2022-2023學(xué)年山東省萊西市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省萊西市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．單位向量均相等 B．單位向量C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則【答案】C【分析】對(duì)于A：由方向不一定相同否定結(jié)論；對(duì)于B：?jiǎn)挝幌蛄?否定結(jié)論；對(duì)于C：零向量與任意向量平行.即可判斷；對(duì)于D：，的方向可以是任意的.否定結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：?jiǎn)挝幌蛄康哪Ｏ嗟?，但是方向不一定相?故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：?jiǎn)挝幌蛄?故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：零向量與任意向量平行.正確；對(duì)于D：若向量，滿足，但是，的方向可以是任意的.故選：C2．已知向量，若與共線，則等于（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先得出與的坐標(biāo)，由共線得出，進(jìn)而得出答案.【詳解】解：易得，因?yàn)榕c共線，所以，即，所以.故選：.3．若，，且，是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】解：、是方程的兩個(gè)根，，，，，即、,，則，則，故選：B．4．已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)等式兩邊平方即可求得夾角.【詳解】，，即，即，又，，解得，，所以.故選：C5．若非零向量和滿足，且，則一定是（

）A．鈍角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．有一個(gè)內(nèi)角為的銳角三角形【答案】B【分析】根據(jù)單位向量的定義及向量加法的定義可得，再由數(shù)量積的定義求出，即可判斷.【詳解】解：因?yàn)楸硎九c同向的單位向量，根據(jù)向量的性質(zhì)可得，在的角平分線上（設(shè)角平分線為，，從而有，所以，又因?yàn)榍?，所以，又，所以，所以，則，所以三角形為等腰直角三角形.故選：B．6．已知函數(shù)在時(shí)取得最大值，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到，然后用兩角和的余弦公式即可求解【詳解】因?yàn)樵跁r(shí)取得最大值，所以，即，所以故選：C7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，再根據(jù)二倍角的正弦公式及平方關(guān)系結(jié)合商數(shù)關(guān)系化弦為切，從而可得出答案.【詳解】解：由，得，所以.故選：D.8．在中，若，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理得到關(guān)于的表達(dá)式，再利用三角形面積公式，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法即可得解.【詳解】依題意，不妨設(shè)，，，則，，由余弦定理得，即，則，故，則，所以，又因?yàn)?，故，?dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，能組成三角形．所以，即.故選：A.二、多選題9．對(duì)于任意兩個(gè)向量，下列命題正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】AC【分析】由向量的概念、加法、減法和數(shù)量積運(yùn)算依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，顯然正確；對(duì)于B，當(dāng)為非零向量，且時(shí)，顯然，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，向量無法比較大小，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．已知向量，其中，下列說法正確的是（

）A．若，則；B．若與夾角為銳角，則；C．若，則在方向上投影向量為；D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示直接求解可判斷A；注意向量同向不滿足題意可判斷B；根據(jù)投影向量的定義直接求解，可判斷C；根據(jù)性質(zhì)可知與同向，然后可判斷D.【詳解】若，則，解得，A正確；若與夾角為銳角，則，解得，又當(dāng)，，此時(shí)，與夾角為0，故B錯(cuò)誤；若，則，因?yàn)樵诜较蛏贤队盀?，與同向的單位向量為，所以在方向上投影向量為，C正確；若，則與同向，由上可知，此時(shí)，D正確.故選：ACD11．已知函數(shù)的圖象為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．圖象的所有對(duì)稱中心都可以表示為（）C．函數(shù)在上的最小值為D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABC【分析】化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性、最值、單調(diào)性等知識(shí)確定正確答案.【詳解】，A選項(xiàng)，，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，由，解得，所以圖象的所有對(duì)稱中心都可以表示為（），B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC12．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則的面積是15 D．若，則外接圓半徑是【答案】AD【分析】設(shè)，，，，求出，，，根據(jù)正弦定理可判斷A正確；根據(jù)平面向量數(shù)量積和余弦定理可判斷B不正確；根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可判斷C不正確；根據(jù)余弦定理和正弦定理可判斷D正確.【詳解】設(shè)，，，，則，，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，若，則，，，所以，所以，所以的面積是，故C不正確；對(duì)于D，若，則，則，則，，，所以，，所以外接圓半徑為.故D正確.故選：AD三、填空題13．已知向量，，則向量在向量的方向上的數(shù)量投影為__．【答案】【分析】由數(shù)量投影的定義、數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】向量在向量的方向上的數(shù)量投影為：．故答案為：.14．若為偶函數(shù)，則__________.【答案】【分析】化簡(jiǎn)，只要就為偶函數(shù)，結(jié)合，即可求出答案.【詳解】，只要就為偶函數(shù)，，又，故.故答案為：.15．如圖所示，CD是某校園內(nèi)一標(biāo)志性雕像，小明同學(xué)為了估算該雕像的高度，在學(xué)校教學(xué)樓AB（高為米）與雕像之間的地面上的點(diǎn)M處（B，M，D三點(diǎn)共線）測(cè)得樓頂A及雕像頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處又測(cè)得雕塑頂C的仰角為30°，假設(shè)AB?CD和點(diǎn)M在同一平面內(nèi)，則小明估算該雕像的高度為___________米．【答案】【分析】結(jié)合正弦定理、三角恒等變換等知識(shí)計(jì)算出正確答案.【詳解】在中，，解得，其中，在中，，所以，由正弦定理得，，故．在中，，所以，估算該雕像的高度為米．

