大學(xué)物理例題

.z.例1路燈離地面高度為H，一個(gè)身高為h的人，在燈下水平路面上以勻速度步行。如圖3-4所示。求當(dāng)人與燈的水平距離為時(shí)，他的頭頂在地面上的影子移動(dòng)的速度的大小。解:建立如右下圖所示的坐標(biāo)，時(shí)刻頭頂影子的坐標(biāo)為，設(shè)頭頂影子的坐標(biāo)為，則由圖中看出有則有所以有;例2如右圖所示，跨過(guò)滑輪C的繩子，一端掛有重物B，另一端A被人拉著沿水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，其速率。A離地高度保持為h，h=1.5m。運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，重物放在地面B0處，此時(shí)繩C在鉛直位置繃緊，滑輪離地高度H=10m，滑輪半徑忽略不計(jì)，求：

(1)重物B上升的運(yùn)動(dòng)方程；

(2)重物B在時(shí)刻的速率和加速度；

(3)重物B到達(dá)C處所需的時(shí)間。解：(1)物體在B0處時(shí)，滑輪左邊繩長(zhǎng)為l0=H-h，當(dāng)重物的位移為y時(shí)，右邊繩長(zhǎng)為因繩長(zhǎng)為由上式可得重物的運(yùn)動(dòng)方程為(SI)

(2)重物B的速度和加速度為

(3)由知當(dāng)時(shí)，。此題解題思路是先求運(yùn)動(dòng)方程，即位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，再通過(guò)微分求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度。例3一質(zhì)點(diǎn)在*y平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)函數(shù)為*=2t,y=4t2-8(SI)。

(1)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程并畫(huà)出軌道曲線(xiàn)；

(2)求t1=1s和t2=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。解：(1)在運(yùn)動(dòng)方程中消去t，可得軌道方程為，軌道曲線(xiàn)為一拋物線(xiàn)如右圖所示。

(2)由

可得:在t1=1s時(shí)，

在t2=2s時(shí),例4質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，初始加速度為a0，以后加速度均勻增加，每經(jīng)過(guò)τ秒增加a0，求經(jīng)過(guò)t秒后質(zhì)點(diǎn)的速度和位移。解：本題可以通過(guò)積分法由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度和初始條件，求解質(zhì)點(diǎn)的速度和位移。由題意可知，加速度和時(shí)間的關(guān)系為:根據(jù)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)加速度的定義因?yàn)閠=0時(shí)，v0=0，故根據(jù)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)速度的定義有因?yàn)閠=0時(shí)，*0=0，則位移為例5(1)對(duì)于作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，試求直角坐標(biāo)和單位矢量i和j表示其位置矢量r,并由此導(dǎo)出速度v和加速度a的矢量表達(dá)式。

(2)試證明加速度a的方向指向軌道圓周的中心。解:(1)由右圖可知式中，，，且根據(jù)題意是常數(shù)，所以，有又因

所以

(2)由上式可見(jiàn)，a與r方向相反，即a指向軌道圓周中心。6一張致密光盤(pán)(CD)音軌區(qū)域的內(nèi)半徑R=2.2cm，外半徑為R=5.6cm,如右圖所示，徑向音軌密度N=650條/mm。在CD唱機(jī)內(nèi)，光盤(pán)每轉(zhuǎn)一圈，激光頭沿徑向向外移動(dòng)一條音軌，激光束相對(duì)光盤(pán)是以的恒定速度運(yùn)動(dòng)的。這張光盤(pán)的全部放音時(shí)間是多少？激光束到達(dá)離盤(pán)心r=5.0cm處時(shí)，光盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度各是多少？解:(1)以r表示激光束打到音軌上的點(diǎn)對(duì)光盤(pán)中心的徑矢，則在dr寬度內(nèi)的音軌長(zhǎng)度為2πrNdr。激光束劃過(guò)這樣長(zhǎng)的音軌所用的時(shí)間為dt=2πrNdr/v。由此得光盤(pán)的全部放音時(shí)間為

(2)所求角速度為

所求角加速度為例3兩個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)，用一根長(zhǎng)為2a、質(zhì)量可忽略不計(jì)的輕桿相聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)組。如圖5-4所示，兩質(zhì)點(diǎn)繞固定軸OZ以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，軸線(xiàn)通過(guò)桿的中點(diǎn)O與桿的夾角為，求質(zhì)點(diǎn)組對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量大小及方向。解:設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)A、B在圖示的位置，它們對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量的大小相等、方向相同（與OA和mv組成的平面垂直）。

