第四章空間問(wèn)題的基本理論

第四章空間問(wèn)題的基本理論第1頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第四章

空間問(wèn)題的基本理論§3-1平衡微分方程

在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，割取一個(gè)微小的平行六面體，棱邊的長(zhǎng)度分別為PA=dx，PB=dy，PC=dz。首先，以連接六面體前后兩面中心的直線為矩軸，列出力矩的平衡方程整理，并略去微量后，得同樣可以得出第2頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第四章

空間問(wèn)題的基本理論列出x軸方向的力的平衡方程

由其余兩個(gè)平衡方程和可以得出與之相似的兩個(gè)方程?；?jiǎn)，除以dxdydz，得空間問(wèn)題的平衡微分方程（納維葉方程）第3頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第四章

空間問(wèn)題的基本理論§3-2幾何方程和連續(xù)性方程

在平面問(wèn)題里，通過(guò)研究oxy平面內(nèi)平行于x、y軸兩微元線素的變形得到幾何方程，用同樣方法研究另外兩平面線素的變形可得到類似的方程。綜合起來(lái)，得到空間問(wèn)題的幾何方程。第4頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

與幾何方程等價(jià)的是變形連續(xù)性方程（也稱相容方程或協(xié)調(diào)方程），在空間問(wèn)題里表示為第四章

空間問(wèn)題的基本理論第5頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

第一個(gè)方程式在平面問(wèn)題中已作過(guò)推導(dǎo)。類似地可得到第二、第三個(gè)方程式?，F(xiàn)在推導(dǎo)第四個(gè)方程式。由空間問(wèn)題的幾何方程式，有

將以上后三式相加，并與第一式比較，便得到連續(xù)性方程的第四式。其余各式可由第一式、第四式輪換字母得到。第四章

空間問(wèn)題的基本理論第6頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§3-3物理方程

各向同性彈性體的物理方程用應(yīng)變表示應(yīng)力的物理方程為式中[D]—彈性矩陣或應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系轉(zhuǎn)換矩陣第四章

空間問(wèn)題的基本理論第7頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三用應(yīng)力表示應(yīng)變的物理方程為式中顯然，有第四章

空間問(wèn)題的基本理論第8頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三下面推導(dǎo)空間物理方程的另一種表達(dá)形式。將展開(kāi)，并將其前三式相加，得或式中e

—體積應(yīng)變m

—平均應(yīng)力K—體積彈性常數(shù)—體積彈性定律令則物理方程可寫(xiě)成如下形式第四章

空間問(wèn)題的基本理論第9頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三及

各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系其中、G—拉密常數(shù)第四章

空間問(wèn)題的基本理論第10頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§3-4邊界條件

位移邊界條件在Su上應(yīng)力邊界條件將平面問(wèn)題應(yīng)力邊界條件推廣到空間問(wèn)題，可得第四章

空間問(wèn)題的基本理論第11頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

如果是用位移法求解，還應(yīng)把應(yīng)力邊界條件用位移來(lái)表示。將幾何關(guān)系式代入物理關(guān)系式，有在S上

和平面問(wèn)題一樣，按邊界條件也可以把空間問(wèn)題劃分為三類：位移邊界、應(yīng)力邊界和混合邊界問(wèn)題。第四章

空間問(wèn)題的基本理論第12頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三小結(jié)

對(duì)于空間問(wèn)題，共有15個(gè)未知函數(shù)：6個(gè)應(yīng)力分量

；

6個(gè)應(yīng)變分量；3個(gè)位移分量。這15個(gè)未知函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足15個(gè)基本方程：3個(gè)平衡微分方程；6個(gè)幾何方程；6個(gè)物理方程。第四章

空間問(wèn)題的基本理論第13頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在位移邊界問(wèn)題中，位移分量在邊界上還應(yīng)當(dāng)滿足位移邊界條件在應(yīng)力邊界問(wèn)題中，應(yīng)力分量在邊界上還應(yīng)當(dāng)滿足應(yīng)力邊界條件。

在混合邊界問(wèn)題中，某些邊界條件是位移邊界條件，而另一些邊界條件是應(yīng)力邊界條件。在S上在Su上第四章

空間問(wèn)題的基本理論第14頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§3-5物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

已知物體在任一點(diǎn)P的六個(gè)應(yīng)力分量，試求經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的任一斜面上的應(yīng)力。令平面ABC的外法線為N，其方向余弦為

設(shè)三角形ABC的面積為S，則三角形BPC、CPA、APB的面積分別為lS

、mS、nS。四面體PABC的體積用V表示。三角形ABC上的應(yīng)力在坐標(biāo)軸方向的分量用XN、YN、ZN代表。根據(jù)四面體的平衡條件，得第四章

空間問(wèn)題的基本理論第15頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三除以S，移項(xiàng)后，得

當(dāng)斜面ABC趨近于P點(diǎn)時(shí)，由于V是比S更高一階的微量，所以V/S趨于零。于是得出下式中的第一式。同樣，由平衡條件可以得出其余兩式。設(shè)三角形ABC上的正應(yīng)力為N,則由投影可得將上式代入，得第四章

空間問(wèn)題的基本理論第16頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)三角形ABC上的剪應(yīng)力為N，由于所以有

在物體的任意一點(diǎn)，如果已知六個(gè)應(yīng)力分量就可以求得任一斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。就是說(shuō)，六個(gè)應(yīng)力分量完全決定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

在特殊情況下，如果ABC是物體的邊界面，則XN、YN、ZN成為面力分量，于是得出即彈性體的應(yīng)力邊界條件。它表明了應(yīng)力分量的邊界值與表面力分量之間的關(guān)系。第四章

空間問(wèn)題的基本理論第17頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三主應(yīng)力與主方向

設(shè)經(jīng)過(guò)任一點(diǎn)P的某一斜面上的剪應(yīng)力等于零，則該斜面上的正應(yīng)力稱為在P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力，該斜面稱為在P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主面，而該斜面的法線方向稱為在P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主方向。在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)，一定存在三個(gè)互相垂直的應(yīng)力主面以及對(duì)應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力。在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點(diǎn)的主應(yīng)力不會(huì)隨坐標(biāo)系的改變而改變（盡管應(yīng)力分量隨著坐標(biāo)系改變）。應(yīng)力狀態(tài)不變量第四章

空間問(wèn)題的基本理論第18頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§3-6按位移求解空間問(wèn)題

將幾何方程代入物理方程，得出用位移分量表示應(yīng)力分量的彈性方程。

按位移求解問(wèn)題，是取位移分量為基本未知函數(shù)。對(duì)空間問(wèn)題來(lái)說(shuō)，要從15個(gè)基本方程中消去應(yīng)力分量和應(yīng)變分量，得出只包含位移分量的微分方程。第四章

空間問(wèn)題的基本理論第19頁(yè)，共20