中考數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合專項訓(xùn)練及答案

一、旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1,點A為線段BC外一動點，且BC=a,AB=b.填空：當(dāng)點A位于時，線段AC的長取得最大值，且最大值為 (用含a,b的式子表示)⑵應(yīng)用：點A為線段BC外一動點，且BC=4,AB=1,如圖2所示，分別以AB,AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；②直接寫出線段BE長的最大值.⑶拓展：如圖3,在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(6,0),點P為線段AB外一動點，且PA=2,PM=PB,NBPM=90°,請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標.滿足條件的點P坐標(2-J2,五)或(2-<2,-<2),AM的最大值為2%遼+4.【解析】【分析】(1)根據(jù)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；(2)①根據(jù)已知條件易證△CAD也△EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果；(3)連接BM,將^APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBM連接AM得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2,BN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2、五+4；如圖2,過P作PE±x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得點P的坐標.如圖3中，根據(jù)對稱性可知當(dāng)點P在第四象限時也滿足條件，由此求得符合條件的點P另一個的坐標.【詳解】(1);點A為線段BC外一動點，且BC=a,AB=b,」?當(dāng)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b,故答案為CB的延長線上，a+b；⑵①CD=BE,理由：?「△ABD與^ACE是等邊三角形，「.AD=AB,AC=AE,NBAD=NCAE=60°,「.NBAD+NBAC=NCAE+NBAC,即NCAD=NEAB,

AD=AB在^CAD與^EAB中，/CAD=ZEAB在^CAD與^EAB中，「.△CAD合△EAB(SAS),「.CD=BE；②;線段BE長的最大值=線段CD的最大值，由(1)知，當(dāng)線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，二最大值為BD+BC=AB+BC=5；圖1??將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBM連接AN,則^APN是等腰直角三角形，.，PN=PA=2,BN=AM,丁A的坐標為(2,0),點B的坐標為(6,0),「.OA=2,OB=6,「.AB=4,」?線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，??當(dāng)N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，最大值=AB+AN,;AN=J2AP=2%.；2,??最大值為2J2+4；如圖2,y"小V圄2過P作PE±x軸于E,「△APN是等腰直角三角形，1?PE=AE=、；2,「.OE=BO-AB-AE=6-4-芭=2一五,根據(jù)對稱性可知當(dāng)點P在第四象限時，P(2-<2，-衣)時，也滿足條件.綜上所述，滿足條件的點P坐標(2-<2,V,2)或(2-<2，-&),AM的最大值為2<2+4.【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.2.如圖：在^ABC中，NACB=90°,AC=BC,NPCQ=45°,把NPCQ繞點C旋轉(zhuǎn)，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，過點A作ADLCP,垂足為D,直線AD交CQ于E.(1)如圖①，當(dāng)NPCQ在NACB內(nèi)部時，求證：AD+BE=DE；(2)如圖②，當(dāng)CQ在NACB外部時，則線段AD、BE與DE的關(guān)系為；(3)在(1)的條件下，若CD=6,SAbce=2SaACD，求AE的長.