角動(dòng)量的大小為例6如圖5-7所示，兩物體質(zhì)量分別為m1和m2，定滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，可視作均勻圓盤(pán)。已知m2與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，求m1下落的加速度和兩段繩子中的張力各是多少？設(shè)繩子和滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑動(dòng)軸受的摩擦力忽略不計(jì)。解：對(duì)m1，由牛頓第二定律對(duì)m2，由牛頓第二定律對(duì)滑輪，用轉(zhuǎn)動(dòng)定律又由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，設(shè)繩在滑輪上不打滑聯(lián)立解以上諸方程，可得例7如圖5-8所示。兩個(gè)圓輪的半徑分別為R1和R2，質(zhì)量分別為M1和M2。二者都可視為均勻圓柱體而且同軸固結(jié)在一起，可以繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。今在兩輪上各繞以細(xì)繩，繩端分別掛上質(zhì)量是m1和m2的兩個(gè)物體。求在重力作用下，m2下落時(shí)輪的角加速度。解：如圖示，由牛頓第二定律對(duì)m1：對(duì)m2：對(duì)整個(gè)輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律又由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系聯(lián)立解以上諸式，即可得例8固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱(chēng)軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R和r，質(zhì)量分別為M和m，繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體m1和物體m2相連，m1和m2分別掛在圓柱體的兩側(cè)，如圖5-9（a）所示。設(shè)R=0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，且開(kāi)始時(shí)m1、m2離地均為h=2m，求：（1）柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；（2）兩側(cè)細(xì)繩的張力；（3）m1經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間著地？（4）設(shè)m1與地面作完全非彈性碰撞，m1著地后柱體的轉(zhuǎn)速如何變化？解：設(shè)a1、a2分別為m1、m2的加速度，為柱體角加速度，方向如圖5-9(b)所示。（1）m1、m2的平動(dòng)方程和柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)方程如下：式中：;;;；聯(lián)立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度為代入數(shù)據(jù)后得（2）由(1)式得由(2)式得（3）設(shè)m1著地時(shí)間為t，則（4）m1著地后靜止，這一側(cè)繩子松開(kāi)。柱體繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，因只受另一側(cè)繩子拉力的阻力矩，柱體轉(zhuǎn)速將減小，m2減速上升。討論:如果只求柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度，可將柱體、m1、m2選做一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)受的合外力矩，則加速度本題第二問(wèn)還要求兩側(cè)細(xì)繩的張力，故采用本解法是必要的，即分別討論柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)、m1和m2的平動(dòng)。例9一輕繩繞過(guò)一質(zhì)量可以不計(jì)且軸光滑的滑輪，質(zhì)量皆為m的甲、乙二人分別抓住繩的兩端從同一高度靜止開(kāi)始加速上爬，如圖5-10所示。（1）二人是否同時(shí)達(dá)到頂點(diǎn)？以甲、乙二人為系統(tǒng)，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)的動(dòng)量是否守恒？機(jī)械能是否守恒？系統(tǒng)對(duì)滑輪軸的角動(dòng)量是否守恒？（2）當(dāng)甲相對(duì)繩的運(yùn)動(dòng)速度u是乙相對(duì)繩的速度2倍時(shí)，甲、乙二人的速度各是多少？解：（1）甲、乙二人受力情況相同，皆受繩的張力T，重力mg，二人的運(yùn)動(dòng)相同，因?yàn)樗远说募铀俣认嗤?，二人的速度為因初速度v0=0，二人在任一時(shí)刻的速度相同，上升的高度相同，所以同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)。以二人為系統(tǒng)，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg)>0，故系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒。