2022-2023學年浙江省杭州市余杭高二年級下冊學期3月階段性測試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年浙江省杭州市余杭高二下學期3月階段性測試數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解對數(shù)不等式化簡集合，再由交集運算即可求解.【詳解】由得，即，∴，故選：A.2．設，則（

）A．i B． C．1 D．【答案】A【分析】利用復數(shù)的乘法可求運算結(jié)果.【詳解】,故選：A3．在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的運算的幾何表示結(jié)合條件即得.【詳解】∵，∴，又∴.故選：B.4．沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）．在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處漏到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的．已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐中漏到另一個圓錐中需用時1小時．當上方圓錐中沙子的高度漏至一半時，所需時間為（

）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時【答案】B【分析】根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為求，根據(jù)圓錐體積公式計算即可.【詳解】如圖，依題意可知，，所以，1小時小時．故選：B．5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中陰影部分的面積為，則函數(shù)在上的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圖象求出，代入求出，由陰影部分面積求出，從而求出，求出，再用整體法求解最小值.【詳解】由圖象知，，∴，則，∵陰影部分的面積為，∴函數(shù)的最小正周期，∴，∴．當時，，∴當，即時，取得最小值，最小值為，故選：C．6．如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)在要求在其余四個區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）A．64 B．72 C．84 D．96【答案】C【分析】根據(jù)題意可知每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，分類研究，A、C不同色；A、C同色兩大類，由此可得答案．【詳解】由題意知，分兩種情況：(1)、C不同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色：有種；(2)、C同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3種顏色中任意取一色：有種．共有種，故選：C．7．一個口袋中有大小、形狀完全相同的4個紅球，3個藍球，3個白球，現(xiàn)從袋中隨機抽取3個球．事件甲：3個球的顏色互不相同；事件乙：恰有2個紅球；事件丙：至多有1個藍球；事件?。?個球顏色均相同．則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件甲與事件丁為對立事件 B．事件乙的概率是事件丁的6倍C．事件丙和事件丁相互獨立 D．事件甲與事件丙相互獨立【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷A，求出事件甲，乙，丙，丁的概率，由此判斷B，結(jié)合獨立事件的定義判斷C，D.【詳解】事件甲與事件丁為互斥事件，但事件取得的3個球為2個紅球，1個白球發(fā)生時，事件甲與事件丁都不發(fā)生，所以事件甲與事件丁不對立，A項錯誤；事件甲的概率，事件乙的概率，事件丙的概率，事件丁的概率，，故B項正確；事件丙和事件丁同時發(fā)生的概率，故C項錯誤；因為事件甲與事件丙同時發(fā)生的事件為甲事件，且，所以事件甲與事件丙不相互獨立，故D項錯誤．故選：B．8．已知偶函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為.當時，恒成立.設，記，，，則，，的大小關系為A． B． C． D．【答案】B【詳解】當時，時，即．構(gòu)造函數(shù)，當x<0時，，即F(x)在上遞增，為奇函數(shù)．所以F(x)在單調(diào)遞增．因為，所以，即，所以,,所以．選B.二、多選題9．已知直線和圓，則（

）A．直線l恒過定點B．存在k使得直線l與直線垂直C．直線l與圓O相交D．若，直線l被圓O截得的弦長為4【答案】BC【分析】利用直線系方程求出直線所過定點坐標判斷A、C；求出使得直線與直線垂直的值判斷B；根據(jù)弦長公式求出弦長可判斷D.【詳解】解：對于A、C，由，得，令，解得，所以直線恒過定點，故A錯誤；因為直線恒過定點，而，即在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，故C正確；對于B，直線的斜率為，則當時，滿足直線與直線垂直，故B正確；對于D，時，直線，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓O截得的弦長為，故D錯誤.故選：BC.10．設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題為假命題的是（

）A．若，則 B．若則C．若則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關系判斷．【詳解】選項A，若，則可能平行也可能是異面直線，A錯；選項B，正三棱柱的兩個側(cè)面分別是平面，一個底面是平面，滿足，但相交，B錯；選項C，，又，∴，C正確；選項D，時，也可能是內(nèi)，不一定有，D錯，故選：ABD．11．為了貫徹常態(tài)化疫情防控工作，動員廣大醫(yī)護人員抓細抓實各項防疫工作，人民醫(yī)院組織護理、感染、兒科、疾控、藥劑、呼吸六位專家進行“防疫有我，健康同行”知識講座，每天一人，連續(xù)6天.則下列結(jié)論正確的是（

