【家教資料】高中數(shù)學(xué)必修一 第二章 基本初等函數(shù)(Ⅰ) 復(fù)習(xí)資料

第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）第34頁共34頁【家教資料】高中數(shù)學(xué)必修一第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)復(fù)習(xí)資料必修1第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)〖2.1〗指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（1）根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的次方根用符號表示；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示；0的次方根是0；負(fù)數(shù)沒有次方根．②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．③根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①②③【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)0101圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低．〖2.2〗對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算（1）對數(shù)的定義①若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)．②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：．（2）幾個(gè)重要的對數(shù)恒等式，，．（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即（其中…）．（4）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么①加法：②減法：③數(shù)乘：④⑤⑥換底公式：【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象001001定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高．(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，從式子中解出，得式子．如果對于在中的任何一個(gè)值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成．（7）反函數(shù)的求法①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出；③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域．（8）反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域．③若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上．④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．〖2.3〗冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)．（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限．②過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)．③單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù)．如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸．④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)（其中互質(zhì)，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是非奇非偶函數(shù)．⑤圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方．〖補(bǔ)充知識〗二次函數(shù)（1）二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：②頂點(diǎn)式：③兩根式：（2）求二次函數(shù)解析式的方法①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式．③若已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求更方便．（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是．②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，．③二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)．（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布．設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為，且．令，從以下四個(gè)方面來分析此類問題：①開口方向：②對稱軸位置：③判別式：④端點(diǎn)函數(shù)值符號．①k＜x1≤x2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＞k))②x1≤x2＜kEQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＜k))③x1＜k＜x2af(k)＜0④k1＜x1≤x2＜k2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＞0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＜0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))⑤有且僅有一個(gè)根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2EQ\b\lc\{(\a\al(a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＜0,f(p1)＜0,f(p2)＞0))或\b\lc\{(\a\al(a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＞0,f(p1)＞0,f(p2)＜0))此結(jié)論可直接由⑤推出．（5）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)（開口向上）最小值若，則②若，則xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)③若，則xxy0aOabx2pqf(p)f(q)最大值若，則②，則xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)(Ⅱ)當(dāng)時(shí)(開口向下)最大值①若，則②若，則xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)③若，則xxy0aOabx2pqf(p)f(q)最小值①若，則②，則．xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第1講§2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.¤知識要點(diǎn)：1.若，則x叫做a的n次方根，記為，其中n>1，且.n次方根具有如下性質(zhì)：（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；正數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對值相等、符號相反的數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次方根沒有意義；零的任何次方根都是零.