以人和地球?yàn)橄到y(tǒng)，張力T對(duì)系統(tǒng)做功，因而系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。顯然人在上升中機(jī)械能在樣加。但甲、乙二人相對(duì)滑輪軸的合外力矩（M=TR-TR+mgR-mgR）等于零，系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒。（2）設(shè)甲的速度、乙的速度為，從解（1）知二人的速度相等，即，這個(gè)結(jié)果也可用角動(dòng)量守恒得到，因故設(shè)繩子的牽連速度為v0，設(shè)滑輪左側(cè)繩子的v0向下，則滑輪右側(cè)的v0一定向上，根據(jù)速度合成定理所以則討論:由于人用力上爬時(shí)，人對(duì)繩子的拉力可能改變，因此繩對(duì)人的拉力也可能改變，但甲、乙二人受力情況總是相同，因此同一時(shí)刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人總是同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)。例12一質(zhì)量為M，半徑為R，并以角速度旋轉(zhuǎn)著的飛輪，*瞬時(shí)有一質(zhì)量為m的碎片從飛輪飛出。假設(shè)碎片脫離圓盤(pán)時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上，如圖5-11所示。求余下圓盤(pán)的角速度、角動(dòng)量。解：破裂瞬間，系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒得余下圓盤(pán)角速度不變。余下圓盤(pán)的角動(dòng)量例13赤道上有一高樓，樓高h(yuǎn)（圖5-12）。由于地球自轉(zhuǎn)，樓頂和樓根對(duì)地心參考系都有線(xiàn)速度。（1）證明：樓頂和樓根的線(xiàn)速度之差為，其中為地球自轉(zhuǎn)角速度。（2）證明：一物體由樓頂自由下落時(shí)，由于地球自轉(zhuǎn)的影響，著地點(diǎn)將在樓根東側(cè)約處。這就是落體偏東現(xiàn)象。計(jì)算h=30m時(shí)，著地點(diǎn)偏東的距離。（此結(jié)果利用了物體下落時(shí)"水平”速度不變這一近似處理。實(shí)際上物體下落時(shí)應(yīng)該是地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。利用這一點(diǎn)，并取樓高對(duì)地球半徑之比的一級(jí)近似，則可得更有為準(zhǔn)確的結(jié)果。）證：（1）樓頂?shù)木€(xiàn)速度為樓根的線(xiàn)速度為。二者之差。（2）將樓所在處的地面局部視為向東以速度平移，則落體下落時(shí)間為而著地時(shí)偏東的距離為以代入上式可得例15一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓環(huán)型細(xì)管，正繞豎直光滑固定軸OO′自由轉(zhuǎn)動(dòng)。管是剛性的，環(huán)半徑為R。一質(zhì)量為m的小球靜止于管內(nèi)最高點(diǎn)A處，如圖5-14所示。由于微小擾動(dòng)，小球向下滑動(dòng)，試判決小球在管內(nèi)下滑過(guò)程中，下列三種說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由。（a）地球、環(huán)管與小球系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。（b）小球的動(dòng)量不守恒。（c）小球?qū)O′軸的角動(dòng)量守恒。辨析（a）不正確。對(duì)小球、環(huán)管、地球系統(tǒng)，外力為零，外力的功當(dāng)然為零，環(huán)管與小球間的正壓力N和N′是一對(duì)非保守內(nèi)力。在小球下滑過(guò)程中，小球受管壁的壓力N（與管壁垂直）始終與小球相對(duì)管壁的速度方向（與管壁相切）垂直，所以這一對(duì)內(nèi)力做功之和為零，而且與參考系的選擇無(wú)關(guān)。系統(tǒng)中只有保守內(nèi)力（重力）做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。（b）正確。小球在下滑過(guò)程中始終受到管壁的壓力和重力，而此二力的方向不同，所以合力不為零，使得小球的動(dòng)量不斷變化。（c）不正確。小球在下滑過(guò)程中受重力和管壁的壓力，重力和OO′軸平行，重力的軸向力矩恒為零，但管壁對(duì)小球的壓力方向不通過(guò)OO′軸，對(duì)OO′軸有力矩，所以小球?qū)O′的角動(dòng)量在變化，角動(dòng)量不守恒。例如小球在位置A對(duì)OO′軸的角動(dòng)量為零，在B處小球有垂直于環(huán)半徑的水平分速度，它對(duì)OO′軸的角動(dòng)量不再是零，到達(dá)最低點(diǎn)C時(shí)，對(duì)OO′軸的角動(dòng)量又等于零。例1一條均勻鏈條，質(zhì)量為m，總長(zhǎng)為l，成直線(xiàn)狀放在桌面上，如圖6-8所示，設(shè)桌面與鏈條之間的摩擦系數(shù)系數(shù)為?，F(xiàn)已知鏈條下垂長(zhǎng)度為a時(shí)鏈條開(kāi)始下滑，試計(jì)算鏈條剛好全部離開(kāi)桌面時(shí)的速率。解：運(yùn)用動(dòng)能定理計(jì)算此題，鏈條下落過(guò)程有重力、摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理