）A．從六位專家中選兩位的不同選法共有20種B．“呼吸類專家”不排在最后一天的不同排法共有600種C．“護理、感染類專家”排在相鄰兩天的不同排法共有240種D．“護理、感染、兒科類專家”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種【答案】BC【分析】由組合知識判斷A；從前5天中任選一天排“呼吸類專家”，再排其他專家，從而判斷B；由捆綁法判斷C；由插空法判斷D.【詳解】對于A：從六位專家中選兩位的不同選法共有種，故A錯誤；對于B：從前5天中任選一天排“呼吸類專家”，再排其他專家共有種，故B正確；對于C：將“護理”，“感染類專家”視為一個元素，不同的排法共有種，故B正確；對于D：先排疾控、藥劑、呼吸，再用插空法排護理、感染、兒科類專家，共有種，故D錯誤；故選：BC12．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若關于直線對稱，為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】關于直線對稱得，求出導數(shù)令得可判斷A；由得到，求導可得，令2024，又為奇函數(shù)，可得，可得函數(shù)的周期可判斷C正確；由，得函數(shù)的圖象關于點對稱，可判斷BD.【詳解】因為關于直線對稱，所以，所以，令，得，所以A正確；由得到，所以，所以，令2024，則，又因為為奇函數(shù)，所以，即，即，所以，即，所以函數(shù)的周期為，所以，所以C正確；由，得函數(shù)的圖象關于點對稱，所以，所以D錯誤，B正確.故選：ABC.三、填空題13．的展開式中常數(shù)項是__________（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】寫出二項式展開通項，即可求得常數(shù)項.【詳解】其二項式展開通項：當，解得的展開式中常數(shù)項是：.故答案為：.【點睛】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項，解題關鍵是掌握的展開通項公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.14．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是___________.【答案】36【分析】根據(jù)題中定義“正交線面對”的含義，找出正方體中“正交線面對”的組數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】如果一條直線與一個平面垂直，那么，這一組直線與平面就構(gòu)成一個正交線面對.如下圖所示：①對于正方體的每一條棱，都有個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有個；②對于正方體的每一條面對角線（如，則平面），均有一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有個.綜上所述，正方體中的“正交線面對”共有個.故答案為.15．已知點分別是橢圓的左、右焦點，過且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△為正三角形，則該橢圓的離心率為_____.【答案】【分析】先求出AF1的長，直角三角形AF1F2中，由邊角關系得tan30°＝建立關于離心率的方程，解方程求出離心率的值【詳解】解：由已知可得，∵tan30°＝∴∵0＜e＜1∴e＝故答案為.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關系，解方程求離心率的大小，屬于基礎題.16．已知函數(shù)的定義域，，，且．若數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，則______．【答案】【分析】令可求得，令可求得，則推導得到；將所求式子化為，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】令，則，又，；令，則，，，以此類推，可得，所以令，.故答案為：.四、解答題17．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的最值.【答案】（1）；（2）最大值為16,最小值為-76．【詳解】試題分析：（1）求出導函數(shù)，然后根據(jù)得到關于的方程組，解方程組可得，從而可得函數(shù)的解析式．（2）先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值和端點值，比較大小后可得函數(shù)的最大值和最小值．試題解析：（1）由題意得，在處的切線方程為，∴

，即，解得．∴函數(shù)的解析式為．（2）由（1）得，∴當時，單調(diào)遞增，

當時，單調(diào)遞減.∴

當時，有極大值，且極大值為．又，∴

在上的最小值為，最大值為．點睛：（1）求給定區(qū)間上的函數(shù)最值的步驟：①求函數(shù)的導數(shù)；②求在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；③求在給定區(qū)間上的端點值；④將的各極值與的端點值進行比較，確定的最大值與最小值；（2）在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較．18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)誘導公式以及二倍角公式即可化簡，進而可求值域，（2）根據(jù)結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得，進而由余弦定理以及不等式即可求解.【詳解】（1），∴的值域為．（2），即，由,得∴，即，又，即，∴，∴，當且僅當時取得．19．設數(shù)列的前n項和為，且．(1)求；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1).(2).【分析】（1）由求得首項，繼而得當時，兩式相減可得，從而說明數(shù)列為等比數(shù)列，求得答案；（2）由（1）的結(jié)論可得的通項公式，利用錯位相減法即可求得.【詳解】（1）當時，，∴,結(jié)合可知,當時，由，得，兩式相減得，即,∴是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）可得，∴，∴，∴，∴.20．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點，F(xiàn)在上，滿足.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析.(2).【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)題意求得相關點坐標，求出點F的坐標，求出平面和平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）證明：因為平面，平面ABCD,所以,又因為，平面，所以平面.（2）過A作的垂線交于點M,因為平面，平面,所以,以A為坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系如圖，則,因為E為的中點，所以,因為F在上，設,則,故,因為，所以，即，即，即，所以，設平面的一個法向量為，則,即，令，則，故；，設平面的一個法向量為，則,即，令，則，故，故，由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.21．已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過的直線與雙曲線的一支交于、兩點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意建立的方程組即可求解;(2)利用韋達定理確定的取值范圍，再建立之間的等量關系即可求解.【詳解】（1）由離心率又,所以，又右頂點為，所以，所以，故雙曲線的標準方程為.（2）設直線的方程為，設，則由得，因為直線與雙曲線一支交于、兩點，所以，解得，因此，因為，所以，所以，所以，故.22．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對于任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）求