2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第九章平面解析幾何9-1

成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，一勞永逸第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程·最新考綱·1．在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素．2．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式．3．掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．·考向預(yù)測·考情分析：直線方程單獨(dú)考查較少，與圓的方程、圓錐曲線方程結(jié)合考查是高考的熱點(diǎn)，各種題型都有．學(xué)科素養(yǎng)：通過直線的傾斜角、斜率、方程的求解考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；通過直線方程的綜合應(yīng)用考查直觀想象的核心素養(yǎng)．積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．直線的傾斜角(1)定義(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是：________.2．直線的斜率條件公式直線的傾斜角θ，且θ≠90°k＝________直線過點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2k＝________直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)k＝________3.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式______________不含直線x＝x0斜截式______________不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式y(tǒng)-y1不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式xa+不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式________________________________平面內(nèi)所有直線都適用[提醒]“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意．4．線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)則x=________，y=________，此公式為線段P1P二、必明2個(gè)常用結(jié)論1．直線傾斜角和斜率的關(guān)系(1)直線都有傾斜角，但不一定都有斜率．(2)不是傾斜角越大，斜率k就越大，因?yàn)閗＝tanα，當(dāng)α∈0，π2時(shí)，α越大，斜率k就越大，同樣α∈π2，π時(shí)也是如此，但當(dāng)α∈[0，π)2．特殊直線的方程 (1)直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，垂直于x軸的方程為x＝x1；(2)直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，垂直于y軸的方程為y＝y(tǒng)1；(3)y軸的方程為x＝0；(4)x軸的方程為y＝0.三、必練3類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．()(2)過點(diǎn)M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直線的傾斜角是45°.()(3)直線的傾斜角越大，斜率k就越大．()(4)經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()(二)教材改編2．[必修2·P95習(xí)題T2改編]直線l：xsin30°＋ycos150°＋a＝0的斜率為()A．33B．C．－3D．－33．[必修2·P96例4改編]已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，則中位線MN所在直線的方程為()A．2x＋y－12＝0B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0D．2x－y＋8＝0(三)易錯(cuò)易混4．(混淆傾斜角與斜率的關(guān)系)若直線x＝2的傾斜角為α，則α的值為()A．0B．πC．π2D．5．(忽視斜率與截距對(duì)直線的影響)如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過第________象限．6．(忽視截距為0的情況)經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為________．提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率[基礎(chǔ)性]1．直線l：x＋3y＋1＝0的傾斜角的大小為()A．30°B．60°C．120°D．150°2．設(shè)直線l的方程為x＋ycosθ＋3＝0(θ∈R)，則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A．[0，π)B．πC．π4，3π43．若點(diǎn)A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點(diǎn)共線，則a的值為________．4．直線l過點(diǎn)P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，3)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為________．反思感悟解決直線的傾斜角與斜率問題的方法數(shù)形結(jié)合法作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)圖象法根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可考點(diǎn)二直線的方程[綜合性][例1](1)求過點(diǎn)A(1，3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的13(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(－5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程．聽課筆記：反思感悟求解直線方程的兩種方法直接法根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程待定系數(shù)法①設(shè)所求直線方程的恰當(dāng)形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式)；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程[提醒](1)選用點(diǎn)斜式和斜截式時(shí)，要注意討論斜率是否存在．(2)選用截距式時(shí)，要注意討論直線是否過原點(diǎn)，截距是否為0.(3)選用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時(shí)，要注意討論B是否為0.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)直線過點(diǎn)(5，10)，到原點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用[綜合性]角度1直線過定點(diǎn)問題[例2]已知k∈R，寫出以下動(dòng)直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo)；(1)若直線方程為y＝kx＋3，則直線過定點(diǎn)________；(2)若直線方程為y＝kx＋3k，則直線過定點(diǎn)________；(3)若直線方程為x＝ky＋3，則直線過定點(diǎn)________．