整式、分式不等式的解法講義

3◎高考要求☆嫻熟把握一次不等式、二次不等式的解法.☆把握有理不等式、分式不等式的解法.◎考向指南整式、分式不等式的解法是高考考察運(yùn)算力氣的重要途徑，它們有時(shí)單獨(dú)、直接地出現(xiàn)在選擇、填空題中，難度中、低檔；有時(shí)與函數(shù)、三角、解析幾何等學(xué)問(wèn)綜合以解題工具的面貌消滅一些大、小綜合題中，需嫻熟把握其解法.◎考基要點(diǎn)1axb(a0)的解集：a0時(shí)，解集是x|x

b；當(dāng)a0時(shí)，解集是x|xb. a a ※提示：含參數(shù)的一元一次不等式的解法，留意對(duì)其一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)的爭(zhēng)論.另外這個(gè)結(jié)論的理解從一元一次方程的角度理解更簡(jiǎn)潔，可以用一元一次函數(shù)關(guān)心.2、一元二次不等式的解集☆一元二次不等式ax2bxc0(a0的解集：當(dāng)b24ac0時(shí)，解集為R；當(dāng)b24ac0時(shí)，則方程ax2bxc0有兩個(gè)等根，記為xx1 2

b2a，原x|xR,且x不等式的解集為

b2a；當(dāng)b24ac0時(shí)，原方程ax2bxc0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記為xx，1 2xx1

1 2☆一元二次不等式ax2bxc0(a0的解集：當(dāng)b24ac0時(shí)，解集為；當(dāng)b24ac0時(shí)，則方程ax2bxc0有兩個(gè)等根，記為xx1 2

b2a，原不等式的解集為；當(dāng)b24ac0時(shí)，原方程ax2bxc0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記為xx，1 2xx1

x|x1

xx.21yax2bxcx軸的關(guān)系來(lái)進(jìn)展.上面給出了a0時(shí)的結(jié)論，當(dāng)a0時(shí)，可以利用不等式運(yùn)算性質(zhì)化歸為a0的情形.※提示：一元二次不等式的解集的端點(diǎn)值，恰為所對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩根.3、高次不等式的解法高次不等式的解法的根本思路是因式分解，化為求一元一次或一元二次不等式組的解集.f(x)0 f(x)0F(x)f(xg(x)0 或g(x)0 g(x)0f(x)0 f(x)0F(x)f(xg(x)0 或g(x)0 g(x)0※提示：將簡(jiǎn)潔的高次不等式化成標(biāo)準(zhǔn)型F(x)xx1

2

3

n

，常利數(shù)軸標(biāo)根法F(x)0F(x)0的解集.4、分式不等式的解法分式不等式的解法的根本思路是化歸為一元一次或一元二次不等式組來(lái)求解高次不等式.f(x)

0f(x)g(x)0；

f(x)

0f(x)g(x)0；g(x) g(x) g(x)0f(x)

0f(x)g(x)0；

f(x)

0f(x)g(x)0.g(x)

g(x) g(x)0式不等式，千萬(wàn)不能“亂去分母”.5、含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較〔相應(yīng)方程的〕根的大小，對(duì)參數(shù)進(jìn)展?fàn)幷?解含參數(shù)的不等式是不等式學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是中學(xué)數(shù)學(xué)培育參數(shù)爭(zhēng)論力氣的主要題型，因此解答含參數(shù)的不等式是高考數(shù)學(xué)考試中的中檔題的熱點(diǎn)題型.、解答含參數(shù)的不等式的根本方法是分類爭(zhēng)論，學(xué)習(xí)中要以這種根本思想為主體，2訓(xùn)練扎實(shí)的根本功.、分類爭(zhēng)論的方案是命題打算的，因此要依據(jù)命題的類型與特點(diǎn)提出最正確分類方案，確定不能任憑分類.、答題要層次清楚，書(shū)寫標(biāo)準(zhǔn)，解答完畢要小結(jié).方法定位：①、含參數(shù)不等式問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是學(xué)生的一個(gè)弱點(diǎn)，其核心問(wèn)題分類爭(zhēng)論是不得已而為之.②、解含參不等式時(shí)，分類爭(zhēng)論要不重不漏，據(jù)題目所給定的參數(shù)字母的范圍，在各個(gè)不同的區(qū)間內(nèi)分別考慮.③、含參不等式的解集要按參數(shù)的不同范圍分開(kāi)來(lái)寫，不能合并在一起，但假設(shè)按未x來(lái)分類爭(zhēng)論，最終解集應(yīng)取各局部的并集.④、解含參不等式的過(guò)程，大局部都是化成一次或二次不等式組，然后再來(lái)解一次或axbaax2bxc0中留意判別式的符號(hào)及開(kāi)口方向.⑤、含參數(shù)的有關(guān)恒成立的不等式問(wèn)題，有以下三種狀況：二次不等式在一切實(shí)數(shù)上恒成立，由0與a0a0a0結(jié)合求解.二次不等式在某區(qū)間上恒成立，由二次不等式相應(yīng)函數(shù)在這區(qū)間上的最值求解或分別出參數(shù)后，利用函數(shù)在這區(qū)間上的最值求解.的最值求解；一次不等式也可利用一次函數(shù)的單調(diào)性求出最值后求解.6、不等式解法的根本思路解不等式的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是用同解不等式逐步代換化簡(jiǎn)原不等式的過(guò)程，因而保持同一元一次不等式或一元二次不等式，所以等價(jià)轉(zhuǎn)化是解不等式的主要思路.地解一元一次和一元二次不等式，二要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價(jià)變形.◎點(diǎn)擊高考1x的不等式mxanxb2、關(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集為x|x0a0，求cx2bxa0的解集.33x的不等式ax2(a1)x10.4、解以下不等式：〔1〕(2x1)(x1)(x3)0； 〔2〕6xx3x2.5x x2 2x 3

