2023屆內(nèi)蒙古包頭市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆內(nèi)蒙古包頭市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．若，則（

）A．5 B． C． D．3【答案】B【分析】由題意求，進(jìn)而可求其模長(zhǎng).【詳解】∵，則，則.故選：B.2．設(shè)集合，且，則（

）A． B． C．8 D．6【答案】C【分析】化簡(jiǎn)集合A、B，根據(jù)交集的結(jié)果求參數(shù)即可.【詳解】由，可得或，即或，而，∵，∴，可得.故選：C3．已知為拋物線上第一象限的一點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心且半徑為12的圓經(jīng)過C的焦點(diǎn)F，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的方程結(jié)合拋物線的定義列式求解.【詳解】由題意可得：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線，則，解得.故選：D.4．正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個(gè)正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長(zhǎng)為（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由條件結(jié)合錐體體積公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，可得正八面體是由兩個(gè)四棱錐構(gòu)成，四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為的正方形，高為，則正八面體體積為，解得，∴.故選：B.5．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，且各次射擊的結(jié)果互不影響．設(shè)隨機(jī)變量X為該射手在n次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，若，則P的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)分布的期望和方差公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，則，解得.故選：C.6．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，，因此，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A.7．若函數(shù)在的大致圖象如下圖，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)圖象結(jié)合最小正周期和零點(diǎn)求，進(jìn)而可求結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由圖象可得：，即，可得，解得，則，所以.故選：A.8．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，因?yàn)椋谥?，令可得，在中，令可得，因此，展開式中的系數(shù)為.故選：D.9．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合倍角公式求，再根據(jù)同角三角關(guān)系“知一求二”.【詳解】由題意可得：，即，解得或，∵，則，故，可得，所以.故選：B.10．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，進(jìn)而求相應(yīng)的棱長(zhǎng)，即可判斷.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體，如圖所示：可得：平面，，∵平面，平面，則，∴，由于，則該三棱錐中最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為.故選：C.11．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的虛軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的漸近線交于點(diǎn)H，若的面積為，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何關(guān)系表示出切線的方程為，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出三角形的面積，利用齊次化法求離心率.【詳解】如圖，不妨設(shè)切線的傾斜角為銳角，過的直線與圓相切于點(diǎn)，則,且所以，所以，即切線的斜率等于，所以切線的方程為，聯(lián)立，解得，所以，所以，即，解得或（舍），所以，則，即，所以離心率為，故選:D.12．若是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】若是奇函數(shù)，可得，則，可得，解得，所以.故選：A.二、填空題13．若x，y滿足約束條件，則的最大值為__________．【答案】3【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，然后作出目標(biāo)函數(shù)的一條等值線，利用等值線在可行域中進(jìn)行平移找到取得最大值的最優(yōu)解，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件可作圖如圖，由目標(biāo)函數(shù)，令，得到目標(biāo)函數(shù)的一條等值線，故點(diǎn)當(dāng)直線移到點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值則，故答案為：3.14．已知，，與的夾角為，且，則_________．【答案】/【分析】根據(jù)已知可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律展開，代入已知條件，即可得出答案.【詳解】由已知，可得，即.又，，所以，所以，，所以.故答案為：.15．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【答案】【分析】求出線段AB的中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，可得圓的方程．【詳解】因?yàn)?，，所以直線的斜率為，線段中點(diǎn)為，所以中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，所以圓心的坐標(biāo)為.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑，因此，所求的圓的方程為.故答案為：.16．已知A，B，C為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為的外接圓，若的面積為，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，球的表面積為__________．【答案】【分析】求得的半徑，根據(jù)正弦定理得出，，然后代入整理得出的面積.設(shè)，，求導(dǎo)得出函數(shù)的最大值點(diǎn)，進(jìn)而得出.根據(jù)勾股定理求出球的半徑，即可得出答案.【詳解】設(shè)的半徑為，球的半徑為，則，所以.由正弦定理可得，，.因?yàn)?，所以，所?設(shè)，，則.因?yàn)?，由可得?由可得，.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，在上單調(diào)遞增；由可得，，由，可知，所以，所以，在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，取得唯一極大值，也是最大值.此時(shí)，為等邊三角形，且，所以，.由圖象可得，在中，有，，所以，，即，所以，球的表面積為.故答案為：.三、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，．(1)若，且等比數(shù)列的公比大于0，求和的通項(xiàng)公式；(2)若，求．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，根據(jù)已知寫出的表達(dá)式.然后列出方程組，求解即可得出的值，代入即可得出答案；（2）檢驗(yàn)可得項(xiàng)和公式可得，解得，或.分別求出的值，得出，然后根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，，則，．聯(lián)立，即，因?yàn)?，解得?/p>

所以，.（2）設(shè)的公差為d，的公比為q.當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，所以.所以，，整理可得，解得，或.