【答案】(1)見解析(2)AD=BE+DE(3)8【解析】試題分析：(1)延長DA到F,使DF=DE,根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得CE=CF,再求出NACF=NBCE,然后利用“邊角邊〃證明△ACF和^BCE全等，根據(jù)全等三角形的即可證明AF=BE,從而得證；(2)在AD上截取DF=DE,然后根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得CE=CF,再求出NACF=NBCE,然后利用“邊角邊〃證明△ACF和^BCE全等，根據(jù)全等三角形的即可證明AF=BE,從而得到AD=BE+DE；(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD=DF=DE,再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出AF=2AD,然后求出AD的長，再根據(jù)AE=AD+DE代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.試題解析：(1)證明：如圖①，延長DA到F,使DF=DE.;CD±AE,，CE=CF,」.乙DCE=NDCF=NPCQ=45°,「.NACD+ZACF=ZDCF=45°.又.「NACB=90°,NPCQ=45°,:,乙ACD+NBCE=90°-45°=45°,:.NACF=NBCE.在△ACF和^BCE中，]CE二CF:</ACF=ZBCE,:.△ACF”BCE(SAS),「.AF=BE,「.AD+BE=AD+AF=DF=DE,即、AC=BCAD+BE=DE；(2)解：如圖②，在AD上截取DF=DE.;CD±AE,「.CE=CF,:?NDCE=NDCF=NPCQ=45°,:.NECF=NDCE+NDCF=90°,:.NBCE+NBCF=NECF=90°.又丁NACB=90°,,NACF+NBCF=90°,,NACF=NBCE.在△ACF和4BCE中，|CE二CF:</ACF=ZBCE,二△ACF^△BCE(SAS),,AF=BE,,AD=AF+DF=BE+DE,即、AC=BCAD=BE+DE；故答案為：AD=BE+DE.:NDCE=NDCF=NPCQ=45°,,NECF=45°+45°=90°,,△ECF是等腰直角三角形，- 一 1...CD=DF=DE=6.丁S^BCE=2SaACD,,AF=2AD,,AD=1—2x6=2,,AE=AD+DE=2+6=8.點睛：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強，但難度不是很大，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.3.如圖1,是邊長分別為6和4的兩個等邊三角形紙片ABC和CL1疊放在一起.(1)操作：固定△八3^將4CD1E1繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到^CDE,連接AD、BE,如圖2.探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？并請說明理由；(2)操作：固定△ABC,若將△CD1E1繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE,連接AD、BE,CE的延長線交AB于點F，在線段CF上沿著CF方向平移，(點F與點P重合即停止平移)平移后的△CDE設(shè)為△PQR，如圖3.探究：在圖3中，除三角形ABC和CDE外，還有哪個三角形是等腰三角形？寫出你的結(jié)論(不必說明理由)；(3)探究：如圖3,在(2)的條件下，設(shè)CQ=x，用x代數(shù)式表示出GH的長.更【答案】(1)BE=CD.理由見解析；(2)△CHQ是等腰三角形；(3)2「：-二x.【解析】試題分析：(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC,CD=CE,NACB=NECD=60°,然后求出NACD=NBCE,再利用“邊角邊〃證明△ACD和^BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；(2)求出NACF=30°,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出NCHQ=30°,從而得到NACF=NCHQ,判斷出△CHQ是等腰三角形；(3)求出NCGP=90°,然后利用NACF的余弦表示出CG,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)表示出CH,然后根據(jù)GH=CG-CH整理即可得解.試題解析：(1)BE=CD.理由如下：.「△ABC與^CDE是等邊三角形，「.AC=BC,CE=CD,NACB=NECD=60°.「.NACB-NACE=NECD-NACE,即NBCE=NACD.在^ACD和^BCE中，AB=BC\^ACD=&HCEICD=CEL「.△ACD^△BCE(SAS),「.BE=AD；:旋轉(zhuǎn)角為30°,「.NBCF=30°,「.NACF=60°-30°=30°,「.NCHQ=NRQP-NACF=60°-30°=30°,「.NACF=NCHQ,「.△CHQ是等腰三角形；NCGP=180°-NACF-NRPQ=180°-30°-60°=90°,W「.CG=CP?cos30°=」(x+4),「△CHQ是等腰三角形，更「.CH=2?CQcos30°=2x?'=「x,