當(dāng)鏈條下垂y再繼續(xù)下垂時(shí)，重力功為

全過(guò)程重力的功

桌面摩擦力在鏈條下滑時(shí)做的功為

代入動(dòng)能定理

解出例2在質(zhì)量m、半徑R的圓盤(pán)形定滑輪上跨一輕繩，在繩一端施一恒力，另一端系一質(zhì)量m，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體，開(kāi)始時(shí)立方體上端面正好與密度為的液面重合，并在繩子拉動(dòng)下由靜止開(kāi)始上升，如圖6-9。求：(1)當(dāng)立方體一半露出液面時(shí)，滑輪與立方體間繩張力；(2)立方體剛離開(kāi)液面時(shí)的速度。解：(1)立方體與滑輪受力分別如圖6-10、圖6-11所示。

當(dāng)立方體露出一半時(shí)浮力

對(duì)立方體，由牛頓第二定律

對(duì)滑輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律

又由角量與線(xiàn)量關(guān)系

解得

(2)取立方體、滑輪、繩、地球?yàn)橄到y(tǒng)

做功的外力有，

無(wú)非保守內(nèi)力做功

設(shè)立方體剛離開(kāi)液面時(shí)速度為v，此時(shí)滑輪角速度為，有

由功能原理

解得：例3在光滑水平桌面上放著一靜止的木塊，其質(zhì)量為M，質(zhì)量為m的子彈以水平速度打擊木塊。設(shè)子彈在木塊中鉆行時(shí)受到恒定阻力，求子彈在木塊中鉆行的距離。解：碰撞過(guò)程中，子彈在木塊中鉆行，因受阻力而減速，木塊則加速直至和子彈的速度相等為止。系統(tǒng)水平方向不受外力，動(dòng)量守恒。取子彈前進(jìn)方向?yàn)檎?，碰撞結(jié)束時(shí)子彈和木塊的共同速度為v，則有對(duì)于木塊這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，在碰撞過(guò)程中，它受的外力為，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，質(zhì)心對(duì)地的加速度相對(duì)于木塊這個(gè)非慣性系，研究子彈的運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須添加慣性力。在該系統(tǒng)中應(yīng)用動(dòng)能定理，有子彈在木塊中鉆行的距離為例4在一輛小車(chē)上固定裝有光滑弧形軌道，軌道下湍水平，小車(chē)質(zhì)量為m，靜止放在光滑水平面上，今有一質(zhì)量也為m，速度為v的鐵球，沿軌道下端水平射入并沿弧形軌道上升*一高度，然后下降離開(kāi)小車(chē)(如圖6-12所示)。(1)鐵球離開(kāi)小車(chē)時(shí)相對(duì)地面的速度多大？(2)鐵球沿弧面上升的最大高度h是多少？解：(1)選鐵球與車(chē)為系統(tǒng)，對(duì)鐵球以水平射入這一過(guò)程進(jìn)行考察，因系統(tǒng)水平方向不受外力，故水平方向動(dòng)量守恒。設(shè)鐵球離開(kāi)小車(chē)時(shí)對(duì)地面的速度為，小車(chē)的速度為，則有(1)在上述過(guò)程中，只有重力做功，如果把地球選進(jìn)系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，取軌道水平處為勢(shì)能零點(diǎn)

(2)由式(1)、(2)可得即鐵球離開(kāi)小車(chē)時(shí)對(duì)地面速度為零。(2)當(dāng)鐵球上升最大高度h時(shí)，它相對(duì)于小車(chē)的速度為零，因而它對(duì)地具有與小車(chē)相同的水平速度，上升過(guò)程中鐵球、小車(chē)與地球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，勢(shì)能零點(diǎn)取軌道水平處。(3)同一過(guò)程中鐵球與小車(chē)系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒，于是(4)聯(lián)立(3)、(4)兩式可得例5勁度系數(shù)為k的彈簧，一端固定于墻上，另一端與質(zhì)量為m1的木塊A相接，A與質(zhì)量為m2的木塊B用輕繩相連，整個(gè)系統(tǒng)放在光滑水平面上，如圖6-13所示，然后以不變的力F向右拉m2，使m2自平衡位置由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求木塊A、B系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)的速度，以及此過(guò)程中繩的拉力T對(duì)m1所做的功，恒力F對(duì)m2做的功。解：設(shè)A、B系統(tǒng)合外力為零時(shí)的速度為v，彈簧的伸長(zhǎng)量為*，則外力(f為彈簧對(duì)A的拉力)

所以

對(duì)A、B組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)能定理

A內(nèi)力表示連結(jié)A、B的繩張力做的功，因繩不變形，物體A、B的位移相同，故

將代入上式得

恒力F做功

以A為對(duì)象，運(yùn)用動(dòng)能定理

解得拉力的功例6如圖6-14所示，質(zhì)量為M，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿，可繞A端的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)桿自由下垂時(shí)，有一質(zhì)量為m的小球，在離桿下端的距離為a處垂直擊中細(xì)桿，并于碰撞后自由下落，而細(xì)桿在碰撞后的最大偏角，試小球擊中細(xì)桿前的速度。解：球與桿碰撞瞬間，系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)碰撞前后角動(dòng)量守恒(1)桿擺動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒(2)(3)聯(lián)立(1)、(2)、(3)式，解得小球碰前速率為例7一質(zhì)量為M，半徑為R，并以角速度旋轉(zhuǎn)著的飛輪，*瞬時(shí)有一質(zhì)量為m的碎片從飛輪飛出。假設(shè)碎片脫離圓盤(pán)時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上，如圖6-15所示。(1)問(wèn)碎片能上升多高？(2)求余下圓盤(pán)的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。解：(1)碎片m的速率，碎片上升過(guò)程機(jī)械能守恒

解得

(2)破裂瞬間，系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

得

余下圓盤(pán)角速度不變。

余下圓盤(pán)的角動(dòng)量

余下圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

例8如圖6-16所示，從太陽(yáng)系外飛入太陽(yáng)系的一顆流星離太陽(yáng)最近的距離為，這時(shí)它的速率為。若不考慮其他行星的影響，試求這顆流星在進(jìn)入太陽(yáng)系之前的速率和它飛向太陽(yáng)的瞄準(zhǔn)距離。解：對(duì)流星飛經(jīng)太陽(yáng)附近的過(guò)程，由機(jī)械能守恒可得

