計算聲學(xué)第一章數(shù)值計算中的誤差分析

計算聲學(xué)第一章數(shù)值計算中的誤差分析第1頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四水聲學(xué)主要研究聲波在水下的輻射、傳播與接收，用以解決與水下目標(biāo)探測和信息傳輸過程有關(guān)的各種聲學(xué)問題。聲波是目前在海洋中唯一能夠遠(yuǎn)距離傳播的能量輻射形式。因此作為信息載體的聲波，在海洋中所形成的聲場時空結(jié)構(gòu)，就成為近代水聲學(xué)的基本研究內(nèi)容，而提取海洋中聲場信息的結(jié)構(gòu)是我們用來進(jìn)行水下探測、識別、通信及環(huán)境監(jiān)測等的手段。前言第2頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言海洋環(huán)境第3頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四波動方程：波動方程是聲學(xué)量在聲場中滿足的基本關(guān)系式，反映了波動特征，也是進(jìn)行聲場計算的基本關(guān)系式。在導(dǎo)出波動方程前，為了使問題簡化，需要對介質(zhì)和聲波做一些假設(shè)：（1）介質(zhì)是均勻連續(xù)的，即在波長數(shù)量級距離內(nèi)，介質(zhì)的聲學(xué)性質(zhì)保持不變；（2）介質(zhì)是理想流體介質(zhì)，聲波在其中傳播時沒有能量損耗，即忽略介質(zhì)的粘滯性和熱傳導(dǎo)性；（3）研究小振幅波的傳播規(guī)律，所謂小振幅波是指各聲學(xué)量都是一級小量。波動方程是描述波動運動的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它由連續(xù)性方程、狀態(tài)方程和運動方程推導(dǎo)得到。前言第4頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四波動方程：理想流體介質(zhì)中小振幅平面波的波動方程為（沿軸向傳播）：小振幅聲壓在三維坐標(biāo)下的波動方程為為拉普拉斯算符，在直角坐標(biāo)系中

前言第5頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四海洋聲場的數(shù)值預(yù)報在建立了能夠反映海洋環(huán)境因素對聲場的制約關(guān)系的聲場物理模型（波動方程+定解條件）的基礎(chǔ)上，根據(jù)可測海洋環(huán)境參數(shù)的測定值或預(yù)報值，編寫程序完成數(shù)值計算，給出相應(yīng)海洋環(huán)境條件下的有關(guān)場值。近年來，由于計算機(jī)的快速發(fā)展，數(shù)值計算聲場是一個快速發(fā)展的領(lǐng)域。海洋聲場的數(shù)值預(yù)報方法主要有射線算法、簡正波算法、拋物方程（PE）算法、快速場（FFP）算法等，各自有不同的適應(yīng)范圍。前言第6頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言函數(shù)插值：已知一組不同深度處的聲速值，如何得到任意深度處的聲速值？

深度（m）0.050.0100.0200.0300.0400.0500.0800.0聲速(m/s)1510.51510.41505.81500.81496.01492.01488.11483.21000.01200.02000.03000.04000.01482.61482.41498.01516.61534.8第7頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言第8頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言數(shù)值積分：聲線軌跡計算聲線從深度傳播到深度所經(jīng)過的水平距離為第9頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言問題：利用射線聲學(xué)模型對海洋聲場進(jìn)行求解

第10頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四偽彩色圖前言第11頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言三維環(huán)境下聲傳播第12頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言三維海洋環(huán)境下特征聲線求解：為聲線的位置信息，需要求解，其它參數(shù)已知。第13頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言三維海洋環(huán)境下特征聲線求解（線性方程組、非線性方程、非線性方程組）1.牛頓法迭代法：泰勒級數(shù)展開式的線性部分近似2.進(jìn)化算法：遺傳算法、模擬退化算法、粒子群算法等第14頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言曲線擬合：已知目標(biāo)散射場指向性的實驗測量結(jié)果如圖所示，如何比對其與理論計算結(jié)果的誤差？鋁球散射聲場指向性頻率kHz第15頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四微分方程求解：隨機(jī)共振系統(tǒng)對微弱信號的檢測非線性雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)

利用四階龍格庫塔算法求解前言第16頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言四階龍格庫塔算法第17頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言第18頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言第19頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言第20頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四前言必要性：