???GH=CG-CH=???GH=CG-CH=」(x+4)--x=2X.考點：幾何變換綜合題..如圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被等分成3個扇形，乙轉(zhuǎn)盤被等分成4個扇形，每一個扇形上都標有相應(yīng)的數(shù)字.同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，計算指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和.如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個數(shù)字為止./1甲(1)請你通過畫樹狀圖或列表的方法分析，并求指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于10的概率；(2)小亮和小穎小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則是：指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于10，小穎獲勝；指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于10,為平局；指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10,小亮獲勝.你認為該游戲規(guī)則是否公平？請說明理由；若游戲規(guī)則不公平，請你設(shè)計出一種公平的游戲規(guī)則.1【答案】(1)3；(2)不公平.【解析】試題分析：(1)依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率.(2)判斷游戲的公平性，首先要計算出游戲雙方贏的概率，概率相等則公平，否則不公平.試題解析：(1)共有12種等可能的結(jié)果，小于10的情況有4種，1所以指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于10的概率為3.678911S9L039Lfl11L2410111213(2)不公平，因為小穎獲勝的概率為三”「二.=—=4；小亮獲勝的概率為T5.小亮獲勝的可能性大，所以不公平.JL乙可以修改為若這兩個數(shù)的和為奇數(shù)，則小亮贏；積為偶數(shù)，則小穎贏.考點：1.游戲公平性；2.列表法與樹狀圖法..在^ABC中，AB=AC,將線段AC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段CD,旋轉(zhuǎn)角為二且：：，連接AD、BD.(1)如圖1,當(dāng)NBAC=100°,如二右。’時，/CBD的大小為；(2)如圖2,當(dāng)NBAC=100°, ''時，求NCBD的大?。?3)已知/BAC的大小為m(!，，：1 ,,',")，若NCBD的大小與(2)中的結(jié)果相同，請直接寫出口的大小.圖1 圖2【答案】(1)30°；(2)30°；(3)a=120°-m°,。=60°或a=240-m°.【解析】試題分析：(1)由NBAC=100°,AB=AC,可以確定NABC=NACB=40°,旋轉(zhuǎn)角為a,a=60°時^ACD是等邊三角形，且AC=AD=AB=CD,知道NBAD的度數(shù)，進而求得NCBD的大小.(2)由NBAC=100°,AB=AC,可以確定NABC=NACB=40°,連結(jié)DF、BF.AF=FC=AC,NFAC=NAFC=60°,NACD=20°,由NDCB=20°案.依次證明△DCBa△FCB,△DAB^△DAF.利用角度相等可以得到答案.(3)結(jié)合(1)(2)的解題過程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求得答案.試題解析：(1)30°；(2)30°；(2)如圖作等邊△AFC,連結(jié)DF、BF.AF=FC=AC,NFAC=NAFC=60°.丁NBAC=100°,AB=AC,「.NABC=NBCA=40°.丁NACD=20°,「.NDCB=20°.「.NDCB=NFCB=20°.①;AC=CD,AC=FC,「.DC=FC.②;BC=BC,③」.由①②③，得△DCBM△FCB,「.DB=BF,NDBC=NFBC.丁NBAC=100°,NFAC=60°,「.NBAF=40°.丁NACD=20°,AC=CD,「.NCAD=80°.「.NDAF=20°.「.NBAD=NFAD=20°.④;AB=AC,AC=AF,「.AB=AF.⑤;AD=AD,⑥「?由④⑤⑥，得△DAB^△DAF.「.FD=BD.「.FD=BD=FB.」.NDBF=60°.，乙CBD=30°.(3)a=120°-m°,。=60°或a=240-m°.考點：1.全等三角形的判定和性質(zhì)；2.等邊三角形的判定和性質(zhì).6.如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過點B,C,NF=30°.(1)求證：BE=CE(2)將4EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動.若EF,EG分別與AB,BC相交于點M,N.(如圖2)①求證：△BEMM△CEN；②若八3=2,求4BMN面積的最大值；③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點B恰好在FG上(如圖3),求sinNEBG的值.【答案】⑴詳見解析；⑵①詳見解析；②2；③-T-【解析】【分析】(1)只要證明^BAEM△CDE即可；(2)①利用(1)可知△EBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明;②構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

