數(shù)值分析華理試題匯編

學習-----好資料數(shù)值計算方法試題一填空題（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程x3x40在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（）次。2、迭代格式xk1xk(xk22)局部收斂的充分條件是取值在（）。S(x)x30x11(x1)3a(x1)2b(x1)c1x33、已知2是三次樣條函數(shù)，則a=()，b=（），c=（）。4、l0(x),l1(x),,ln(x)是以整數(shù)點x0,x1,,xn為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則nnnlk(x)xklj(xk))，當n(xk4xk23)lk(x)k0()，k0(2時k0()。5、設f(x)6x72x43x21和節(jié)點xkk/2,k0,1,2,,則f[x0,x1,,xn]7f0。和6、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為，5個節(jié)點的求積公式最高代數(shù)精度為。7、k(x)k0是區(qū)間[0,1]上權(quán)函數(shù)(x)x的最高項系數(shù)為1的正交多項式族，其中14(x)dx0(x)1，則x。0x1ax2b18、給定方程組ax1x2b2，a為實數(shù)，當a滿足，且02時，SOR迭代法收斂。yf(x,y)yn[0]1ynhf(xn,yn)yn1ynh[f(xn,yn)f(xn1,yn[0]1)]9、解初值問題y(x0)y0的改進歐拉法2是階方法。10aA01a10、設aa1，當a（）時，必有分解式ALLT，其中L為下三角陣，當其對角線元素lii(i1,2,3)滿足（）條件時，這種分解是唯一的。更多精品文檔學習-----好資料二、選擇題（每題2分）1、解方程組Axb的簡單迭代格式x(k1)Bx(k)g收斂的充要條件是（）。（1）(A)1,(2)(B)1,(3)(A)1,(4)(B)1bnCi(n)f(xi)f(x)dx(ba)(n)a中，當系數(shù)Ci是負值時，2、在牛頓-柯特斯求積公式：i0公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應用中，當（）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）n8，（2）n7，（3）n10，（4）n6，3、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二階中點公式y(tǒng)n1ynhf(xnh,ynhf(xn,yn))24求解初值問題y2y,y(0)1，試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長h的取值范圍為（）。(1)0h2,(2)0h2,(3)0h2,(4)0h2三、1、（8分）用最小二乘法求形如yabx2的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：xi19253038yi19.032.349.073.31exdx時，2、（15分）用n8的復化梯形公式（或復化Simpson公式）計算0試用余項估計其誤差。（2）用n 8的復化梯形公式（或復化 Simpson公式）計算出該積分的近似值。更多精品文檔學習-----好資料四、1、（15分）方程x3x10在x1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）1xn113x1對應迭代格式xnxn1；(2)x1x對應迭代格式1x13xn；（3）xx31對應迭代格式xn1xn31。判斷迭代格式在x01.5的收斂性，選一種收斂格式計算x1.5附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。選一種迭代格式建立Steffensen迭代法，并進行計算與前一種結(jié)果比較，說明是否有加速效果。2、（8分）已知方程組 AX f，其中4324A341f3014，241）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑，寫出 SOR迭代法。dy1ydx五、1、（15分）取步長h0.1，求解初值問題y(0)1用改進的歐拉法求y(0.1)的值；用經(jīng)典的四階龍格—庫塔法求y(0.1)的值。2、（8分）求一次數(shù)不高于4次的多項式p(x)使它滿足p(x0)f(x0),p(x1)f(x1),p(x0)f(x0),p(x1)f(x1),p(x2)f(x2)六、（下列2題任選一題，4分）1、 數(shù)值積分公式形如1S(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)xf(x)dx0（1）試確定參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設f(x)C4[0,1]，推導余項公式R(x)1xf(x)dxS(x)，并估計誤差。02、用二步法yn10yn1yn1h[f(xn,yn)(1)f(xn1,yn1)]yf(x,y)求解常微分方程的初值問題y(x0)y0時，如何選擇參數(shù)0,1,使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的。更多精品文檔學習-----好資料數(shù)值計算方法試題二一、判斷題：（共16分，每小題２分）１、若A是nn階非奇異陣，則必存在單位下三角陣L和上三角陣U，使ALU唯一成立。（）２、當n8時，Newton－cotes型求積公式會產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性。（）bnAif(xi)f(x)dxai1的高斯（Gauss）型求積公式具有最高代數(shù)精確度的次數(shù)3、形如為2n1。（）210A111４、矩陣012的２－范數(shù)A2＝９。