2022-2023學(xué)年云南省玉溪高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年云南省玉溪高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)為A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】解二次不等式求得集合A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得集合B，然后確定出集合，進(jìn)而可得真子集的個(gè)數(shù)．【詳解】由題意得，，∴，∴的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)．故選C．【點(diǎn)睛】一個(gè)含有個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，真子集的個(gè)數(shù)為（）個(gè)，非空子集的個(gè)數(shù)為（）個(gè)，非空真子集的個(gè)數(shù)為（）個(gè)．2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)乘積為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，由?又，所以.故選：A.3．某汽車制造廠分別從A，B兩類輪胎中各隨機(jī)抽取了6個(gè)進(jìn)行測(cè)試，下面列出了每一個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程（單位：）．A類輪胎：94，96，99，99，105，107．B類輪胎：95，95，98，99，104，109．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)小于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)B．A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差C．A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)D．A類輪胎的性能更加穩(wěn)定【答案】D【分析】根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：對(duì)A：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為99，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為95，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為13，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為14，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．對(duì)C：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．對(duì)D：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定，選項(xiàng)D正確．故選：D.4．已知實(shí)數(shù)滿足，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將配方得，由幾何意義可知，表示直線上的動(dòng)點(diǎn)與的距離的平方，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，即可求解出最小值.【詳解】由可得，可以看作直線上的動(dòng)點(diǎn)與的距離的平方，又因?yàn)辄c(diǎn)與的最小距離為到直線的距離，為，故的最小值為.故選：A.5．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則，故選：B6．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)得，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡(jiǎn)求解.【詳解】由，得，即，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角恒等變換求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三變（變角變名變式）.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.7．已知的通項(xiàng)公式是，則數(shù)列的最大項(xiàng)是第（

）項(xiàng)．A．12 B．13 C．12或13 D．14【答案】C【分析】的通項(xiàng)公式是令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可求解．【詳解】解：，顯然，令，則∴在上遞增，在上遞減，∴時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值即最大值.則數(shù)列的最大項(xiàng)是第12或13項(xiàng).故選：C.8．設(shè)，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可比較出a、b、c的大小．【詳解】令，，則，，，而，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，即.故選：B.二、多選題9．如圖，在正方體中，M，N分別為棱的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（）A．直線AM與是相交直線B．直線BN與是異面直線C．AM與BN平行D．直線與BN共面【答案】BD【分析】根據(jù)異面直線的定義，結(jié)合三角形中位線定理、正方體的性質(zhì)、共面的判定方法逐一進(jìn)行判斷即可【詳解】解：A選項(xiàng)，∵四點(diǎn)不共面，∴根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與是異面直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，∵四點(diǎn)不共面，∴根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與是異面直線，故選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)E，連接AE、EN，則有，所以四邊形是平行四邊形，所以，∵AM與AE交于點(diǎn)A，∴AM與AE不平行，則AM與BN不平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，連接，因?yàn)椋謩e為棱，的中點(diǎn)，所以，由正方體的性質(zhì)可知：，所以，∴四點(diǎn)共面，∴直線與BN共面，故選項(xiàng)D正確．故選：BD．10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列【答案】AD【分析】先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系化簡(jiǎn)條件，再構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式求，最后根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得.【詳解】由，則且，所以因此數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；所以，則，即A正確；當(dāng)時(shí)，，而不滿足上式，所以，即B、C不正確；故選：AD11．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的，使得，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)闀r(shí)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的，使得，所以，解得.故選：BCD.12．2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，2），橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G．若過(guò)原點(diǎn)O的直線與上半橢圓交于點(diǎn)A，與下半圓交于點(diǎn)B，則（