1.a(x1)6x的不等式x27、不等式(a2)x22(a2)x40對(duì)于xR恒成立，那么a的取值范圍是 〔〕A、(,2) B、(2,2] C、(,2) D、(2,2)2x22mxm 4x2 6x 3

1對(duì)一切xR都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 〔 〕4A、(1,3) B、(,3) C、(,1) (2,) D、(,)9、不等式ax2bx20的解集為x|1

x1，則ab的值為 〔 〕 2 3A、14 B、10 C、14 D、10x210、x1x1的解集為 .11、不等式(x2)2(x3)0的解集為 .x112、假設(shè)xR，ax24xa2x21恒成立，則a的范圍是 .13xx22ax24a20.2a114、實(shí)數(shù)mx2(m3)xm0兩根滿足：1〕〔〕都在〕內(nèi).1 15xx1

(a1)2 (a1)2與x23(a1)x2(3a1)02 2〔aR〕A和BABa的取值范圍.16、不等式2x21x1的解集是 .517〔2023，上?！巢坏仁?x0的解集是 .x418〔2023，廣東〕不等式

x1

1的實(shí)數(shù)解為 .19〔20231〕不等式

X1X1

＜1〔〕Ax0x xx

C〕x

x0

20f(x)是定義在0,上的增函數(shù)，f(2)1，且對(duì)定義域內(nèi)任意的x，y有f(xy)=f(x)f(y).f(4的值.1解關(guān)于x的不等式：f( )f(x21x

a)2.22、假設(shè)不等式

xa 03x1或x2，則a的值為x24x3A、2 B、2 C、1 D、12 2 23Ax|x2

x60，B

x|xk

xk1

0，假設(shè)A B則k的取值范圍是、1C、|k2或k2

B、k|2k2D、|3k124ax22ax10R0a1，則命題甲是命題乙成立的 條件.x2

4，則2x3y的取值范圍是A、[2 13,2 13] B、[2 13, 13] C、[0,2 13] D、[2 13,0]6參考答案1nm0nmab0即abRab0，ab，則不等式的解集為nm0，即nm時(shí)，不等式的解集為x|x

ab；當(dāng)nm0，即nm時(shí)，不等式的解集為x|x n

abnm. 2為方程ax2bxc0的兩根，且a0，cx2

bxa0同解變形為bcx2 x10.由韋達(dá)定理將代入，得x2bc

x10，即a a

1 1

1 1xx0，由0 ,可知. 1 1方程cx2bxa0的解集為x|

x .3a

4aa

0,方程ax2a1x10a0有兩根x 1

1.a①假設(shè)a0,且x1

x時(shí)，即0a1x2

xx

1x1；2 a②假設(shè)a0且x

x時(shí)，即a1時(shí)，原不等式的解為：x xx即1x1；1③假設(shè)a0且x1

2 2 1 ax時(shí)，即a1時(shí)，原不等式無(wú)解；2④假設(shè)a0則原不等式變?yōu)閤10x1；⑤假設(shè)a0,明顯x2

xxx1

或xx1

1或x1.a1,13,

2

|1x1或2x34〔1〕 2

；〔2〕

；5、6、原不等式可化為a1x2a0，即a1x2ax20.x2ax

a2x20a2

a111 1

1x2當(dāng) a1

a1 a1 a1 或xa2；a1ax

a2x20，此時(shí)，假設(shè)a0，則a2

a

x2當(dāng) a1

a1 a1 ；7假設(shè)0a1a22x

a2；

a1 a1a2無(wú)解.a1當(dāng)0a1時(shí)，原不等式的解集為2

a2 ， ,， ,a2；當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為；

， a1當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為a2,2. a1 8、B；8、A；9、A；10、x|x1；11、1,22,3；12、2,；13〔1〕當(dāng)2a10即a1時(shí)，原不等式為x4ax6a02①當(dāng)a0時(shí)，x,4a6a,；②當(dāng)12

a1時(shí)，x,6a4a,；③當(dāng)a0x,00,.〔2〕當(dāng)2a10即a1時(shí)，原不等式為x4ax6a0x4a,6a，解得2綜合以上原不等式的解集為：2a4a6a,1a時(shí)的解集為6a4a,2a1時(shí)，解集為6a,4a.214〔1〕0m1；〔2〕方程x20 3m

(m3)xm0的兩根都在0,2f(x)x29m或m11m3

0則

2 2 m0

2m1.32f(0)0 2 mf()01

32 1 2 15x

a1

a1

，得2axa2Ax|2axa2且aR2 2x23(a1)x2(3a10x2x3a10.8當(dāng)3a12，即a1x|2x3a1，aR；31

1時(shí)，Bx|3a1x2，aR.322a所以當(dāng)a 時(shí)，假設(shè)AB，則有

，解不等式組得1a3；3 a213a13a12a

1 3 時(shí)，假設(shè)有A B則有23

1，解不等式組得a1. a21 AB的a的取值范圍是a|1a3或a1.16、x|0x2；17、x|4x2；18、

x1

1

x1x2

(x1)2

(x2)2

x3x

2.x219、D；

x20

x20 220〔1〕f(4)f(2f(2)112.f(xa)2 a a〔2〕原不等式等價(jià)于 x

，由f(x )2得：x 4，即x24xa0.

xx2a0 x x①當(dāng)164a0，即a4時(shí)，不等式無(wú)解；②當(dāng)164a0，即a4時(shí)，不等式的解為x