由此得流星進(jìn)入太陽(yáng)系之前的速率為

流星受太陽(yáng)的引力總指向太陽(yáng)，流星對(duì)太陽(yáng)的角動(dòng)量守恒

流星飛向太陽(yáng)的瞄準(zhǔn)距離為例12mol氫氣在溫度為300K時(shí)體積為0.05m3。經(jīng)過(guò)(1)等溫膨脹；或(3)等壓膨脹，最后體積都變?yōu)?.25m3。試分別計(jì)算這三種過(guò)程中氫氣對(duì)外做的功并說(shuō)明它們?yōu)槭裁床煌?？在同一解?1)絕熱膨脹：(2)等溫膨脹(3)等壓膨脹由于各過(guò)程的壓強(qiáng)不同，所以在體積變化相同的情況下，氣體對(duì)外做的功也不同，這在p-V圖(圖20-6)上看得很清楚：各過(guò)程曲線(xiàn)下的面積不同。例2使一定質(zhì)量的理想氣體的狀態(tài)按圖20-7中的曲線(xiàn)沿箭頭所示的方向發(fā)生變化，圖線(xiàn)的BC段是以軸和V軸為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)。(1)已知?dú)怏w在狀態(tài)A時(shí)的溫度，求氣體在B，C和D狀態(tài)時(shí)的溫度。(2)從A到D氣體對(duì)外做的功總共是多少？解：(1)AB為等壓過(guò)程：，BC為等溫過(guò)程：；

CD為等壓過(guò)程：。(2)例3分別通過(guò)下列準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程把標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下0.014kg氮?dú)鈮嚎s為原體積的一半。(1)等溫過(guò)程；(2)絕熱過(guò)程；(3)等壓過(guò)程。求：在這些過(guò)程中，氣體內(nèi)能的改變，傳遞的熱量和外界對(duì)氣體所做的功。分析依題意氮?dú)饪梢暈槔硐霘怏w，且。等值、絕熱過(guò)程的功、熱量及內(nèi)能增量的計(jì)算。解：已知,,(1)等溫過(guò)程(放熱)(2)絕熱過(guò)程

由

得(3)等壓過(guò)程

所以

所以(放熱)例4汽缸內(nèi)有一種剛性雙原子分子的理想氣體，若使其絕熱膨脹后氣體的壓強(qiáng)減少一半，求變化前后氣體的內(nèi)能之比。解：理想氣體的狀態(tài)方程和內(nèi)能公式

可得

變化前

變化后

由絕熱過(guò)程方程,

即

按題設(shè)，有，或

對(duì)剛性雙原子分子

所以例5圖20-9為一循環(huán)過(guò)程的T-V曲線(xiàn)。該循環(huán)的工質(zhì)為的理想氣體，其中和均已知且為常量。已知a點(diǎn)的溫度為，體積為V1，b點(diǎn)的體積為V2，ca為絕熱過(guò)程。求：(1)c點(diǎn)的溫度；(2)循環(huán)的效率。解：(1)ca為絕熱過(guò)程，

(2)ab為等溫過(guò)程，工質(zhì)吸熱

bc為等容過(guò)程，工質(zhì)放熱為

循環(huán)過(guò)程的效率例7一臺(tái)冰箱工作時(shí)，其冷凍室中的溫度為-10℃，室溫為15℃。若按理想卡諾致冷循環(huán)計(jì)算，則此致冷機(jī)每消耗解：由于

所以J例1人體一天大約向周?chē)h(huán)境散發(fā)熱量，試估算由此產(chǎn)生的熵。設(shè)人體溫度為，忽略人進(jìn)食時(shí)帶進(jìn)體內(nèi)的熵，環(huán)境溫度取為237K。解：將人和環(huán)境視為一個(gè)孤立系統(tǒng)，人體向周?chē)h(huán)境散熱可以設(shè)計(jì)為一個(gè)等溫過(guò)程，環(huán)境吸熱也可以設(shè)計(jì)為一個(gè)等溫過(guò)程，于是兩個(gè)過(guò)程的總熵為例2已知在時(shí)，1mol的冰溶解為1mol的水需要吸收6000J的熱量，求

(1)在時(shí)這些水化為冰的熵變；

(2)在時(shí)水的微觀狀態(tài)數(shù)與冰的微觀狀態(tài)數(shù)之比。解：(1)的冰化為的水為不可逆過(guò)程，為了計(jì)算其熵變，可設(shè)一可逆的等溫過(guò)程，于是熵變?yōu)?2)由玻爾茲曼熵公式可知，熵S與微觀狀態(tài)數(shù)有關(guān)，若已知兩狀態(tài)的熵變，就可求得微觀狀態(tài)數(shù)之比。