（）2aa0A0a05、設00a，則對任意實數(shù)a0，方程組Axb都是病態(tài)的。（用）（）6、設ARnn，QRnn，且有QTQI（單位陣），則有A2QA2。（）7、區(qū)間a,b上關于權(quán)函數(shù)W(x)的直交多項式是存在的，且唯一。（）8、對矩陣A作如下的Doolittle分解：223100223A4772100b12451a1006，則a,b的值分別為a2，b2。（）二、填空題：（共20分，每小題2分）1、設f(x)9x83x421x210，則均差f[20,21,,28]__________，f[30,31,,39]__________。2、設函數(shù)f(x)于區(qū)間a,b上有足夠階連續(xù)導數(shù)，pa,b為f(x)的一個m重零點，xk1xkmf(xk)Newton迭代公式f'(xk)的收斂階至少是__________階。３、區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上具有直到__________階的連續(xù)導數(shù)。更多精品文檔學習-----好資料A724、向量X(1,2)T,矩陣31，則AX1__________，cond(A)__________。1f(x)dxf(x0)f(x1)具有最高的代數(shù)精確度，則其5、為使兩點的數(shù)值求積公式：1求積基點應為x1__________，x2__________。6、設ARnn，ATA，則(A)（譜半徑）__________A2。（此處填小于、大于、等于）10A211limAk7、設4__________。2，則k三、簡答題：（9分）1、方程x42x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一根x*，若用迭代公式：xk1ln(4xk)/ln2(k0,1,2,)，則其產(chǎn)生的序列xk是否收斂于x*？說明理由。2、使用高斯消去法解線性代數(shù)方程組，一般為什么要用選主元的技術(shù)？1cosxf(x)x23、設x0.001，試選擇較好的算法計算函數(shù)值。四、（10分）已知數(shù)值積分公式為：hh[f(0)f(h)]h2[f'(0)f'(h)]f(x)dx02，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。五、（8分）已知求a(a0)的迭代公式為：xk11(xka)x00k0,1,22xk證明：對一切k1,2,,xka，且序列xk是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂。更多精品文檔學習-----好資料33[f(1)f(2)]f(x)dx六、（9分）數(shù)值求積公式02是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？七、（9分）設線性代數(shù)方程組AXb中系數(shù)矩陣A非奇異，X為精確解，b0，若向量~b的一個近似解，殘向量r~X是AXbAX，證明估計式：~XXrcon(Ad)X b（假定所用矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容）。八、(10分)設函數(shù) f(x)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導數(shù)，試求滿足下列插值條件的一個次數(shù)不超過 3的插值多項式 H(x)，并導出其余項。i012xi012f(xi)-113f'(x)3i九、(9分)設n(x)是區(qū)間[a,b]上關于權(quán)函數(shù)w(x)的直交多項式序列，xi(i1,2,,n,n1)為n1(x)的零點，li(x)(i1,2,,n,n1)是以xi為基點的拉格朗日(Lagrange)插值基函數(shù)，bn1f(x)w(x)dxAkf(xk)a為高斯型求積公式，證明：k1n1（1）當0k,jAik(xi)j(xi)0n,kj時，i1b（2）alk(x)lj(x)w(x)dx0(kj)更多精品文檔學習-----好資料n1blk2(x)w(x)dxbw(x)dxaa（3）k1數(shù)值計算方法試題三一、（24分）填空題(1) (2分)改變函數(shù) f(x) x 1 x (x 1)的形式，使計算結(jié)果較精確。(2)(2分)若用二分法求方程fx0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分次。fx12x22x(3)(2分)設x1x2，則f'xSx2x3,0x1x3ax2bxc,1x2是3次樣條函數(shù)，則(4)(3分)設a=,b=,c=。(3分)若用復化梯形公式計算至少用個求積節(jié)點。

10exdx，要求誤差不超過 106，利用余項公式估計，x1 1.6x2 1(6) (6分)寫出求解方程組 0.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩陣為 ，此迭代法是否收斂 。54A,則A，CondA(7)(4分)設43。(8) (2分)若用Euler法求解初值問題 y' 10y, y0 1，為保證算法的絕對穩(wěn)定，更多精品文檔學習-----好資料則步長h的取值范圍為.(64分)(1)(6分)寫出求方程4xcosx1在區(qū)間[0,1]的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(2)(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算115的近似值，并利用余項估計誤差。(3) (10分)求f x ex在區(qū)間[0,1]上的1次最佳平方逼近多項式。1sinxIxdx(4)(10分)用復化Simpson公式計算積分0的近似值，要求誤差限為0.5105。(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：x1 4x2 2x3 243x1 x2 5x3 342x1 6x2 x3 2713x15122x2111(6)(8分)求方程組的最小二乘解。