現(xiàn)代科學(xué)研究和高技術(shù)的發(fā)展越來越需要借助計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計算，水聲領(lǐng)域也不例外。講授的主要內(nèi)容：1、數(shù)值計算方法：誤差分析、方程組求解、非線性方程求解、插值法、最小二乘與曲線擬合、數(shù)值微積分、常微分方程求解；2、進(jìn)化算法（方程組求解）：量子粒子群算法；3、虛源法聲場建模。第21頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值計算的對象、任務(wù)與特點對象：數(shù)值計算方法是研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解及其理論的一個分支，涉及代數(shù)、微積分、微分方程等的數(shù)值解問題。任務(wù)：研究適合在計算機(jī)上使用的數(shù)值計算方法及相關(guān)理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析等；還要根據(jù)計算機(jī)的特點研究如何設(shè)計計算方法做到計算時間短、占用內(nèi)存小。學(xué)習(xí)目的：提高應(yīng)用計算機(jī)解決實際問題的能力。

第22頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值計算的對象、任務(wù)與特點數(shù)值計算流程：特點：

既具有數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)格性，又具有應(yīng)用的廣泛性與實際實驗的技術(shù)性，是一門與計算機(jī)緊密結(jié)合的實用性很強(qiáng)的有著自身研究方法與理論體系的計算數(shù)學(xué)課程。第23頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值計算中的誤差分析內(nèi)容提要：掌握絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字、數(shù)值計算的誤差估計以及設(shè)計算法的原則。重點內(nèi)容：絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字的概念，數(shù)值計算的誤差估計。第24頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四誤差與數(shù)值計算的誤差估計一、誤差的來源與分類將一個數(shù)的準(zhǔn)確值與其近似值之差稱為誤差。1.分類

過失誤差：人為造成，可以避免

非過失誤差：

無法避免，分析產(chǎn)生原因，限制在許可范圍之內(nèi)第25頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計2.誤差來源（非過失誤差）模型誤差：數(shù)學(xué)模型是通過對實際問題進(jìn)行抽象和簡化建立的，是一種近似描述。觀測誤差：測量工具精度與測量手段的限制。舍入誤差：計算機(jī)位數(shù)的限制，由于計算機(jī)的字長是有限的，對參與計算的數(shù)據(jù)和最后得到的計算結(jié)果，都必然用有限位小數(shù)代替無窮位小數(shù)。第26頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計截斷誤差：由數(shù)值方法求得的數(shù)學(xué)問題的近似解與數(shù)學(xué)模型的精確解之間的誤差，是數(shù)值計算方法固有的。取部分和作近似截斷誤差：第27頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四絕對誤差與絕對誤差限絕對誤差：

設(shè)某一量的精確值為，其近似值為，則稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差。 時稱為弱近似值或虧近似值； 時稱為強(qiáng)近似值或盈近似值。絕對誤差限：如果存在，使得，則稱為近似值的絕對誤差限，簡稱誤差限或精度（測量時，測量工具最小刻度的一半）。越小，表示近似值的精度越高。在工程技術(shù)上常用表示近似值的精度或精確值的范圍?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計第28頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計例：用毫米刻度的尺子測得桌子長度近似值為mm，由尺子的精度可以知道，近似值的誤差不超過0.5mm，即

表明精確值在區(qū)間內(nèi)，可以寫成絕對誤差限mm，即絕對誤差限是末位的半個單位。第29頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四相對誤差和相對誤差限相對誤差：絕對誤差與精確值之比，即稱為近似值的相對誤差。實際中，由于精確值一般無法知道，所以常取作為近似值的相對誤差。相對誤差限：若存在，使得，則稱為近似值的相對誤差限。注意：絕對誤差和絕對誤差限與有相同的量綱，相對誤差和相對誤差限是無量綱的，工程中常以百分?jǐn)?shù)來表示?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計第30頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例1.1

國際大地測量學(xué)會建議光速采用其含義是絕對誤差限為多少？而其相對誤差限為多少？§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計第31頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計絕對誤差限：近似值：相對誤差限：第32頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四有效數(shù)字如果近似值的絕對誤差限是某一位的半個單位，就稱其“準(zhǔn)確”到這一位，且從該位開始直到的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱近似數(shù)有n位有效數(shù)字。有效數(shù)字既能表示近似值的大小，又能表示其精確程度（絕對誤差限）。例1.2

設(shè)，其近似值，問有幾位有效數(shù)字？如果，有幾位有效數(shù)字？§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計第33頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)題1.指出如下有效數(shù)的絕對誤差限、相對誤差限和有效數(shù)字位數(shù)。

2.將22/7作為的近似值，它有幾位有效數(shù)字？絕對誤差限和相對誤差限各為多少？第34頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計有效數(shù)字

