微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

多元函數(shù)微分學復習一、內(nèi)容提要上頁下頁結束返回首頁二、典型例題內(nèi)容提要偏導數(shù)注:(1)(2)(3)偏導數(shù)的求法求函數(shù)對一個自變量的偏導數(shù)時,只要把其它自變量看作常數(shù),然后按一元函數(shù)求導法求導即可.微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習內(nèi)容提要全微分

函數(shù)zf(x,

y)在點(x,

y)可微分:計算公式:重要關系函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習內(nèi)容提要復合函數(shù)求導公式

設zf(u1,…,

un)可微

ui(x,y,…)偏導數(shù)存在則有全微分形式不變性

設zf(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù),則有全微分無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習內(nèi)容提要隱函數(shù)求導公式

F(x,y)=0確定y=f(x)的導數(shù)公式

F(x,y,z)=0確定z=f(x,y)的偏導數(shù)公式

微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習內(nèi)容提要曲線的切向量

光滑曲線xx(t),

yy(t),

zz(t)在tt0對應點處的切向量為

曲面F(x,y,z)0與曲面G(x,y,z)0的交線的切向量為

曲面的法向量

曲面F(x,

y,

z)0在點M0(x0,y0,z0)處的法向量為

曲面zf(x,y)在點M0(x0,y0,z0)處的法向量為微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習內(nèi)容提要極值點的必要條件

具有偏導數(shù)的極值點必為駐點

極值的充分條件

設f(x

y)具有二階連續(xù)偏導數(shù),(x0

y0)為f(x

y)的駐點,令fxx(x0

y0)A

fxy(x0

y0)B

fyy(x0

y0)C

則

(1)ACB2>0時,f(x0

y0)為極值:

當A<0時為極大值,

當A>0時為極小值

(2)ACB2<0時,f(x0

y0)不是極值

(3)ACB20時,f(x0

y0)可能為極值也可能不是極值

微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習內(nèi)容提要可微函數(shù)最值的求法將函數(shù)在有界閉區(qū)域D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最值相互比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

如果函數(shù)的最值一定在D的內(nèi)部取得,而函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點,那么該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)在D上的最值.

拉格朗日乘數(shù)法

函數(shù)u

f(x,y,z)在條件j(x,y,z)0下的可能極值點為拉格朗日函數(shù)L(x,y,z,l)的駐點,其中微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

例1

求下列函數(shù)的定義域,并畫出定義域的圖形.

解(1)

典型例題微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

例1

求下列函數(shù)的定義域,并畫出定義域的圖形.典型例題

解(2)

微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

解(1)

例2

求下列極限.

(2)微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

分析:

例2

證明極限不存在.

當點(x,y)在直線y=kx

上時,有注:如果當P以兩種不同方式趨于P0時,

函數(shù)趨于不同的值,

則函數(shù)的極限不存在.

點(x,y)沿不同的直線y=kx

趨于點(0,0)時,函數(shù)都趨于0.

若點(x,y)在曲線y=kx3上,則微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

證明當點(x,y)在曲線y=kx3上時,有點(x,y)沿不同的曲線y=kx3趨于點(0,0)時,函數(shù)趨于不同的值.注:如果當P以兩種不同方式趨于P0時,

函數(shù)趨于不同的值,

則函數(shù)的極限不存在.

因此,極限不存在.

例2

證明極限不存在.

微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習知識點

解1

例2求

解2

微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

證

例3驗證函數(shù)滿足拉普拉斯(Laplace)方程

知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習知識點

解

例3求函數(shù)的偏導數(shù).

令則微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習知識點

解

例4

設zf(2x3y,x2y)g(xy2),求記微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

解

例4

設zf(2x3y,x2y)g(xy2),求記微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

解

例4

設zf(2x3y,x2y)g(xy2),求微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

例5

求

解設則知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

解設則注:

本題利用ez=xyz

代入后,運算簡便得多.

例5

求微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

解1設則

例5

求和知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習方程兩邊求微分得

解2

例5

求和知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

例6

求曲線x2y2z26,xyz0在點(2,1,1)處的切線及法平面方程.

解

所求切線方程為法平面方程為

6(y1)6(z1)0,即yz0.令

則切向量知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

解

代入橢球面方程,求得切平面方程為

例7

求橢球面x22y2z21上平行于平面xy2z0的切平面方程.設所求切點為(a,b,c),法向量已知平面法向量由題設得即代入b

的值,得知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習令得駐點在點(1,1)處,不是極值；在點(1,-1)處,不是極值；在點處,且所以為極小值.

例8

求函數(shù)f(x

y)

xlnx(1x)y2

的極值

解

知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

解

得駐點

例8

求在區(qū)域D上的最值,其中

解方程組在D的邊界上,z(y)的駐點為f在D上的最小值為最大值為z(y)的可能最值為知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

例9

求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積.設長方體的三棱長為x,y,z,則

2xy2yz2xz=a2

得唯一駐點

解1

此處V取最大值令知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習

例9

求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積.

設長方體的三棱長為x,y,z,則問題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)=a2下的最大值.

作拉格朗日函數(shù)解方程組F(x,y,z)xyzl(2xy2yz2xza2),

因為由問題本身可知最大值一定存在所以最大值就在這個可能的極值點處取得此時

解2

微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習由

解

例10

在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面,使該切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積最小.求這切平面的切點,并求此最小體積.設切點坐標為(x,y,z),則法向量切平面方程為得切平面方程為該切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積為問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在以下條件(1)下的極值:(1)知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習作拉格朗日函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在以下條件(1)下的極值:(1)解方程組得這是唯一可能的極值點,所求切點為所求四面體的最小體積為在此點體積V取最小值.知識點微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習偏導數(shù)注:(1)(2)(3)偏導數(shù)的求法求函數(shù)對一個自變量的偏導數(shù)時,只要把其它自變量看作常數(shù),然后按一元函數(shù)求導法求導即可.微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習二階偏導數(shù)定理如果兩個二階混合偏導數(shù)連續(xù),則它們相等.微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習全微分形式不變性

設zf(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù),則有全微分無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.重要關系函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習復合函數(shù)求導公式

設zf(u1,…,

un)可微

ui(x,y,…)偏導數(shù)存在則有

約定記號

設zf(u1,u2)具有二階連續(xù)偏導數(shù)

ui(x,y)偏導數(shù)存在則有微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習隱函數(shù)求導公式

F(x,y)=0確定y=f(x)的導數(shù)公式

F(x,y,z)=0確定z=f(x,y)的偏導數(shù)公式

全微分

函數(shù)zf(x,

y)在點(x,

y)可微分:計算公式:微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習曲線的切向量

光滑曲線xx(t),

yy(t),

zz(t)在tt0對應點處的切向量為

曲面F(x,y,z)0與曲面G(x,y,z)0的交線的切向量為

直線的對稱式方程

過點M0(x0,y0,z0),方向向量的直線方程為平面的點法式方程

過點M0(x0,y0,z0),法向量的平面方程為微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習曲面的法向量

曲面F(x,

y,

z)0在點M0(x0,y0,z0)處的法向量為

曲面zf(x,y)在點M0(x0,y0,z0)處的法向量為平面的點法式方程

過點M0(x0,y0,z0),法向量的平面方程為兩向量平行的條件微積分(第五章)多元函數(shù)微分學復習極值點的必要條件

具有偏導數(shù)的極值點必為駐點

極值的充分條件

設f(x

y)具有二階連續(xù)偏導數(shù),(x0

y0)為f(x

y)的駐點,令fxx(x0

y0)A