由于

所以

1.對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)的熵變，有下面兩種說(shuō)法，判斷其正誤。

(1)任一絕熱過(guò)程，熵變；

(2)任一可逆過(guò)程，熵變。解答：(1)說(shuō)法錯(cuò)誤。由克勞修斯熵公式可知，對(duì)可逆絕熱過(guò)程，熵變，但對(duì)不可逆絕熱過(guò)程，即，熵增加。(2)說(shuō)法同樣不正確?？赡娴慕^熱過(guò)程系統(tǒng)熵不變。但對(duì)非絕熱的可逆過(guò)程，吸熱時(shí)，放熱時(shí)。2.一杯熱水放在空氣中，最終杯中水的溫度與空氣完全相同，結(jié)果杯中水的熵減少，這是否與熵增加原理矛盾？解答：不矛盾。熵增加原理只對(duì)孤立絕熱系統(tǒng)成立。而杯中的水不是孤立的，也不是絕熱系統(tǒng)，因而其熵是可以減少的。若將杯中的水可、和空氣作為一個(gè)孤立系統(tǒng)，則系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)時(shí)，總熵一定是增加的。3.若一系統(tǒng)從*一初態(tài)分別沿可逆過(guò)程和不可逆過(guò)程到達(dá)同一終態(tài)，則不可逆過(guò)程的熵變大于可逆過(guò)程的熵變。解答：這種說(shuō)法不對(duì)。因?yàn)殪厥菓B(tài)函數(shù)，只要初、末狀態(tài)一定，熵的增量就一定，與過(guò)程無(wú)關(guān)。難點(diǎn)辨析1.怎樣理解熵是態(tài)函數(shù)從可逆卡諾循環(huán)出發(fā)，對(duì)圖21-1所示的任一可逆循環(huán)過(guò)程有所以必有仿照保守力做功與路徑無(wú)關(guān)引入了一個(gè)態(tài)函數(shù)那樣，可以引入一個(gè)態(tài)函數(shù)，即熵S是熱力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)。2.熵與內(nèi)能的比較熵和內(nèi)能雖然都是態(tài)函數(shù)，卻是兩個(gè)不同的概念，它們描述系統(tǒng)的不同性質(zhì)，具有不同的物理意義。例如，理想氣體向真空膨脹的過(guò)程中，系統(tǒng)的內(nèi)能不變，但熵卻要增加，我們還是根據(jù)熵的變化來(lái)判斷過(guò)程自發(fā)進(jìn)行的方向的。另一方面，內(nèi)能的變化是從量的方面顯示過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)換，而熵的變化則是從質(zhì)的方面顯示能量轉(zhuǎn)換的不可逆行。3.怎樣計(jì)算不可逆過(guò)程的熵變對(duì)可逆過(guò)程，可以利用克勞修斯熵公式計(jì)算熵變，即對(duì)不可逆過(guò)程如何計(jì)算熵變呢？由于熵是態(tài)函數(shù)，因此，我們總可以在系統(tǒng)初、末態(tài)之間設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)假想的可逆過(guò)程，并利用上述可逆過(guò)程熵變的計(jì)算方法來(lái)估算出對(duì)應(yīng)的不可逆過(guò)程的總熵變。例1一段半徑為a的細(xì)圓弧，對(duì)圓心的張角為，其上均勻分布有正電荷q，如圖8-10所示，試以a、q、表示出圓心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：為了能正確描述O處的電場(chǎng)，應(yīng)首先建立合適的坐標(biāo)系*OY；然后正確地選擇電荷元dq，畫(huà)出dq在O點(diǎn)的電場(chǎng)，的大小由圖找出相對(duì)于Y軸對(duì)稱(chēng)的另一電荷元，其電場(chǎng)如圖所示，由對(duì)稱(chēng)性可知，圓弧在O處的電場(chǎng)的*分量一定相互抵消，合場(chǎng)強(qiáng)沿-Y方向，大小為由于所以，寫(xiě)成矢量式為例2一個(gè)玻璃棒被彎成半徑為R的半圓形，沿其上半部分均勻分有電量+Q，沿其下半部分有電量-Q，如圖8-11所示，試求圓心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解一：建立如圖8-11所示坐標(biāo)系，先把電荷均當(dāng)作+Q考慮，取如圖所示電荷元dq它在O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為所以