設(shè)的近似值可以寫成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式

所以當(dāng)其絕對誤差限滿足時，稱近似值具有位有效數(shù)字。第35頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計結(jié)論：如果

，有位有效數(shù)字，則其相對誤差限為反之，如果的相對誤差限滿足則至少有位有效數(shù)字。第36頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計例1.3

要使的近似值的相對誤差小于，至少需取幾位有效數(shù)字？第37頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四誤差的傳播與估計實際的數(shù)值計算中，參與運算的數(shù)據(jù)往往都是近似值，帶有誤差。而在進(jìn)一步運算中都會產(chǎn)生舍入誤差或截斷誤差，這些誤差在運算過程中會進(jìn)行傳播，影響計算結(jié)果?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計第38頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四一元函數(shù)的泰勒（Taylor）中值定理：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，，則有其中，拉格朗日型余項（介于之間）。

§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計第39頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計泰勒（Taylor）公式估計誤差的方法：以二元函數(shù)為例，設(shè)和分別是和的近似值，是函數(shù)值的近似值。函數(shù)在點處的Taylor展開式為第40頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計式中一般都是小量值，如果忽略它們的高階無窮小量，則上式簡化為因此的絕對誤差為第41頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計系數(shù)分別是一階偏導(dǎo)數(shù)在處的值，稱為對的絕對誤差的增長因子，分別表示絕對誤差經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù)。第42頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計的相對誤差

分別是對的相對誤差的增長因子，表示相對誤差經(jīng)過傳播后增大或減小的倍數(shù)。

第43頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四

由此可以得到兩近似數(shù)的和、差、積、商的誤差估計（絕對誤差）為§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計第44頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例1.4

經(jīng)過四舍五入得到，，問他們分別具有幾位有效數(shù)字？，，，的絕對誤差限分別是多少？§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計第45頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計解：記和的精確值分別是和，則分別具有5位有效數(shù)字第46頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計例1.5

測得某電阻兩端的電壓和流過的電流分別為伏、安，求電阻的阻值，并求及。

第47頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計解：有，已知伏，安，得歐的絕對誤差：由于，，所以從而的相對誤差第48頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例1.6設(shè)，，都精確到2位小數(shù)，估計的相對誤差?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計第49頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計解：所以第50頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四在由誤差估計式得出絕對誤差限和相對誤差限的估計時，由于取了絕對值并用三角不等式放大，是按照最壞情形得出的，所以結(jié)果是保守的。 一般來說，為了保證計算結(jié)果的精確度，在計算過程中，比結(jié)果中所要求的有效數(shù)字位數(shù)多取1位或2位就可以了。§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計第51頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四計算機(jī)只能對有限位數(shù)進(jìn)行計算，從而在運算中產(chǎn)生誤差是不可避免的。許多實際問題的求解往往需要進(jìn)行成千上萬次的數(shù)值計算，為了保證計算結(jié)果的可靠性，必須防止誤差的產(chǎn)生、傳播與擴(kuò)大。一個好的算法應(yīng)該是計算量小、精度高，算法穩(wěn)定，在計算過程中占用計算機(jī)的存儲單元和工作單元少?！?選用和設(shè)計算法時應(yīng)遵循的原則第52頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§3選用和設(shè)計算法時應(yīng)遵循的原則選擇算法應(yīng)遵循的原則：1.算法是否穩(wěn)定；2.算法的邏輯結(jié)構(gòu)是否簡單；3.算法的運算次數(shù)和算法的存儲量是否盡量少。第53頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四減少運算誤差的幾項措施：1.選用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式，控制舍入誤差的傳播；在數(shù)值計算中，對于某一問題選用不同的算法，所得到的結(jié)果往往不同，有時甚至大不相同。這主要是由于初始數(shù)據(jù)的誤差或計算時的舍入誤差在計算過程中的傳播因算法的不同而異。對某一算法，如果初始數(shù)據(jù)的誤差或舍入誤差對計算結(jié)果的影響較小，則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則，稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法。

§3選用和設(shè)計算法時應(yīng)遵循的原則第54頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例1.7

計算積分解：由算法一

將代入遞推公式分別計算，由于§3選用和設(shè)計算法時應(yīng)遵循的原則第55頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四所以，因此算法一誤差過大，原因是的近似值所產(chǎn)生的誤差每計算一次放大10倍，誤差隨n的增大迅速遞增算法二

由后項遞推前項，中的誤差傳遞到時下降為原來的1/1