利用面③如圖3中，作EH±BG于H.設(shè)NG=m，貝UBG=2m,BN=EN=<3m,EB=%6m.利用面積法求出EH,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題.【詳解】(1)證明：如圖1中，S1丁四邊形ABCD是矩形，「.AB=DC,乙A=ND=90°,「E是AD中點，「.AE=DE,「.△BAEM△CDE,「.BE=CE.由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，」.乙EBC=NECB=45°,「乙ABC=NBCD=90°,「.NEBM=NECN=45°,丁NMEN=NBEC=90°,「.NBEM=NCEN,;EB=EC,「.△BEM^△CEN；②?「△BEM^△CEN,「.BM=CN,設(shè)BM=CN=x，貝UBN=4-x,???'△bmn=2?x（4-x）=--（x-2）2+2，1--<0,??.x=2時，△BMN的面積最大，最大值為2.EB=,6m.③解：如圖3中，作EH±BG于H.設(shè)NG=m，則BG=2m,BN=EN=,1'3EB=,6m.'SABEG=1?EG?BN=-'SABEG=.匚%：3m?(1+<3)m3+<3TOC\o"1-5"\h\z…EH= = m,2m 23+J3 __在RtAEBH中，sinZEBH=絲_= 2m=瓜十近.\o"CurrentDocument"百—6mm― 4【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是準確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，7.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=30°,點。為AB中點，點P為直線BC上的動點(不與點B、點C重合)，連接0C、0P,將線段OP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段PQ,連接BQ.(1)如圖1,當(dāng)點P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系.(2)如圖2,當(dāng)點P在CB延長線上時，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點P在BC延長線上時，若ZBPO=15°,BP=4,請求出BQ的長.【答案】(1)BQ=CP；(2)成立：PC=BQ；(3)4<3—4.【解析】試題分析：(1)結(jié)論：BQ=CP.如圖1中，作PHIIAB交CO于H,可得△PCH是等邊三角形，只要證明△POH也△QPB即可；(2)成立：PC=BQ.作PHIIAB交CO的延長線于H.證明方法類似(1)；(3)如圖3中，作CE±OP于E,在PE上取一點F,使得FP=FC,連接CF.設(shè)CE=CO=a,則FC=FP=2a,EF=\3a，在RtAPCE中，表示出PC,根據(jù)PC+CB=4,可得方程?6+v,2)a+.五a=4，求出a即可解決問題；試題解析：解：(1)結(jié)論：BQ=CP.理由：如圖1中，作PHnAB交CO于H.在RtAABC中，TNACB=90°,NA=30°,點O為AB中點，，CO=AO=BO,NCBO=60°,「.△CBO是等邊三角形，「.NCHP=NCOB=60°,NCPH=NCBO=60°,「.NCHP=NCPH=60°,△CPH是等邊三角形，，PC=PH=CH,「.OH=PB,丁NOPB=NOPQ+NQPB=NOCB+NCOP,丁NOPQ=NOCP=60°,，NPOH=NQPB,TPO=PQ,「.△POH合△QPB,.，PH=QB,APC=BQ.(2)成立：PC=BQ.理由：作PHHAB交CO的延長線于H.在RtAABC中，,:NACB=90°,NA=30°,點O為AB中點，ACO=AO=BO,NCBO=60°,A△CBO是等邊三角形，aNCHP=NCOB=60°,NCPH=NCBO=60°,ANCHP=NCPH=60°,A△CPH是等邊三角形，APC=PH=CH,AOH=PB,TNPOH=60°+NCPO,NQPO=60°+NCPQ,ANPOH=NQPB,TPO=PQ,A△POH合△QPB,APH=QB,APC=BQ.(3)如圖3中，作CE±OP于E,在PE上取一點F,使得FP=FC,連接CF.TNOPC=15°,NOCB=NOCP+NPOC,ANPOC=45°,ACE=EO,設(shè)CE=CO=a，則UFC=FP=2a,EF=<3a,在RtAPCE中，PC=x:PE2+CE2=(((2a+<3a)2+a2=(v'6+、②a,tPC+CB=4,a(v,6+x⑵a+v'2a=4，解得a=4<2—2&,APC=4%；'3—4，由(2)可知BQ=PC,ABQ=4%；'3—4.圖1 圖？ 圖3點睛：此題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.8.如圖1,O為直線AB上一點，過點O作射線OC,ZAOC=30。，將一直角三角板CM=30。）的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM