2023屆海南省高三高考全真模擬（六）數(shù)學(xué)試題

2023屆海南省高三高考全真模擬（六）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知、，集合，集合，若，則（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】利用交集運(yùn)算可得出，可得出，討論、的取值范圍，結(jié)合已知條件檢驗(yàn)可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，集合，若，則，可得，若，則，此時(shí)，，不合乎題意；若，則，此時(shí)，，合乎題意.因此，.故選：D.2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)z，可得其共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得答案.【詳解】由得，則，所以，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B3．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，其各項(xiàng)規(guī)律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數(shù)列為，則（

）A．650 B．1050 C．2550 D．5050【答案】A【分析】觀察數(shù)列各項(xiàng)得出是等差數(shù)列，計(jì)算求和即可.【詳解】由條件觀察可得：，即，所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.故，故選：A4．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將代入可得，即可得，由可得的關(guān)系式，即可求得答案.【詳解】設(shè)的半焦距為c,將代入可得，故，又,故由得，即，則，即，則雙曲線的離心率為，故選：A5．某展示柜共有32個(gè)不同的手辦擺件，起初上層放14個(gè)手辦擺件，下層放18個(gè)手辦擺件，現(xiàn)要從下層的18個(gè)手辦擺件中抽2個(gè)調(diào)整到上層，若其他手辦擺件的相對(duì)順序不變，則不同的調(diào)整方法有（

）A．18360種 B．24480種 C．36720種 D．73440種【答案】C【分析】先求從下層的18個(gè)手辦擺件中抽2個(gè)的方法數(shù)，再求將抽取的兩個(gè)手辦擺件按要求放入上層的方法數(shù)，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求總的方法數(shù).【詳解】從下層的18個(gè)手辦擺件中抽2個(gè)調(diào)整到上層，且保持其他手辦擺件的相對(duì)順序不變，可分為兩步完成：第一步：從下層的18個(gè)手辦擺件中抽2個(gè)，有種方法，第二步：將抽取的兩個(gè)手辦擺件依次放入上層，有兩種方式，第一種方式：兩個(gè)手辦擺件不相鄰，則有種方法，第二種方式：兩個(gè)手辦擺件相鄰，則有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的調(diào)整方法共有種方法.故選：C.6．已知點(diǎn)M，N在圓錐SO的底面圓周上，S為圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐的底面中心，且的面積為4，，若SM與底面所成角為，則圓錐SO的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)圓錐的表面積公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，∵的面積為4，，則，即，解得，又∵SM與底面所成角為，即，則，∴圓錐SO的表面積.故選：B.7．若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則圖象的對(duì)稱軸可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象的兩個(gè)對(duì)稱中心，求出最小正周期，進(jìn)而利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的對(duì)稱軸，最后與四個(gè)選項(xiàng)對(duì)比，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，函數(shù)的最小正周期為，所以周期的為，結(jié)合圖象易知，函數(shù)的對(duì)稱軸為或，與四個(gè)選項(xiàng)對(duì)比易知，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故選：D8．設(shè)偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將變形為，從而可構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性以及奇偶性，由此代入數(shù)值，一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，即，令，則，即在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，則，即為偶函數(shù)，故，即，即，故A錯(cuò)誤，C正確；由，即，即，B錯(cuò)誤；而，故，則不一定成立，D錯(cuò)誤，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于要能根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行變形，從而構(gòu)造出函數(shù)，進(jìn)而判斷其單調(diào)性，即可解決問題.二、多選題9．如果，那么下列不等式錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的性質(zhì)，特殊值法即可判定.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，即A正確；對(duì)于B項(xiàng)，不妨令，顯然，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，若，則，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若，顯然D錯(cuò)誤.故選：BCD10．已知向量，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AC【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列方程求，判斷A，根據(jù)向量垂直的向量表示結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求，判斷B，由兩邊平方可得，結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求，再求判斷C，由條件可得，且向量與不共線，列不等式的取值范圍，判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，所以，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，又，，所以，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，，所以，所以，由，，可得，所以，所以，，所以，C正確；對(duì)于D，由向量與的夾角為銳角，可得，且向量與不共線，所以，且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，D錯(cuò)誤；故選：AC.11．已知圓，P為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作兩條不同的直線，，與圓相交于A，B，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則下列說法正確的是（

）A．若，且點(diǎn)在軸上的射影為，則B．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離之和為C．過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線，過定點(diǎn)D．若，則的最大值為【答案】CD【分析】由條件證明為等邊三角形，由此可求，判斷A，求圓心到直線距離，由此求圓上一點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離，由此判斷B，由條件證明四點(diǎn)共圓，求該圓與圓的公共弦，可得方程，由此判斷C，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求，再求其最大值，判斷D.【詳解】連接，因?yàn)?，，所以為等邊三角形，因?yàn)辄c(diǎn)在軸上的射影為，所以，為的中點(diǎn)，所以，A錯(cuò)誤；圓的圓心為，半徑，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以圓上一點(diǎn)到直線的最大距離為，圓上一點(diǎn)到直線的最大距離為，所以圓上一點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離之和為，B錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知，所以四點(diǎn)共圓，設(shè)的中點(diǎn)為，則該圓的圓心為，半徑為，所以該圓的方程為，圓與圓的圓心距為，因?yàn)?，故圓心距小于兩圓半徑和，大于兩圓的半徑差的絕對(duì)值，所以圓和圓相交，又為兩圓的公共弦，由方程與方程相減可得，即直線的方程為，化簡(jiǎn)可得，所以直線過定點(diǎn)，C正確；當(dāng)直線的斜率存在，且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，所以，，所以，又，所以，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，直線的方程為，所以，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，與已知矛盾，所以的最大值為，D正確；故選：CD.12．已知小李每天在上班路上都要經(jīng)過甲、乙兩個(gè)路口，且他在甲、乙兩個(gè)路口遇到紅燈的概率分別為，p．記小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為，在甲、乙這兩個(gè)路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為，則（