聽課筆記：反思感悟1．直線過定點(diǎn)問題，可以根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征，得出直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)．2．含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時(shí)要能夠整理成過定點(diǎn)的直線系，即能夠看出“動(dòng)中有定”．角度2與直線方程有關(guān)的多邊形面積的最值問題[例3]過點(diǎn)P(4，1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．聽課筆記：一題多變(變問題)若例3中條件不變，求當(dāng)|PA|·|PB|取得最小值時(shí)直線l的方程．反思感悟與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題：先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．(2)求直線方程：弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程．(3)求參數(shù)值或范圍：注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．第九章平面解析幾何第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程積累必備知識(shí)一、1．(2)[0，π)2．tanθy1-y23．y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋bAx＋By＋C＝0，A2＋B2≠04．x1+x三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．解析：cos150°＝－32，sin30°＝12，所以k＝－sin30°cos150°＝－答案：A3．解析：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M(2，4)，N(3，2)，則kMN＝2-43-2＝－2，∴MN所在直線的方程為：y－2＝－2(x－3)，即2x＋y－8＝答案：C4．解析：因?yàn)橹本€x＝2垂直于x軸，所以傾斜角α為π2答案：C5．解析：將Ax＋By＋C＝0化為y＝－ABx－CB∵A·C＜0，B·C＜0，∴－AB＜0，－CB∴直線過一、二、四象限，不過第三象限．答案：三6．解析：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為y＝14x.即x－4y＝0.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為x＋y＝k，把點(diǎn)A(4，1)代入直線的方程可得k＝5，故直線方程是x＋y－5＝答案：x－4y＝0或x＋y－5＝0提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一1．解析：由l：x＋3y＋1＝0可得y＝－33x－33，所以直線l的斜率為k＝－設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα＝－33因?yàn)?°≤α＜180°，所以α＝150°.答案：D2．解析：當(dāng)cosθ＝0時(shí)，方程變?yōu)閤＋3＝0，其傾斜角為π2當(dāng)cosθ≠0時(shí)，由直線方程可得斜率k＝－1cos∵cosθ∈[－1，1]且cosθ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪即tanα∈(－∞，－1]∪又α∈[0，π)，∴α∈π4由上知，傾斜角的范圍是π4答案：C3．解析：依題意得kAC＝5-36-4＝1，kAB＝a-35-4＝a－3，由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a－3＝1，即a答案：44.解析：如圖所示，因?yàn)閗AP＝1-02-1＝1，kBP＝3-00-1＝－3，所以直線l斜率的取值范圍為(－答案：(－∞，－3考點(diǎn)二例1解析：(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×13＝－4又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，因此所求直線方程為y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為x2a+ya將(－5，2)代入①，解得a＝－12，所以直線方程為x＋2y＋1＝0當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，則－5k＝2，解得k＝－25所以直線方程為y＝－25x，即2x＋5y＝故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：(1)設(shè)直線在x，y軸上的截距均為a.若a＝0，即直線過(0，0)及(4，1)兩點(diǎn)，所以直線的方程為y＝14x，即x－4y＝若a≠0，則直線的方程為xa+因?yàn)橹本€過點(diǎn)(4，1)，所以4a+1所以a＝5，所以直線的方程為x＋y－5＝0.綜上可知，所求直線的方程為x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x－5＝0；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則所求直線方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得10-5kk2+1＝5，解得k故所求直線方程為3x－4y＋25＝0.綜上可知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0.考點(diǎn)三例2解析：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，所以直線過定點(diǎn)(0，3)；(2)直線方程可化為y＝k(x＋3)，故直線過定點(diǎn)(－3，0)；(3)當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，所以直線過定點(diǎn)(3，0)．答案：(1)(0，3)(2)(－3，0)(3)(3，0)例3解析：設(shè)直線l：xa+yb＝1(a＞0，b＞0)，因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)(1)因?yàn)?a+1b＝1≥2所以ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)，△AOB的面積最小，此時(shí)直線l的方程為x8+y2＝1，即x＋4y(2)因?yàn)?a+1b＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)4a+1當(dāng)且僅當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為x＋2y－6＝0.一題多變解析：設(shè)A(a，0)，B(0，b)，則a＞0，b＞0，直線l的方程為xa+yb＝1|PA|·|PB|＝－PA·PB＝－(a－4，－1)·(－4，b－1)＝4(a－4)＋b－1＝4a＋b－17＝(4a＋b)4a+＝16＋4ab+4ba＋1－17≥2當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝5時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－5＝0.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：(1)證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x+2=0，1-y=0，解得∴無論k取何值，