2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期10月診斷調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期10月診斷調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果點(diǎn)滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合X的聚點(diǎn)，則在下列集合中：①；②；③；④，以0為聚點(diǎn)的集合有（

）個(gè).A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根據(jù)集合聚點(diǎn)的定義，逐一分析每個(gè)集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點(diǎn)的定義，從而得到答案.【詳解】對于①集合，對任意的，都存在（實(shí)際上任意比α小得數(shù)都可以），使得，∴0是集合的聚點(diǎn)；對于②，對于某個(gè)實(shí)數(shù)，比如，此時(shí)對任意的，都有，也就是說不可能，從而0不是的聚點(diǎn)；對于③，對任意的，都存在，即，使，故0是集合的聚點(diǎn)；對于④，，故隨著n的增大而增大，故的最小值為，故當(dāng)時(shí)，即不存在，使得，故0不是的聚點(diǎn)；故以0為聚點(diǎn)的集合有2個(gè)，故選：B2．設(shè)命題p：，命題q：，那么命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分不必要條件【答案】A【分析】對命題p進(jìn)行分類求解，對命題q取特殊值驗(yàn)證，從而可判斷得出結(jié)論.【詳解】命題p：，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；所以命題p是命題q的充分條件；命題q：，可取，而此時(shí)；故命題p是命題q的不必要條件；故選：A.3．關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若，則或B．復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量與，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為C．若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，則Z對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為【答案】D【分析】取，計(jì)算模，可判斷A;根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合向量的運(yùn)算，可判斷B;根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷其所在象限，判斷C;根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義求得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積，判斷D.【詳解】對于A，取，則，故A錯(cuò)誤；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，則Z對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則由可知，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為，D正確，故選：D.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且().記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使成立的最小正整數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)之間的關(guān)系證明為等比數(shù)列，然后再證明也是等比數(shù)列，由此求解出.根據(jù)不等式結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解出的取值范圍，從而確定出的最小整數(shù)值.【詳解】解析：由，可知，∴，即.時(shí)，，∴，∴，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.∴.又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.∴.又，∴，即，∴.又，∴的最小值為7.故選：C.5．已知，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)二倍角余弦公式求，解得，最后根據(jù)兩角差余弦公式得結(jié)果.【詳解】或因?yàn)椋怨蔬x：B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式、兩角差余弦公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.6．在正三棱錐中，是的中心，，則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】將轉(zhuǎn)化為，由三棱錐是正三棱錐可知PO⊥OA，即可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】為正三棱椎，為的中心，∴平面，△ABC是等邊三角形，∴PO⊥AO，∴，故．故選：D.7．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步得到，根據(jù)基本不等式化簡求出c的范圍以及b的范圍，進(jìn)一步求出答案.【詳解】設(shè)，∴，∴在的范圍內(nèi)單調(diào)遞增，，∴由此可得，設(shè)，∴，∴在的范圍內(nèi)單調(diào)遞減，，∴由此可得，，顯然，所以，綜合可得.故選：D.二、多選題8．油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙叢在地面上形成了一個(gè)橢圓形的影子（春分時(shí)，該市的陽光照射方向與地面的夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點(diǎn)位置，則（

）A．該橢圓的離心率為 B．該橢圓的離心率為C．該橢圓的焦距為 D．該橢圓的焦距為【答案】BC【分析】先求得，結(jié)合橢圓的知識以及正弦定理求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率和焦距.【詳解】，如圖，分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是圓的直徑，為該圓的圓心.因?yàn)椋?，設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為，則.因?yàn)?，由正弦定理得，解得，所以，所?故選：BC9．若，則下列說法正確的有（

）A．的最小正周期是B．方程是的一條對稱軸C．的值域?yàn)镈．，，對都滿足，（a，b是實(shí)常數(shù)）【答案】BC【分析】根據(jù)，可判斷A,根據(jù)可判斷B,根據(jù)周期性以及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C,根據(jù)圖象可判斷D.【詳解】對A,因?yàn)椋?，故是的一個(gè)周期，故最小正周期是是錯(cuò)誤的，對B，因?yàn)?，故是的一條對稱軸是正確的，對C,當(dāng)時(shí)，，由，則，故因此，由A知是的周期，故的值域?yàn)?，C正確，對D,因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且是的周期，故畫出的圖象如圖：由圖可知，沒有對稱中心，故不存在，使得，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．已知數(shù)列滿足，則（