（2）n次方根（）有如下恒等式：；；，（a0）.2.規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：（）；.¤例題精講：【例1】求下列各式的值：（1）（）；（2）.解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.（2）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【例2】已知，求的值. 解：.【例3】化簡：（1）；（2）（a＞0，b＞0）；（3）.解：（1）原式=.（2）原式====.（3）原式=.點(diǎn)評：根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，切記不能混淆，注意將根指數(shù)化為分母，冪指數(shù)化為分子，根號的嵌套，化為冪的冪.正確轉(zhuǎn)化和運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)，是復(fù)雜根式化簡的關(guān)鍵.【例4】化簡與求值：（1）；（2）.解：（1）原式====4.（2）原式===.點(diǎn)評：形如的雙重根式，當(dāng)是一個(gè)平方數(shù)時(shí)，則能通過配方法去掉雙重根號，這也是雙重根號能否開方的判別技巧.而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小題也體現(xiàn)了一種消去法的思想.第（1）小題還可用平方法，即先算得原式的平方，再開方而得.第2講§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（一）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).¤知識要點(diǎn)：1.定義：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponentialfunction），其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.2.以函數(shù)與的圖象為例，觀察這一對函數(shù)的圖象，可總結(jié)出如下性質(zhì)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，即圖象過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在R上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù).¤例題精講：【例1】求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）.解：（1）要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?（2）要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?（3）要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?【例2】求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）解：（1）觀察易知，則有.∴原函數(shù)的值域?yàn)?（2）.令，易知.則.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，由其對稱軸觀察得到在上為增函數(shù)，所以.∴原函數(shù)的值域?yàn)?【例3】（05年福建卷.理5文6）函數(shù)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）.A． B．C． D．解：從曲線的變化趨勢，可以得到函數(shù)為減函數(shù)，從而0<a<1；從曲線位置看，是由函數(shù)的圖象向左平移|-b|個(gè)單位而得，所以-b>0，即b<0.所以選D.點(diǎn)評：觀察圖象變化趨勢，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到參數(shù)a的范圍.根據(jù)所給函數(shù)式的平移變換規(guī)律，得到參數(shù)b的范圍.也可以取x=1時(shí)的特殊點(diǎn)，得到，從而b<0.【例4】已知函數(shù).（1）求該函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）指出該函數(shù)的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)，即時(shí)，.所以，該函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).（2）∵是減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在R上是減函數(shù).點(diǎn)評：底數(shù)兩種情況的辨析，實(shí)質(zhì)就是分類討論思想的運(yùn)用.而含參指數(shù)型函數(shù)的研究，要求正確處理與參數(shù)相關(guān)的變與不變.第3講§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（二）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：在解決簡單實(shí)際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.¤知識要點(diǎn)：以函數(shù)與的圖象為例，得出這以下結(jié)論：（1）函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱.（2）指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)，圖象由下至上，底數(shù)由下到大.¤例題精講：【例1】按從小到大的順序排列下列各數(shù)：，，，.解：構(gòu)造四個(gè)指數(shù)函數(shù)，分別為，，，，它們在第一象限內(nèi)，圖象由下至上，依次是，，，.如右圖所示.由于，所以從小到大依次排列是：，，，.點(diǎn)評：利用指數(shù)函數(shù)圖象的分步規(guī)律，巧妙地解決了同指數(shù)的冪的大小比較問題.當(dāng)然，我們在后面的學(xué)習(xí)中，可以直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比較此類大小.【例2】已知.（1）討論的奇偶性；（2）討論的單調(diào)性.解：（1）的定義域?yàn)镽.∵.∴為奇函數(shù).（2）設(shè)任意，且，則.由于，從而，即.∴，即.∴為增函數(shù).點(diǎn)評：在這里，奇偶性與單調(diào)性的判別，都是直接利用知識的定義來解決.需要我們理解兩個(gè)定義，掌握其運(yùn)用的基本模式，并能熟練的進(jìn)行代數(shù)變形，得到理想中的結(jié)果.【例3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）.解：（1）設(shè).由知，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).根據(jù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，y關(guān)于u為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，y關(guān)于u為減函數(shù).∴當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè).易知為減函數(shù).而根據(jù)的圖象可以得到，在區(qū)間與上，y關(guān)于u均為減函數(shù).∴在上，原函數(shù)為增函數(shù)；在上，原函數(shù)也為增函數(shù).點(diǎn)評：研究形如的函數(shù)的單調(diào)性，可以有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性相反.而對于形如的函數(shù)單調(diào)性的研究，也需結(jié)合的單調(diào)性及的單調(diào)性進(jìn)行研究.