第四講問題與分離變量法

第四講問題與分離變量法第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型方程其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非負(fù)；k(x)、k’(x)和q(x)連續(xù)或以端點(diǎn)為一階極點(diǎn)。斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型邊界條件周期性邊界條件三類齊次邊界條件有界性邊界條件第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三典型的斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題abkqρ

本征值問題0L1010L101-111-x2010bxm2/xx第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三本征函數(shù)系的正交性和完備性正交性完備性展開系數(shù)第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三典型例題例題1、特征值問題特征函數(shù)正交性完備性第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例題2、特征值問題特征值和征函數(shù)正交性完備性第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三二、拉普拉斯算符的形式二維三維直角坐標(biāo)極柱坐標(biāo)球坐標(biāo)第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三極坐標(biāo)下拉普拉斯算符形式的推導(dǎo)極坐標(biāo)下的形式直角坐標(biāo)下的形式坐標(biāo)變換關(guān)系微分變換關(guān)系第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三三、二維區(qū)域上波動(dòng)方程的分離變量法例：設(shè)邊界固定,均勻且柔軟的矩形膜,其長為,寬為，作微小橫振動(dòng),初始位移為,初始速度為.求此膜作自由振動(dòng)的規(guī)律。設(shè)為膜的位移,則上述物理問題可歸結(jié)為求解下列定解問題：第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三解：設(shè)

代入方程得：第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三其中為分離常數(shù),記.從而得到關(guān)于

的常微分方程由邊界條件,得

因此得特征值問題第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三求得特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為類似地,我們得到

以及關(guān)于的特征值問題其特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三記其通解為于是得到利用疊加原理,得到原定解問題的形式解，代入關(guān)于T的方程，得：第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三其中系數(shù)下面,我們利用初始條件確定系數(shù)

因?yàn)?/p>

由三角函數(shù)在矩形區(qū)域上的正交性,得其中第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三四、拉普拉斯方程定解問題分離變量法例：設(shè)一半徑為的薄圓盤,上下兩面絕緣,圓周溫度分布已知.求穩(wěn)恒狀態(tài)下圓盤內(nèi)的溫度分布.解：求溫度分布規(guī)律,就是解下列邊值問題由于區(qū)域?yàn)閳A域,不能直接分離變量。

（*）第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三我們考慮作極坐標(biāo)變換,則邊值問題可化為由于圓盤內(nèi)溫度不可能為無限,特別圓盤中心溫度也一定有限,所以有自然條件又因?yàn)樵跇O坐標(biāo)中,與表示同一點(diǎn),故其中有周期條件第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)代到定解問題的方程中，得因此有于是得到兩個(gè)特征值問題由自然條件和邊界條件得和（1）（2）第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)時(shí),只有零解;當(dāng)時(shí),有非零解

，先求解第一個(gè)特征值問題當(dāng)時(shí),特征值問題(1)中方程的通解為

由周期性條件

得故得特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三下面求解第二個(gè)特征值問題第二個(gè)特征值問題中的方程是歐拉方程,

當(dāng)時(shí),其通解為當(dāng)時(shí),其通解為

由的有界性,推得

所以于是得到滿足邊值問題中方程與自然條件和周期條件的一列非零解

第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三其中

根據(jù)疊加原理,可設(shè)滿足定解問題(*)中方程的形式解為代入(*)中的邊界條件,得上式可以看作在上的傅里葉展開式,所以第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三為了應(yīng)用上的方便,通常需要把解表示成積分形式

其中

上述公式稱為圓域內(nèi)的泊松公式.它的作用在于將解表成了積分形式,便于從理論上進(jìn)行研究.

函數(shù)稱為泊松核

（**）第21頁，共22頁