積分時(shí)，考慮到下半部分為-Q，于是所以，寫(xiě)成矢量式解二：如圖8-12以*軸為對(duì)稱(chēng)軸選兩個(gè)電荷元dq和dq′，則由對(duì)稱(chēng)性可知例3如圖8-13所示，一半徑為R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻帶電圓柱面，總電量為Q，試求端面處軸線(xiàn)上P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是選擇合適的電荷元，電荷元的選取可充分利用已知的典型電荷分布的電場(chǎng)。對(duì)該問(wèn)題，顯然選擇一個(gè)圓環(huán)做為電荷元最為恰當(dāng)，如圖8-14所示，建立坐標(biāo)系，圓環(huán)dq在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度沿*軸正向。特別注意利用帶電圓環(huán)軸線(xiàn)上的公式時(shí)，其中的*表示環(huán)心到場(chǎng)點(diǎn)的距離，對(duì)該問(wèn)題，由于坐標(biāo)原點(diǎn)不在所選的環(huán)心處，因此，要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)寫(xiě)不心到場(chǎng)點(diǎn)的距離。顯然由圖可知，dq環(huán)心到P點(diǎn)的距離為，由于圓柱面可看成許多同軸圓環(huán)組成每一圓軸在P點(diǎn)的電場(chǎng)均沿*軸正向，因此，P點(diǎn)的總場(chǎng)E可直接對(duì)dE積分方向沿*軸正向。例4如圖8-15所示為一均勻帶電的球?qū)樱潆姾审w密度為，球?qū)觾?nèi)表面半徑為，外表面半徑為，設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，求球?qū)又邪霃綖閞處的電勢(shì)。解：r處的電勢(shì)等于以r為半徑的球面以?xún)?nèi)的電荷在該處產(chǎn)生的電勢(shì)和球面以外的電荷產(chǎn)生的電勢(shì)之和，即為計(jì)算以r為半徑的球面外電荷產(chǎn)生的電勢(shì)。在球面外取一的薄層，其電量為它對(duì)該薄層內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為則

于是全部電荷在半徑為r處產(chǎn)生的電勢(shì)為例5如圖8-16所示，一內(nèi)半徑為a，外半徑為b的金屬球殼，帶有電量Q，在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點(diǎn)電荷q，設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，試求：(1)球殼內(nèi)外表面上的電荷；(2)球心O處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢(shì)；(3)球心O點(diǎn)處的總電勢(shì)。解：(1)由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感應(yīng)電荷，外表面帶電荷。(2)不論球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷是如何分布的，因?yàn)槿我浑姾稍xO點(diǎn)的距離都是a，所以由這些電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為(3)球心O點(diǎn)處的總電勢(shì)為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和例6如圖8-17所示，一空氣平行板電容器，兩極板面積均為S。板間距離為d(d遠(yuǎn)小于極板限度)，在兩極板間平行地插入一面積也是S，厚度為t(<d)的金屬片，試求：(1)電容C等于多少"(2)金屬片放在兩極板間的位置對(duì)C值有無(wú)影響"解：如圖8-18所示，設(shè)極板上分別帶電量和；金屬片與A板距離為，與B板距離為，金屬片與A板間場(chǎng)強(qiáng)為金屬板與B板間場(chǎng)強(qiáng)為金屬片內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為則兩極板間的電勢(shì)差為由此得因C值僅與d、t有關(guān)，與無(wú)關(guān)，故金屬片的安放位置對(duì)電容值無(wú)影響。例7現(xiàn)有一根單的電纜，電纜芯的半徑為，鉛包皮的內(nèi)半徑為，其間充以相對(duì)電容率的各向同性均勻電介質(zhì)。求當(dāng)電纜芯與鉛包皮間的電壓為時(shí)，長(zhǎng)為的電纜中貯存的靜電能是多少"解：由高斯定理可求得又電場(chǎng)能量密度靜電能例8一電容為C的空氣平行板電容器，接上端電壓V為定值的電源充電。在電源保持連接的情況下，試求把兩個(gè)極板間距離增大至n倍時(shí)，外力所作的功。解：因保持與電源連接，兩極板間電勢(shì)差保持不變，而電容值由電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量由在兩極板間距增大過(guò)程中，電容器上帶電量由Q減至，電源作功：設(shè)在拉開(kāi)極板過(guò)程中，外力作功為A2，據(jù)功能原理在拉開(kāi)極板過(guò)程中，外力作正功。第二篇實(shí)物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律第三章運(yùn)動(dòng)的描述3.1如圖所示，質(zhì)點(diǎn)沿曲線(xiàn)路徑由a運(yùn)動(dòng)到b，所經(jīng)路程為sab，a、b位矢分別為和。討論下面三個(gè)積分的量值及意義。①；