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究，遵循一般步驟和結(jié)論，即：分別求出與兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再按口訣“同增異減”得出復(fù)合后的單調(diào)性，即兩個(gè)函數(shù)同為增函數(shù)或者同為減函數(shù)，則復(fù)合后結(jié)果為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)一增一減，則復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù).為何有“同增異減”？我們可以抓住“x的變化→的變化→的變化”這樣一條思路進(jìn)行分析.第4講§2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算（一）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解對數(shù)的概念；能夠說明對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，并能運(yùn)用指對互化關(guān)系研究一些問題.¤知識要點(diǎn)：1.定般地，如果，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)（logarithm）.記作，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)2.我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)（commonlogarithm），并把常用對數(shù)簡記為lgN在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)，并把自然對數(shù)簡記作lnN3.根據(jù)對數(shù)的定義，得到對數(shù)與指數(shù)間的互化關(guān)系：當(dāng)時(shí)，.4.負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)；，¤例題精講：【例1】將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）ln100=4.606.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【例2】計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）.解：（1）設(shè)，則，即，解得.所以，.（2）設(shè)，則，即，解得.所以，.（3）設(shè)，則，即，解得.所以，.【例3】求證：（1）；（2）.證明：（1）設(shè)，則，解得.所以.（2）設(shè)，，則，.因?yàn)?，則.所以，.點(diǎn)評：對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是對數(shù)運(yùn)算的靈魂，其推導(dǎo)以對數(shù)定義得到的指對互化關(guān)系為橋梁，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)而得到.我們需熟知各種運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo).【例4】試推導(dǎo)出換底公式：（，且；，且；）.證明：設(shè)，，，則，，.從而，即.由于，則.所以，.點(diǎn)評：換底公式是解決對數(shù)運(yùn)算中底數(shù)不相同時(shí)的核心工具.其推導(dǎo)也密切聯(lián)系指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，牢牢扣住指對互化關(guān)系.第5講§2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算（二）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運(yùn)算的作用；理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；理解推導(dǎo)這些運(yùn)算性質(zhì)的依據(jù)和過程；能較熟練地運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)解決問題.¤知識要點(diǎn)：1.對數(shù)的運(yùn)算法則：，，，其中，.三條法則是有力的解題工具，能化簡與求值復(fù)雜的對數(shù)式.2.對數(shù)的換底公式.如果令b=N，則得到了對數(shù)的倒數(shù)公式.同樣，也可以推導(dǎo)出一些對數(shù)恒等式，如，，等.¤例題精講：【例1】化簡與求值：（1）；（2）.解：（1）原式=====.（2）原式====.【例2】若，則=.（教材P83B組2題）解：由，得，.則.【例3】（1）方程的解x=________；（2）設(shè)是方程的兩個(gè)根，則的值是.解：（1）由，得，即，整理為.解得x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2.（2）設(shè)，則原方程化為，其兩根為.由，得到.點(diǎn)評：同底法是解簡單對數(shù)方程的法寶，化同底的過程中需要結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).第2小題巧妙利用了換元思想和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【例4】（1）化簡：；（2）設(shè)，求實(shí)數(shù)m的值.解：（1）原式=.（2）原式左邊=,∴，解得.點(diǎn)評：換底時(shí)，一般情況下可以換為任意的底數(shù)，但習(xí)慣于化為常用對數(shù).換底之后，注意結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)完成后階段的運(yùn)算.第6講§2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（一）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過具體實(shí)例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).¤知識要點(diǎn)：1.定義：一般地，當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)(logarithmicfunction).自變量是x；函數(shù)的定義域是（0，+∞）.2.由與的圖象，可以歸納出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域?yàn)?，值域?yàn)镽；當(dāng)時(shí)，，即圖象過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上遞減，當(dāng)時(shí)，在上遞增.¤例題精講：【例1】比較大?。海?），，；（2），，.解：（1）∵在上是減函數(shù)，且，∴.又，所以.（2）由，得.又，，所以.【例2】求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）.解：（1）由，得，解得.所以原函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由，即，所以，解得.所以，原函數(shù)的定義域?yàn)?【例3】已知函數(shù)的區(qū)間上總有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，即.∵，∴，解得.當(dāng)時(shí)，，即.∵，∴，解得.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)評：先對底數(shù)a分兩種情況討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性及已知條件，列出關(guān)于參數(shù)a的不等式組，解不等式（組）而得到參數(shù)的范圍.