第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)及審斂法

第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)及審斂法第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三若則稱為正項(xiàng)級數(shù)

.的收斂（發(fā)散）問題歸結(jié)為數(shù)列的收斂（發(fā)散）問題。次都直接用定義去判斷級數(shù)收斂與否，除在少數(shù)場合外，往往是很困難的。因此，需要簡單易行的判斂法。如果數(shù)項(xiàng)級數(shù)各項(xiàng)的符號都相同，則稱它為同號級數(shù).級數(shù)對于同號級數(shù)，只需研究正項(xiàng)級數(shù).如果每但在具體應(yīng)用中，一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定理1.正項(xiàng)級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”對于正項(xiàng)級數(shù)由于可見部分和數(shù)列單調(diào)增加。趨于無窮或有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.此定理是本節(jié)諸判斂法的理論基礎(chǔ).其部分和發(fā)散趨向收斂準(zhǔn)則第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三證例1該正項(xiàng)級數(shù)的部分和為:所以原級數(shù)收斂.第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三

正項(xiàng)級數(shù)的收斂或發(fā)散，直觀看，可以說決定于其通項(xiàng)趨于0的快慢.若通項(xiàng)趨于0足夠快，那么正項(xiàng)級數(shù)收斂.若通項(xiàng)趨于0不夠快或不趨于0，那么正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散.但是，什么是趨于0足夠快或不夠快？因?yàn)榭炻窍鄬Φ?將它和已知是收斂或發(fā)散的正項(xiàng)級數(shù)的通項(xiàng)來比較，即可知道趨于0足夠快或不夠快.第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若級數(shù)則級數(shù)(2)若級數(shù)則級數(shù)證:設(shè)對一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示兩個級數(shù)的部分和,則有是兩個正項(xiàng)級數(shù),因在級數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三(1)若級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若級數(shù)因此顯然不是有界數(shù)列。這說明級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,級數(shù)第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三注：怎樣使用比較審斂法？當(dāng)需要判別一個正項(xiàng)級數(shù)如果能把它的（從某項(xiàng)起的）各項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆糯?，使放大后的級?shù)是已知收斂的正項(xiàng)級數(shù)時，那么就可判斷是收斂的；如果能把的（從某項(xiàng)起的）各項(xiàng)使縮小后的級數(shù)那么就可判斷是否收斂時，是已知發(fā)散的正項(xiàng)級數(shù)，是發(fā)散的。適當(dāng)?shù)目s?。ū３址秦?fù)），第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例2解發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.（2）對于任何x>1,都有則對于任何自然數(shù)，有第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例3.討論p級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.2)若因?yàn)閷σ磺卸{(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,解:1)若原級數(shù)為調(diào)和級數(shù)發(fā)散.第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三由圖可知3)小結(jié)第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三重要參考級數(shù):幾何級數(shù)、p-級數(shù)和調(diào)和級數(shù).常用方法:如，判定下列級數(shù)的斂散性第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三證明級數(shù)發(fā)散.證:

因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例4.第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定理3.(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:

據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,(l可以代表普通實(shí)數(shù)，也可以代表）第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三由定理2

可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時,即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時,(2)當(dāng)l=

0時,由定理2

知收斂,若第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三的斂散性.～例5.判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例6.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三說明：用比較判斂法來判斷正項(xiàng)級數(shù)的斂散性，雖然有時是很方便的，但使用比較判斂法需要另外找到一個適當(dāng)?shù)恼?xiàng)級數(shù)作為比較級數(shù)。在實(shí)踐上，找到這樣一個級數(shù)，往往不是一件輕而易舉的事。

能否不必另外尋找（至少是表面上不必另外尋找）

比較級數(shù)，而從級數(shù)本身判斷它是否收斂？第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定理4.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.(3)當(dāng)時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.證明：第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三

原級數(shù)收斂.因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)從而(1)公比r<1的等比級數(shù)

第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級數(shù).兩點(diǎn)注意:例如,2.條件是充分的,而非必要

第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三解例7第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三比值審斂法失效,改用比較審斂法.第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例8.討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例9.討論級數(shù)的斂散性.解:

則對于任何n,均有第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三一般的，當(dāng)正項(xiàng)級數(shù)的一般項(xiàng)是因子的乘積形式且中含有時，用比值法較方便。比值法失效；如何使用比值審斂法判別正項(xiàng)級數(shù)的斂散性？第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定理5.根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)級則數(shù),且

注：根值審斂法的實(shí)質(zhì)與比值審斂法相同，都是把給定的的級數(shù)與等比級數(shù)相比較.第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例10.討論級數(shù)的斂散性.解:根據(jù)定理5可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)發(fā)散。第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例11極限不存在，因此，無法使用比值判斂法.解法一：根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂.問題：能否用比值審斂法判別？能用根值審斂法判別的級數(shù)，不一定能用比值審斂法來判別。第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三并且其和為此級數(shù)也可以看作是由兩個收斂的等比級數(shù)的對應(yīng)項(xiàng)相加所得的級數(shù).根據(jù)級數(shù)的線性性質(zhì)，當(dāng)然是收斂的.解法二：第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三解法三：第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三時，用根值判斂法比較方便。如何使用根值審斂法判別正項(xiàng)級數(shù)的斂散性？或是一些因子的乘積，其內(nèi)含有根值判別法法失效；

能用比值判別法判別的正項(xiàng)級數(shù)，都能用根值法判別，反之，不一定.第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三則各項(xiàng)符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足二、交錯級數(shù)及其審斂法第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故（第一章習(xí)題1-2第6題結(jié)論）故級數(shù)收斂于S,且第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項(xiàng)取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定義:對任意項(xiàng)級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂

.三、絕對收斂與條件收斂第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定理7.絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三定理7表明：上述定理的作用：任意項(xiàng)級數(shù)斂散性問題正項(xiàng)級數(shù)斂散性問題使得一大類級數(shù)的收斂判定問題，轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例12.證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三(2)令因此收斂,絕對收斂.第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例13.判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，說明是條件收斂還是絕對收斂:第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三解:故級數(shù)條件收斂.因此原級數(shù)絕對收斂.Leibnitz

判別法，即第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三解:因此原級數(shù)非絕對收斂.第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三滿足Leibnitz

判別法，所以原級數(shù)條件收斂.解:所以原級數(shù)發(fā)散.第44頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三分析：這是交錯級數(shù)，但不滿足，無法用Leibniz判別法.故加括號后級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散.解:加括號第45頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例14.證明:分析：只需證收斂即可.解:第46頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三其和分別為*定理8.絕對收斂級數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.

(P265定理9)說明:

證明參考P265～P268