）A．≥2 B．是遞增數(shù)列C．{-4}是遞增數(shù)列 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)所給的遞推公式，結(jié)合選項(xiàng)構(gòu)造對應(yīng)的表達(dá)式推導(dǎo)即可【詳解】對于A，因?yàn)?，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故A正確；對于B，由A可得為正數(shù)數(shù)列，且，則，故為遞增數(shù)列，且，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，為遞增數(shù)列，故B正確；對于C，由，由題意，，即可知不是遞增數(shù)列；對于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，?故選：ABD11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是2，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，，是拋物線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．若直線過點(diǎn)，則C．若直線過點(diǎn)，則 D．若直線過點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】對于A，利用拋物線的定義求得拋物線的方程，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解；對于B，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；對于C，先寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得到直線與的斜率之和為0，從而得到直線平分，再根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理即可得解；對于D，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用拋物線的定義及基本不等式得到，結(jié)合即可得解．【詳解】由題意得，則，故拋物線的方程為，將代入拋物線的方程，得，解得，所以A不正確；設(shè)，，易知直線的斜率不為零，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，化簡得：，則，，所以，所以，所以B正確；易知，則由選項(xiàng)B得，所以直線平分，所以，選項(xiàng)C正確；因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且斜率不為零，所以設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，易得，所以．因?yàn)?，，且，所以，又，所以，所以D正確．故選：BCD．12．已知某四面體的四條棱長度為a，另外兩條棱長度為b，則下列說法正確的是注：，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立（

）A．若且該四面體的側(cè)面存在正三角形，則B．若且該四面體的側(cè)面存在正三角形，則四面體的體積C．若且該四面體的對棱均相等，則四面體的體積D．對任意，記側(cè)面存在正三角形時(shí)四面體的體積為，記對棱均相等時(shí)四面體的體積為，恒有【答案】ACD【分析】對于A，利用四面體的特點(diǎn)求得相關(guān)邊長，結(jié)合余弦定理求得b的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)知識即可求得b的范圍，判斷A;根據(jù)四面體特征，確定相關(guān)棱長，利用棱錐體積公式可求得四面體體積的表達(dá)式，繼而求得其取值范圍，判斷B,C;結(jié)合B,C的分析，確定最值，進(jìn)行比較，可得結(jié)論，判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，如圖所示，且該四面體的側(cè)面存在正三角形，四面體中，依題意，不妨設(shè)，設(shè)E是的中點(diǎn)，所以