解決此類問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化與分類討論，不等式法求參數(shù)范圍.【例4】求不等式中x的取值范圍.解：當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得.當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得.所以，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為.點(diǎn)評：結(jié)合單調(diào)性，將對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式組，注意對數(shù)式有意義時(shí)真數(shù)大于0的要求.當(dāng)?shù)讛?shù)a不確定時(shí)，需要對底數(shù)a分兩種情況進(jìn)行討論.第7講§2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（二）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并能應(yīng)用對數(shù)函數(shù)解決實(shí)際中的問題.知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù).（a>0,a≠1）¤知識要點(diǎn)：1.當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí),可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新函數(shù)的自變量,而把這個(gè)函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量.我們稱這兩個(gè)函數(shù)為反函數(shù)（inversefunction）.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.2.函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究，口訣是“同增異減”，即兩個(gè)函數(shù)同增或同減，復(fù)合后結(jié)果為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)一增一減，則復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù).研究復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：（i）求定義域；（ii）拆分函數(shù)；（iii）分別求的單調(diào)性；（iv）按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.¤例題精講：【例1】討論函數(shù)的單調(diào)性.解：先求定義域，由,解得.設(shè)，易知為減函數(shù).又∵函數(shù)是減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.【例2】（05年山東卷.文2）下列大小關(guān)系正確的是（）.A.B.C.D.解：在同一坐標(biāo)系中分別畫出的圖象，分別作出當(dāng)自變量x取3，0.4，0.3時(shí)的函數(shù)值.觀察圖象容易得到：.故選C.【例3】指數(shù)函數(shù)的圖象與對數(shù)函數(shù)的圖象有何關(guān)系？解：在指數(shù)函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，則.由指對互化關(guān)系，有.所以，點(diǎn)在對數(shù)函數(shù)的圖象上.因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以指數(shù)函數(shù)的圖象與對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.點(diǎn)評：兩個(gè)函數(shù)的對稱性，由任意點(diǎn)的對稱而推證出來.這種對稱性實(shí)質(zhì)是反函數(shù)的圖象特征，即函數(shù)與互為反函數(shù)，而互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.【例4】2005年10月12日，我國成功發(fā)射了“神州”六號載人飛船，這標(biāo)志著中國人民又邁出了具有歷史意義的一步.已知火箭的起飛重量M是箭體（包括搭載的飛行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：.當(dāng)燃料重量為噸（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）時(shí)，該火箭的最大速度為4（km/s）.（1）求火箭的最大速度與燃料重量x噸之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知該火箭的起飛重量是544噸，是應(yīng)裝載多少噸燃料，才能使該火箭的最大飛行速度達(dá)到8km/s，順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定的軌道？解：（1）依題意把代入函數(shù)關(guān)系式，解得.所以所求的函數(shù)關(guān)系式為整理得（2）設(shè)應(yīng)裝載x噸燃料方能滿足題意，此時(shí)，代入函數(shù)關(guān)系式所以，應(yīng)裝載344噸燃料方能順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定的軌道.點(diǎn)評：直接給定參數(shù)待定的函數(shù)模型時(shí)，由待定系數(shù)法的思想，代入已知的數(shù)據(jù)得到相關(guān)的方程而求得待定系數(shù).一般求出函數(shù)模型后，還利用模型來研究一些其它問題.代入法、方程思想、對數(shù)運(yùn)算，是解答此類問題的方法精髓.第8講§2.3冪函數(shù)¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2的圖像，了解它們的變化情況.知識要點(diǎn)：1.冪函數(shù)的基本形式是，其中是自變量，是常數(shù).要求掌握，，，，這五個(gè)常用冪函數(shù)的圖象.2.觀察出冪函數(shù)的共性，總結(jié)如下：（1）當(dāng)時(shí)，圖象過定點(diǎn)；在上是增函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，圖象過定點(diǎn)；在上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖象向上及向右都與坐標(biāo)軸無限趨近.3.冪函數(shù)的圖象，在第一象限內(nèi)，直線的右側(cè)，圖象由下至上，指數(shù)由小到大.軸和直線之間，圖象由上至下，指數(shù)由小到大.¤例題精講：【例1】已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，試討論其單調(diào)性.解：設(shè)，代入點(diǎn)，得，解得，所以，在R上單調(diào)遞增.【例2】已知冪函數(shù)與的圖象都與、軸都沒有公共點(diǎn)，且的圖象關(guān)于y軸對稱，求的值．解：∵冪函數(shù)圖象與、軸都沒有公共點(diǎn)，∴，解得.又∵的圖象關(guān)于y軸對稱，∴為偶數(shù)，即得.【例3】冪函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則（）.A．B．C．D．解：由冪函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的分布規(guī)律，觀察第一象限內(nèi)直線的右側(cè)，圖象由下至上，依次是，，，，，所以有.選B.點(diǎn)評：觀察第一象限內(nèi)直線的右側(cè)，結(jié)合所記憶的分布規(guī)律.注意比較兩個(gè)隱含的圖象與.【例4】本市某區(qū)大力開展民心工程，近幾年來對全區(qū)的老房子進(jìn)行平改坡（“平改坡”是指在建筑結(jié)構(gòu)許可條件下，將多層住宅平屋面改建成坡屋頂，并對外墻面進(jìn)行整修粉飾，達(dá)到改善住宅性能和建筑物外觀視覺效果的房屋修繕行為），且每年平改坡面