②；③3.2質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。矢徑，速度，分別指出下列四種情況中質(zhì)點(diǎn)作何種特征的運(yùn)動(dòng)。①②③④3.3設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，。在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求出，然后根據(jù)及從而求出結(jié)果，又有人先計(jì)算出速度和加速度的分量，再合成求出結(jié)果，即：及。你認(rèn)為這兩種方法中哪一種方法正確？?jī)烧叩牟顒e何在？3.4質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)且速率隨時(shí)間均勻增大，三者的大小是否隨時(shí)間改變？總加速度與速度之間的夾角如何隨時(shí)間改變？3.5一質(zhì)點(diǎn)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的關(guān)系曲線(xiàn)如圖所示。圖中過(guò)A點(diǎn)的切線(xiàn)AC的斜率表示什么？割線(xiàn)AB的斜率表示什么？曲線(xiàn)下面積表示什么？3.6行星軌道為橢圓，已知任一時(shí)刻行星的加速度方向都指向橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)（太陽(yáng)所在處）。分析行星通過(guò)圖中M、N兩位置時(shí)，它的速率分別是正在增大還是減?。?.7一斜拋物體初速度為，拋射角為，它的軌跡在拋出點(diǎn)和最高點(diǎn)的曲率半徑各是多大？3.8已知質(zhì)點(diǎn)沿螺旋線(xiàn)自?xún)?nèi)向外運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)位置的自然坐標(biāo)與時(shí)間的一次方成正比。試問(wèn)質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度的大小是否變化？3.9如圖所示，一輛汽車(chē)以在雨中行駛，車(chē)后的一捆行李伸出車(chē)外的長(zhǎng)度為，距車(chē)頂?shù)木嚯x為。若雨滴下落的速度與豎直方向成角，什么條件下行李才不會(huì)被淋濕？3.10一架飛機(jī)從A處向北飛到B處，然后又向南飛回A。已知飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度為，且速率常量，空氣相對(duì)于地面的速度為，設(shè)AB的距離為L(zhǎng)。試證明：①若，則來(lái)回飛行的時(shí)間為：②若的方向由南向北，則來(lái)回飛行的時(shí)間為：③若的方向?yàn)橛蓶|向西，則來(lái)回飛行的時(shí)間為：第四章動(dòng)量動(dòng)量守恒定律4.1為什么有了、這兩個(gè)物理量還要引入這個(gè)物理量？4.2沖量的方向是否與沖力的方向相同？4.3有人說(shuō)，因?yàn)閮?nèi)力不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，所以無(wú)論系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)有無(wú)內(nèi)力的作用，只要外力相同，各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況就相同，這話(huà)對(duì)嗎？4.4忽略其它所有外力，考慮一個(gè)物體和地球組成的系統(tǒng)，當(dāng)物體自由下落時(shí)，這一系統(tǒng)動(dòng)量守恒嗎？這時(shí)還能把地球作為參考系來(lái)計(jì)算系統(tǒng)的總動(dòng)量嗎？4.5兩個(gè)質(zhì)量相同的物體從同一高度自由下落，與水平地面相碰，一個(gè)反彈回來(lái)，另一個(gè)卻貼在地上，問(wèn)哪一個(gè)物體給地面的沖量大？4.6一人躺在地上，身上壓一塊重石板，另一個(gè)人用重錘猛擊石板，但見(jiàn)石板碎裂，而下面的人毫無(wú)損傷，這是為什么？4.7用一根細(xì)線(xiàn)吊一個(gè)質(zhì)量為5kg的重物，重物下系一根同樣的細(xì)線(xiàn)。設(shè)細(xì)線(xiàn)最多能經(jīng)受70N拉力?，F(xiàn)在突然用力向下拉一下下面的線(xiàn)，并設(shè)此力最大值為50N，則重物上、下所系的線(xiàn)是否會(huì)斷？4.8在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車(chē)，向東南方向斜上方發(fā)射一枚炮彈，如果忽略冰面的摩擦和空氣阻力，在此過(guò)程中，對(duì)于炮車(chē)和炮彈系統(tǒng)，下列哪種說(shuō)法是正確的？①總動(dòng)量守恒;②總動(dòng)量在炮身前進(jìn)方向上的分量守恒，其它方向分量不守恒；③總動(dòng)量在水平面上任意方向的分量守恒，豎直方向分量不守恒；④總動(dòng)量在任意方向的分量均不守恒。第五章角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律5.1平行于軸的力對(duì)軸的力矩一定是零，垂直于軸的力對(duì)軸的力矩一定不是零，這兩種說(shuō)法都對(duì)嗎？5.2一個(gè)有固定軸的剛體，受有兩個(gè)力作用，當(dāng)這兩個(gè)力的矢量和為零時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩也一定是零嗎？當(dāng)這兩個(gè)力的合力矩為零時(shí)，它們的矢量和也一定為零嗎？舉例說(shuō)明之。5.3一個(gè)系統(tǒng)動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒的條件有何不同？5.4兩個(gè)半徑相同的輪子，質(zhì)量相同，但一個(gè)輪子的質(zhì)量聚集在邊緣附近，另一個(gè)輪子的質(zhì)量分布比較均勻。試問(wèn)：①如果它們的角動(dòng)量相同,哪個(gè)輪子轉(zhuǎn)得快"②如果它們的角速度相同,哪個(gè)輪子的角動(dòng)量大"5.5有的矢量是