）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B．的周長(zhǎng)為C．線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是D．面積的最大值是【答案】BC【分析】由題意可得b、c，然后可得a，可判斷A；由橢圓定義可判斷B；由橢圓性質(zhì)可判斷C；設(shè)所在直線方程為，分別聯(lián)立橢圓、圓的方程，求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出根據(jù)單調(diào)性可得最大值判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題知，橢圓中，得，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓定義知，，所以的周長(zhǎng)，故B正確；對(duì)于C，，由橢圓性質(zhì)可知，所以，故C正確；對(duì)于D,設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，則，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值4，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題13．是虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)滿足等式，則的模________．【答案】【分析】以復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則和復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)已知條件進(jìn)行變形整理，是本題的簡(jiǎn)潔方法.【詳解】由，可得則有，即，故有故答案為：14．已知、分別是等差數(shù)列、的前項(xiàng)的和，且.則______.【答案】【詳解】試題分析：由等差數(shù)列性質(zhì)可知【解析】等差數(shù)列性質(zhì)及求和15．球內(nèi)接直三棱柱，則球表面積為___________.【答案】【分析】由題可得外接球的球心O是上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，然后構(gòu)造直角三角形，可得半徑，從而得到表面積.【詳解】設(shè)三角形ABC和三角形的外心分別為D，E．可知其外接球的球心O是線段DE的中點(diǎn)，連結(jié)OC，CD，設(shè)外接球的半徑為R，三角形ABC的外接圓的半徑r，可得，由正弦定理得，，而在三角形OCD中，可知，即，因此三棱柱外接球的表面積為．故答案為：16．已知，分別是雙曲線，的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上有一點(diǎn)，滿足，且，則該雙曲線離心率的取值范圍是____【答案】.【分析】根據(jù)題意，通過(guò)雙曲線的定義和余弦定理求出的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)離心率的定義求得答案.【詳解】如示意圖，設(shè)，由雙曲線的定義可得：，而，由余弦定理：，于是.記，而，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即.故答案為：.四、解答題17．如圖，四棱錐的底面為正方形，二面角為直二面角，，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，點(diǎn)N是線段上靠近B的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn),連接.證明出平面，即可得到；（2）取的中點(diǎn),連接.由（1）可知兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為x軸、y軸、z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.利用向量法求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn),連接.因?yàn)?所以,所以.又二面角為直二面角,所以平面.因?yàn)槠矫?，所?在正方形中,分別為的中點(diǎn),所以△DAO≌△CDM,所以.又,所以,所以.因?yàn)?平面,平面,所以平面.又平面,所以.（2）取的中點(diǎn),連接.由（1）可知兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為x軸、y軸、z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)則.所以.則設(shè)平面的一個(gè)法向量.則，不妨設(shè)則設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為.18．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)已知的面積為，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，且，的平分線交BC于N，求線段AN的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化將原式化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角恒等變換即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，可得，再結(jié)合三角形的面積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意知中，，由正弦定理邊角關(guān)系得：則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又，，所以，即．（2）如下圖所示，在中，為中線，∴，∴，∴．∵，∴，，∴，∵，∴，∴．19．?dāng)?shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知條件，構(gòu)造項(xiàng)，兩式相減即可得到，并檢驗(yàn)即可；（2）利用裂項(xiàng)法求和即可.【詳解】（1）取，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，整理得；當(dāng)時(shí)，也符合上式，綜上，；（2）由（1）得，則，20．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得，進(jìn)而得，則是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果；（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再由“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式證明結(jié)論.【詳解】（1）由可得，，因式分解得，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即.（2）由（1）可知，，∵，∴，故.，則，∴，∴，又因?yàn)?，所以?21．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且.過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)原點(diǎn)作一條垂直于的直線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求得即可解決；（2）分直線斜率不存在，斜率存在兩種情況，斜率存在時(shí)設(shè)，直線，直線，聯(lián)立橢圓方程求得，，得，令，則不妨設(shè)，即可解決.【詳解】（1）由，得，又的周長(zhǎng)為，即，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，得；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，直線，聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得，.由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以.聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.令，則不妨設(shè)，，，，綜上可得，的取值范圍為.22．已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）將導(dǎo)數(shù)化為求其零點(diǎn)并討論零點(diǎn)的大小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解.（2）結(jié)合第（1）問(wèn)的結(jié)果，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值的符號(hào)構(gòu)造不等式求