故答案為：16．在中，，M為的外心，若，，則________．【答案】7【分析】令邊AB，AC中點(diǎn)分別為D，E，將分別用和表示，再與求數(shù)量積即可列式計(jì)算作答.【詳解】如圖，令邊AB，AC中點(diǎn)分別為D，E，連接DM，EM，因點(diǎn)為的外心，于是得，，，，，，依題意，，，解得，所以.故答案為：四、解答題17．已知兩個(gè)非零向量與不共線，(1)若，求證：A?B?D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使得與共線；(3)若，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由平面向量的共線定理證明共線，即可得證；（2）由平面向量的共線定理與向量相等求解即可；（3）由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可【詳解】（1）∵，∴，∴共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A?B?D三點(diǎn)共線；（2）∵與共線，∴存在實(shí)數(shù)，使，即，∴，∵是兩個(gè)不共線的非零向量，∴，∴，解得；（3）∵，且，∴，解得.18．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)求在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角的正弦公式、降冪公式以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，即可求得周期；（2）由的范圍得到的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】（1），所以的最小正周期.（2）∵，∴，當(dāng)，即時(shí)，.19．已知平行四邊形ABCD，，AD⊥BD，E、F分別為AC上2個(gè)三等分點(diǎn).(1)設(shè)=，=，||=1.，判斷DE、BF的位置關(guān)系并用向量方法加以證明，求的值(2)已知A（1，1），B（5，1），求D點(diǎn)坐標(biāo)及的值【答案】(1)平行；證明見解析，(2)或，【分析】（1）將向量和用和表示，可得，再結(jié)合圖形可知；（2）在直角三角形中，計(jì)算可得，設(shè)，利用和可求出的坐標(biāo)；將和分別用、表示，利用、的長度和夾角可求出的值.【詳解】（1），證明如下：因?yàn)镋、F分別為AC上2個(gè)三等分點(diǎn)，所以，，所以，，所以，結(jié)合圖形可知，因?yàn)?，，，所以，所以，?）設(shè)，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，，所以，即，即，又，，且，所以，?lián)立，得或，所以或.因?yàn)?，，所?20．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)，求的值域．【答案】（1）對(duì)稱軸方程為x，k∈Z．（2）【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性，求得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程．(2)由平移變化得的解析式，再利用整體換元法求值域【詳解】（1）∵函數(shù)f（x）＝2sinxcosx+2sin（x）cos（x）＝sin2xsin（2x）＝sin2xcos2x＝2sin（2x），∴令2xkπ，求得x，k∈Z，故函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為x，k∈Z．（2）令則，故的值域?yàn)?1．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，．(1)求；(2)設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可；（2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以．在中，由余弦定理得，即，解得（舍去），．?）因?yàn)?，由余弦定理得，又，即是直角三角形，所以，則，又，則，所以的面積為．22．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求A角的值；