）A．B．C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為D．當(dāng)時(shí)，【答案】BC【分析】確定，即可求出和，判斷A，B；表示一天至少遇到一次紅燈的概率為，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)可求得其最大值，判斷C；計(jì)算一天中遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即可求得，判斷D.【詳解】對(duì)于A，B，小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為，則，則，，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，由題意可設(shè)一天至少遇到一次紅燈的概率為，星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率為，設(shè)，則，令，則（舍去）或或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得最大值，即，即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，一天中不遇紅燈的概率為，遇到一次紅燈的概率為，遇到兩次紅燈的概率為，故一天遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以，故D錯(cuò)誤，故選：BC【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率，關(guān)鍵是要明確一天至少遇到一次紅燈的概率，從而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的表達(dá)式，難點(diǎn)在于要利用導(dǎo)數(shù)求解最值,因此設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)解決問題.三、填空題13．在的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為32，則______．【答案】0【分析】利用賦值法可求得a的值，即可求得答案.【詳解】由題意令，則，故，則，故答案為：014．在正方體中，，M為棱BC的中點(diǎn)，過直線AM的平面滿足平面，則平面截正方體所得較小部分與較大部分的體積的比值為______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，作出平面截正方體所得截面，再求出較小部分的體積作答.【詳解】在正方體中，取的中點(diǎn)，連接，如圖，有，而正方體的對(duì)角面是矩形，則，因?yàn)?，則，又平面，平面，即有，而平面，因此平面，因?yàn)槠矫?，于是平面平面，依題意，平面即為平面，令的延長(zhǎng)線與延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為，的延長(zhǎng)線與延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為，顯然，即點(diǎn)與重合，記為，因此，又正方體的體積，所以平面截正方體所得較小部分與較大部分的體積的比值為.故答案為：15．已知存在，使得函數(shù)與的圖象存在相同的切線，且切線的斜率為1，則b的最大值為___.【答案】-3【分析】分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率為1求得切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出曲線在切點(diǎn)處的切線方程，把的切點(diǎn)代入，可得b與a的關(guān)系式，再由導(dǎo)數(shù)求最值即可【詳解】解:令，得，切點(diǎn)為，令，得，切點(diǎn)為.切線方程為代入，可得則令，則,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴即b的最大值為-3.故答案為：-3.16．已知橢圓的下頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線AF交橢圓于點(diǎn)，，若，則橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【分析】寫出直線AF的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得B點(diǎn)橫坐標(biāo)，由向量關(guān)系得坐標(biāo)間的關(guān)系，化簡(jiǎn)出離心率得取值范圍.【詳解】由題設(shè)，則，直線AF的方程為，聯(lián)立方程組，得，所以B點(diǎn)橫坐標(biāo)為，又因?yàn)?，所以，即，得，又因?yàn)椋?故答案為：.【點(diǎn)睛】條件可以用坐標(biāo)表示，即可將條件的范圍轉(zhuǎn)化為橢圓方程中參數(shù)的取值范圍.四、解答題17．已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）為等差數(shù)列，利用前三項(xiàng)成等差，求出公差，首項(xiàng)，得出通項(xiàng)，再進(jìn)行驗(yàn)證即可；利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，．因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，解得，所以，，．又，是等差數(shù)列.因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．（2）由（1）得，所以，①則，②①-②得，所以．18．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并解答．問題：已知函數(shù)______．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，S為的面積．若在處有最小值，求面積的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)最小正周期，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）三個(gè)條件中任選一個(gè)，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)的解析式及三角函數(shù)的性質(zhì)求得，．由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，從而可得面積的最大值．【詳解】（1）選擇條件①：．所以函數(shù)的最小正周期．令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．選擇條件②：，所以函數(shù)的最小正周期．令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．選擇條件③：，所以函數(shù)的最小正周期．令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，．因?yàn)樵谔幱凶钚≈?，且，所以，．由余弦定理可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最大值為．19．某地種植蘋果通過農(nóng)村電商銷往全國(guó)，實(shí)現(xiàn)脫貧致富．現(xiàn)要測(cè)量一批蘋果的重量，從中隨機(jī)抽取100個(gè)蘋果作為樣本，測(cè)量單個(gè)蘋果的重量，重量均在[330，470]克.由測(cè)量結(jié)果得到頻率分布直方圖，如圖所示．(1)估計(jì)這批蘋果重量的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這批蘋果的重量X服從正態(tài)分布（其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差）．如果重量在[375，450]克，則該蘋果為“標(biāo)準(zhǔn)品”．采取用樣本估計(jì)總體的思想，結(jié)合正態(tài)分布，估計(jì)這批蘋果中“標(biāo)準(zhǔn)品”的概率（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(3)將這100個(gè)蘋果中重量在[430，470]克的蘋果全部取出來，再?gòu)娜〕龅奶O果中任選3個(gè)，用Y表示這3個(gè)蘋果中重量在[450，470]克的蘋果數(shù)，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．（參考數(shù)據(jù)：若X服從正態(tài)分布，則，，，）【答案】(1)平均數(shù)為400克，方差為600(3)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)頻率之和為11求出，再根據(jù)頻率分布直方圖求均值及方差即可；（2）由正態(tài)分布，根據(jù)對(duì)稱性可求出；（3）根據(jù)古典概型求出概率，得出分布列，求出期望即可.【詳解】（1）由已知可得，解得．（克），由樣本估計(jì)總體可知這批蘋果重量的平均數(shù)為400克，方差為600，（2）由（1）可知，該正態(tài)分布中的μ估計(jì)值為400克，的估計(jì)值為為600，故．因?yàn)?，所以，所以這批蘋果中“標(biāo)準(zhǔn)品”的概率約為0.82．（3）由題意可知，共取出重量在克的蘋果8個(gè)，[450，470]克的蘋果2個(gè)，從中再任選3個(gè)蘋果，的可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為：Y012P．20．將圖（1）所示四棱錐E-ABCD展開得到如圖（2）所示的平面展開圖（點(diǎn)E的展開點(diǎn)分別為，，，），其中四邊形ABCD是矩形，A，D是線段的三等分點(diǎn)，F(xiàn)，G是線段，的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面EAB；(2)若二面角E-BC-A的正切值為，點(diǎn)H，K滿足，，求HK與平面ABCD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用條件先證明平面CDGF，再利用線面垂直證明面面垂直；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角即可.【詳解】（1）∵A，D是線段的三等分點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形．∵是AE的中點(diǎn)，∴，∵，，∴．∵，∴平面CDGF．∵平面EAB，∴平面平面．（2）取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)T，連接EO，OT，TE，∴，，∴．又，∴平面EOT，∴，∴是二面角的平面角．設(shè)，則，易知平面平面ABCD且，∴平面ABCD，∴，∴，∴．∵OT，OD，OE兩兩互相垂直，∴分別以O(shè)T，OD，OE所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．∵，，∴，，∴，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，設(shè)HK與平面ABCD所成的角為，則．21．已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓過點(diǎn)，，．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作圓的切線，分別交拋物線C于M，N（異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，求證：直線MN與圓相切．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，根據(jù)題意列式求解；（2）設(shè)切線方程為，根據(jù)題意可得，聯(lián)立切線與拋物線的方程求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理求直線MN的方程，再求圓心到直線MN的距離即可.【詳解】（1）設(shè)圓，故，解得，可得圓，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可知，拋物線的方程為，圓的圓心為，半徑．∵，即在拋物線上，設(shè)切線方程為，，，由直線與圓相切可得，可得，，設(shè)方程的兩根分別為，，則，．聯(lián)立方程，消去得，則4，是方程的兩根，可得，即，同理可