(nèi)角為120°,并且三邊長構(gòu)成公差為4的

/希出"

等差數(shù)列，則AABC的面積為.

(結(jié)束)

(15)在平面直角坐標(biāo)系中，如果％與)，都是整數(shù)，就稱點(x,y)為整點，

*(ii)as

下列命題中正確的是(寫出所有正確命題的編號).

①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點

②如果k與匕都是無理數(shù)，則直線y=奴+2不經(jīng)過任何整點

③直線/經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)/經(jīng)過兩個不同的整點

④直線y=履+匕經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：人與人都是有理數(shù)

⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線

三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答寫在答

題卡的制定區(qū)域內(nèi).

(16)(本小題滿分12分)

設(shè)/(x)=—J*，其中。為正實數(shù)

1+OX

4

(I)當(dāng)Q=§時，求/(工)的極值點；

(II)若/(九)為R上的單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍。

(17)(本小題滿分12分)

如圖，A8COEFC為多面體，平面ABEO與平面AGP。垂直，點。在線段A。上,

OA=1,OD=2Q0AB,,△OAC,△ODE,△0。/7都是正三角形。

(I)證明直線8C〃EF；

(II)求棱錐F—OBED的體積。

?(17)BS

(18)(本小題滿分13分)

在數(shù)1和100之間插入〃個實數(shù)，使得這〃+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這〃+2個數(shù)的

乘積記作T?,再令an=lgT,Bl.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(II)設(shè)d=tanantanan+i,求數(shù)列｛包｝的前〃項和Sn.

(19)(本小題滿分12分).

(I)設(shè)xNLyNl,證明+L+盯;,

(II)\<a<b<c,iiElogab+log/?c+log(,a<logfca+Iog(,b+log,

（20）（本小題滿分13分）

工作人員需進(jìn)入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進(jìn)去，且每個人只派一

次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個人?，F(xiàn)在

一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別由，生，2,假設(shè)PI，P2，P3互不

相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨立.

（I）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€人被派

出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？

（n）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為彷,%,%,其中0,%,%是

回，必,〃3的一個排列，求所需派出人員數(shù)目x的分布列和均值（數(shù)字期望）EX；

（ni）假定1＞目＞〃2＞〃3,試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均

值（數(shù)字期望）達(dá)到最小。

（21）（本小題滿分13分）

設(shè)義＞0,點A的坐標(biāo)為（1,1）,點B在拋物線y上運動，點。滿足=經(jīng)過。

點與Mx軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足麗=2訴，求點P的軌跡方程。

第（21）題圖

參考答案

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.

(1)A(2)C(3)A(4)B(5)D(6)C(7)D(8)B(9)C(10)B

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分25分.

(1)15(⑵0(13)-(14)1573(15)①，③，⑤

3

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(16)(本小題滿分12分)本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，極值點的判斷，導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)

系，求解一元二次不等式基本知識，考查運算求解能力，綜合分析和解決問題的能力.

解：對/~(x)求導(dǎo)得八X)=e*1*"二①

(l+ar)’

(I)當(dāng)a=g,若/'(x)=0,則4x?—8x+3=0,解得網(wǎng)=^,x2=g.

綜合①，可知

￡3(|,8)

X

T)2￡2

r(x)+0—0+

/(x)/極大值極小值/

31

所以，玉=2是極小值點,/=—是極大值點.

22

(II)若/(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則/'(x)在R上不變號，結(jié)合①與條件a>0,知

ax1—2ax+1>0

在R上恒成立，因此A=4Q2-4。=4。(。-1)<0,由此并結(jié)合。>0,知0<。41.

(17)(本小題滿分12分)本題考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間

直線平行的證明，多面體體積的計算等基本知識，考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能

第(17)題綜合法解答用圖第(17)噩向量法解答用圖

(I)(綜合法)

證明：設(shè)G是線段D4與EB延長線的交點.由于AOAB與40DE都是正三角形，所以

OB//-DE,0G=0D=2,

=2

同理，設(shè)G'是線段DA與線段FC延長線的交點，有OG'=OD=2.

又由于G和G'都在線段DA的延長線上，所以G與G'重合.

在4GED和AGFD中，由〃工OE和0C〃工DF,可知B和C分別是GE和GF的中點，

==2=2

所以BC是AGEF的中位線，故BC〃EF.