,設(shè)，則，在三角形中，由余弦定理得,即,,由于，所以，故A正確；對于B，四面體中，不妨設(shè)，，設(shè)E是的中點(diǎn)，則，平面，所以平面，設(shè)設(shè)，則，由于，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號成立，B錯(cuò)誤，對于C，四面體中，且該四面體的對棱均相等，不妨設(shè)，設(shè)E是的中點(diǎn)，則，平面，所以平面，在三角形中，，，，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立，故當(dāng)時(shí)即,C選項(xiàng)正確;對于D選項(xiàng)，由上述分析可知，,,即，所以D選項(xiàng)正確，故選︰．【點(diǎn)睛】本題考查了空間四面體的棱長的范圍以及體積計(jì)算問題，涉及到余弦定理以及三角函數(shù)和不等式相關(guān)的知識，計(jì)算量較大，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象力，明確空間的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵時(shí)能準(zhǔn)確的進(jìn)行體積計(jì)算，并計(jì)算體積的最值.三、填空題13．已知函數(shù)（）為奇函數(shù)，，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，，…，，則=________.【答案】3m【分析】分別判斷函數(shù)與的對稱性，結(jié)合函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，關(guān)于點(diǎn)對稱，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對稱，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．14．已知直線與直線相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最大值為__________．【答案】【分析】由兩直線方程可知兩直線垂直，且分別過定點(diǎn)、，所以點(diǎn)P的軌跡為以兩定點(diǎn)連線段為直徑的圓，方程為，因?yàn)橐蟮淖畲笾担勺鞔怪本€段CD⊥AB，根據(jù)向量的運(yùn)算可得，，根據(jù)條件求得CD的長度為1，所以點(diǎn)D的軌跡為。根據(jù)兩圓方程可知點(diǎn)P的軌跡與點(diǎn)D的軌跡外離，故的最大值為兩圓的圓心距加上兩圓的半徑?！驹斀狻俊遧1：mx﹣y﹣3m+1=0與l2：x+my﹣3m﹣1=0，∴l(xiāng)1⊥l2，l1過定點(diǎn)，l2過定點(diǎn)，∴點(diǎn)P的軌跡方程為圓，作CD⊥AB，，所以點(diǎn)D的軌跡為,則，因?yàn)閳AP和圓D的圓心距為，所以兩圓外離，所以|PD|最大值為，所以的最大值為故答案為：15．已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且，點(diǎn)，則當(dāng)角取到最大值時(shí)的面積為______【答案】【分析】設(shè)中點(diǎn)為，則利用向量的加法得到，而，，以此求出．然后利用余弦定理和不等式確定C最大時(shí)b值，利用勾股定理確定直角三角形后得出面積．【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，則，，即，由知角為銳角，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)最小，又在遞減，故最大.此時(shí)，恰有，即為直角三角形，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.16．阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體組成，目前發(fā)現(xiàn)了共有13個(gè)這種幾何體，而截角四面體就是其中的一種，它是由一個(gè)正四面體分別沿每條棱的三等分點(diǎn)截去四個(gè)小正四面體而得，已知一截角四面體的棱長為①每一個(gè)截角四面體共有18條棱，12個(gè)頂點(diǎn);②該截角四面體的表面積為③該截角四面體的外接球半徑為則上述所有正確結(jié)論的序號是______.【答案】①③【分析】根據(jù)題意可求出截角四面體的棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)，判斷①；根據(jù)截角四面體的特征求出其表面積判斷②，結(jié)合原正四面體特征，列式求得截角四面體的外接球半徑，判斷③.【詳解】由題意由一個(gè)正四面體分別沿每條棱的三等分點(diǎn)截去四個(gè)小正四面體，可知每截去一個(gè)角，就增加了3條棱，2個(gè)頂點(diǎn)，所以截角四面體的棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)分別為和，①正確；截角四面體表面由4個(gè)邊長為的等邊三角形和4個(gè)邊長為的正六邊形構(gòu)成，所以表面積②錯(cuò)誤；如圖，是下底面正六角形的中心，是上底面正三角形的中心，由正四面體的對稱性可知截角四面體的外接球的球心O在原正四面體的高上，,,故,設(shè)球O的半徑為R，在中，，所以，在中,所以,故，解得,所以,故③正確，故答案為：①③四、解答題17．記內(nèi)角的對邊分別是，已知.(1)求證：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）首先化簡條件中的正切等式，再將正切寫成正弦和余弦，最后利用正弦定理，角化為邊，即可證明；（2）首先設(shè)，利用三角不等式的恒等式，化簡后可得的取值范圍，再計(jì)算的取值范圍.【詳解】(1)由得：即兩邊同時(shí)除以得：即所以因此得證；(2)設(shè)①，代入可得②，由三角不等式得：，即③，將①②代入③得，整理得且解得，因?yàn)椋@然在上單調(diào)遞增，所以18．圖1是由矩形、等邊和平行四邊形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，N為AC，AB折起使得與重合，連結(jié)，BN，如圖2.(1)證明：在圖2中，，且B，C，，四點(diǎn)共面；(2)在圖2中，若二面角的大小為，且，求直線AB與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)取AC的中點(diǎn)M，證明平面BMN及即可推理作答.(2)在平面BMN內(nèi)作，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算作答.【詳解】(1)取AC的中點(diǎn)M，連接NM，BM，如圖，因?yàn)榫匦?，N為的中點(diǎn)，則，又因ABC為等邊三角形，則，，平面BMN，則有平面BMN，又平面BMN，所以；矩形中，，平行四邊形中，，因此，，所以B，C，，四點(diǎn)共面.(2)由(1)知，，則為二面角的平面角，，在平面BMN內(nèi)過M作，有，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，由得，，設(shè)直線AB與平面所成角為，于是得，所以直線AB與平面所成角的正弦值是.19．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）若記為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求關(guān)于的不等式的最大正整數(shù)解.【答案】（1）證明見解析；；（2）8.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明為常數(shù)，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，從而求得；（2）不等式即為，從而可確定的個(gè)數(shù)，即，然后由錯(cuò)位相減法求得，結(jié)合是遞增數(shù)列，通過估值法得出不等式的最大正數(shù)解．【詳解】（1）由取倒數(shù)得，即，所以為公差為的等差數(shù)列，.（2）當(dāng)時(shí)，，所以這樣有個(gè)，，，，兩式相減得：，所以為遞增數(shù)列.，，，所以最大正整數(shù)解為8.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列的證明，考查錯(cuò)位相減法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法有：（1）公式法；（2）錯(cuò)位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；（4）分組（并項(xiàng)）求和法；（5）倒序相加法．20．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿足題意.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，得到，然后利用線面平行的判定定理得到平面；（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值為，則兩平面法向量所成角的余弦值的絕對值等于，求出，即可得出結(jié)論.【詳解】(1)取中點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，，底面四邊形是矩形，為棱的中點(diǎn)，，．，，故四邊形是平行四邊形，．又平面，平面，平面．(2)假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，則是四棱錐的高．設(shè)，則，，，所以.以點(diǎn)為原點(diǎn)，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，．設(shè)，．設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為，則取．易知平面的一個(gè)法向量為，，，故存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿足題意.21．作斜率為的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，且在直線l的左上方.(1)當(dāng)直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，證明直線l與橢圓C截得的線段AB的中點(diǎn)在一條直線上；(2)證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)方程，聯(lián)立利用韋達(dá)定理，用表示中點(diǎn)坐標(biāo)，最后消參，就可以得到線段AB的中點(diǎn)所在的直線方程，即證明完成；（2）因?yàn)閮?nèi)切圓圓心在角平分線上，所以要找，的斜率的關(guān)系，最后計(jì)算得，又因?yàn)樵谥本€l的左上方，所以會(huì)發(fā)現(xiàn)的角平分線為一個(gè)固定的直線，就證明到的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.【詳解】(1)設(shè)，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以有，聯(lián)立，得，得，得，由韋達(dá)定理可知，，所以，所以，化簡得：，所以線段AB的中點(diǎn)在直線上.(2)由題可知，的斜率分別為，