當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，故；當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，故.18．甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校進(jìn)行籃球比賽，各出一個(gè)代表隊(duì)，簡(jiǎn)稱甲隊(duì)、乙隊(duì)、丙隊(duì)．約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩個(gè)隊(duì)，另一隊(duì)輪空；每場(chǎng)比賽的勝隊(duì)與輪空隊(duì)進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)隊(duì)下一場(chǎng)輪空，直至有一隊(duì)被淘汰；當(dāng)一隊(duì)被淘汰后，剩余的兩隊(duì)繼續(xù)比賽，直至其中一隊(duì)被淘汰，另一隊(duì)最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙兩隊(duì)首先比賽，丙隊(duì)輪空．設(shè)甲隊(duì)與乙隊(duì)每場(chǎng)比賽，甲隊(duì)獲勝概率為0.5，甲隊(duì)與丙隊(duì)每場(chǎng)比賽，甲隊(duì)獲勝概率為0.6，乙隊(duì)與丙隊(duì)每場(chǎng)比賽，乙隊(duì)獲勝概率為0.4．記事件A為甲隊(duì)輸，事件B為乙隊(duì)輸，事件C為丙隊(duì)輸，(1)寫出用A，B，C表示“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”的事件，并求其概率；(2)寫出用A，B，C表示“比賽四場(chǎng)結(jié)束”的事件，并求其概率；(3)求“需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽”的概率．【答案】(1)事件為ACAC，概率為；(2)事件分別為BCBC，ACAC，ABAB和BABA，概率為；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，寫出所求事件，再利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算作答.（2）比賽四場(chǎng)結(jié)束的事件是三個(gè)互斥事件的和，寫出該事件，再利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式求解作答.（3）由（2），利用對(duì)立事件求出概率作答.【詳解】（1）依題意，，“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”的事件為ACAC，所以.（2）“比賽四場(chǎng)結(jié)束”共有三種情況，分別是：“甲隊(duì)連勝四場(chǎng)”為事件BCBC；“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”為事件ACAC；“丙隊(duì)上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)”為事件ABAB和事件BABA，所以，“比賽四場(chǎng)結(jié)束”的概率為．（3）根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽，所以，需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為.19．如圖，四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，．(1)證明：平面SAD；(2)點(diǎn)P在棱SA上，當(dāng)與底面所成角為時(shí)，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)M為SD的中點(diǎn)，證明，根據(jù)線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）設(shè)N是DC的中點(diǎn)，由面面垂直判定定理證明平面，再證明，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量和平面的法向量，由向量夾角公式求點(diǎn)的坐標(biāo)，再求平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)M為SD的中點(diǎn)，連接ME，MA，因?yàn)镸E是的中位線，所以，又因?yàn)椋?，所以底面ABCD為平行四邊形．所以，又，且，故，且，所以四邊形是平行四邊形，

所以，又平面，平面，所以平面．

（2）因?yàn)椋?，所以，故．設(shè)N是DC的中點(diǎn)，連接SN，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面SDC，平面底面，所以平面．

連接，在中，，所以是正三角形，在中，，所以，所以，即．

因?yàn)閮蓛苫ハ啻怪?，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，以向量為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．

在中，由余弦定理得．過點(diǎn)P作，，因?yàn)槠矫?，所以底面，因?yàn)?，所以與相似，因?yàn)?，所以．設(shè)P的坐標(biāo)為，則，，故，設(shè)底面ABCD的法向量為，當(dāng)PF與底面ABCD所成角為時(shí)，與所成角為．故，即，解得．

所以．設(shè)平面的法向量為，則，即取，可得，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面PAF的法向量為，則，即，取，可得，所以為平面的一個(gè)法向量，故．所以二面角的正弦值為．20．已知定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R是直線MQ上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求點(diǎn)R的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線C交于點(diǎn)A，B，試探究：的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，最大值為【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由條件列關(guān)系式求軌跡方程；（2）設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程組結(jié)合設(shè)而不求法求的面積，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知，，，因?yàn)辄c(diǎn)R是直線MQ上，所以，因?yàn)椋?，即，所以化?jiǎn)得，．因?yàn)?，所以，故點(diǎn)R的軌跡C的方程為．（2）過點(diǎn)的斜率為的直線與曲線沒交點(diǎn)，不滿足要求，故設(shè)直線AB的方程為，由，消去x并整理，得，方程的判別式，設(shè)，則，

所以，的面積，

設(shè)，則，設(shè)，則，在是增函數(shù)，

故，即，有，因此，當(dāng)，即時(shí)，S存在最大值為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．21．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，①求a的取值范圍；②證明：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)①②證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解；（2）①根據(jù)方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性最值即可數(shù)形結(jié)合求解；②根據(jù)可得，再將要證不等式雙變量轉(zhuǎn)化為單變量問題證明求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，

所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）①，依據(jù)題意可知有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．

由，得，所以有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，由，解得；由，解得；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以．又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榕c的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以．

②由①可知有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，聯(lián)立可得，所以不等式等價(jià)于．令，則，且等價(jià)于．所以只要不等式在時(shí)成立即可．

設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，得，所以在單調(diào)遞減，得．綜上，原不等式成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第二問的第②小問解決的關(guān)鍵在于將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，從可得，代入即可得，令，進(jìn)而證明單變量不等式即可.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)寫出C的普通方程；(2)若A，B是C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，且，，并與線段AB相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）消參求普通方程；（2）設(shè)，根據(jù)得，再根據(jù)得，進(jìn)而可得，再由A，P，B三點(diǎn)共線，可得，整理可得，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）由C的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得C的普通方程為．（2）根據(jù)（1），設(shè)，（，且），則，因?yàn)椋?，得?/p>

又，因?yàn)椋?，即?/p>

因?yàn)锳，P，B三點(diǎn)共線，所以，即，整理得，把和，代入上式，得，故點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程為．23．已知