(向量法)

過點F作FQ_LAZ),交AD于點Q,連QE,由平面ABED_L平面ADFC,知FQ_L平面ABED,

以Q為坐標(biāo)原點，瓦為X軸正向，而為y軸正向，礪為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐

標(biāo)系.

由條件知E(g,O,O),尸(0,0,石),8(￡,-=,0),。(0,-1,￡).

2222

則有前=(—立,0,立)，三蘇=(—Q,0,J5).

22

所以說'=2冊即得BC〃EF.

(II)解：由OB=1,OE=2,NEQB=60°,知SEOB=5-，而△OED是邊長為2的正三角形，

故SQED=

所以SOBED=SEOB+SQ￡O=2.

過點F作FQLAD,交AD于點Q,由平面ABED,平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F—OBED

的局,且FQ=5/3,所以Vp-OBED_2FQ?SOBED=萬.

(18)(本小題滿分13分)本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對數(shù)的運算，兩角差的正切公式等基

本知識，考查靈活運用知識解決問題的能力，綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力.

解：⑴設(shè)U…,晨2構(gòu)成等比數(shù)列，其中4=L*2=1°Q則

Tn=t}-t2...tH+},tn+2,①

T〃=tn+i,，〃+2.........12,G，②

①x②并利用億+3T=億+2=1。2（"注力+2）,得

2

=（4%+2）?（，2%i）...（乙+也）,（匕+2，1）=10”?-）an=1g，=H+2,n>l.

(II)由題意和(I)中計算結(jié)果，知a=tan3+2)?tanQ?+3),〃N1.

CqIEi/〃1、7、tan?+l)-tan女

另一方面，利用tanl=tan(8+l)-攵)=------------------,

l+tan?+l)Tan改

/口八八，tan(Z:+l)-tank.

得1加(4+1)7311攵=-----------------1.

tan1

nn+2

所以S,,=￡bk=Ztan/+l)-tanZ

?=1k=3

_qtan-+1)—tanl

tan〃+3)-tan3

=--------------------n.

tanl

(19)(本小題滿分12分)本題考查不等式的基本性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)換底公式等基本知

識，考查代數(shù)式的恒等變形能力和推理論證能力.

證明：⑴由于x21,yNl,所以x+y+'-44+工+孫=xy(尤+y)+l<y+x+(孫)\

孫xy

將上式中的右式減左式，得

(>+X+(%>-)2)—(xy(x+y)+1)

=((孫)2-1)一(移(x+y)—(x+y))

=(xy+1)(孫-l)-(x+y)(xy-1)

=(xy_l)(xy-x_y+l)

=(xy-l)(x-l)(j-l).

即^x>l,y>1,所以(呼-l)(x-l)(y-l)>0,

從而所要證明的不等式成立.

(II)設(shè)log“Z?=x,log〃c=y,由對數(shù)的換底公式得

,1,1,,1,

log,,a=—,log&a=—,log,》=一』og“c=xy

xyxy

于是，所要證明的不等式即為1+)，+'-4,+,+個，

xyxy

其中x=log(/b>l,y^logbc>1.

故由(D立知所要證明的不等式成立.

(20)(本小題滿分13分)本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、

均值等基本知識，考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分

類讀者論論思想，應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識.

解：(I)無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是(1—乃)(1—〃2)。一〃3)，所

以任務(wù)能被完成的概率與三個被派出的先后順序無關(guān)，并等于

1一（1一。1）（1一〃2）（1-。3）=，1+。2+。3-〃也一。2P3-。3，12P3。

（ID當(dāng)依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為0,0,%時，隨機(jī)變量X的分布列為

X123

P0(1一1)%(1—1)(1—%)

所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX是

EX=1+2（1—%）%+3（1—）（1一q、）=3-2q、—%+

（III）（方法一）由（II）的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，

EX=3—2/7]—p2+/?!p2.

根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.

下面證明：對于2],/?2，。3的任意排列41，%，%，都有

3-2名-%+4。23-20-p2+PiP2,................（*）

事實上，A=（3-2^]—q2+qlq2'）-（3-2pl—p2+PiP2）

=2（Pi-%）+（P2-%）-PiP2+?%

=2（Pi-％）+（〃2一％）一（Pl一名）〃2一0（〃2一%）

=（2-〃2）（P1）+（1-/）（（。2-%）

之（1一%