量子物理電子自旋

量子物理電子自旋第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四2角動量電流面積磁矩是電流乘以面積帶電粒子軌道角動量的經(jīng)典圖像此處q自身帶正負號磁矩與角動量量子物理承認磁矩與角動量的正比關系，但是角動量在空間任何方向的分量值是量子化的第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四3軌道角動量磁矩：電子軌道角動量若為電子J為軌道角動量為波爾磁子第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四4（1）自旋角動量概念對于軌道角動量的Z分量，算符其本征值只能是，其中只能取整數(shù)從最大值依次減1直至，叫做磁量子數(shù)第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四5軌道角動量在任意方向投影的可能值都是分立的，在任一方向的投影值只能取為總角動量量子數(shù)，是在所有方向的最大可能投影值0zlz此結(jié)論可以直接解角動量分量算符本征方程而得，已經(jīng)獲得實驗證實。實驗事實還表明，電子還必須有附加的內(nèi)稟磁矩：自旋磁矩。第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四6

實驗發(fā)現(xiàn)，電子除了軌道角動量之外，還有另一種角動量，它與電子的空間運動無關，是一種內(nèi)稟(intrinsic)角動量，我們稱之為自旋角動量。但是，它不同于經(jīng)典自旋（例如地球自轉(zhuǎn)）電子自旋第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四7進一步研究表明，不但電子存在自旋，中子、質(zhì)子、等所有微觀粒子都存在自旋，只不過取值不同。自旋和靜質(zhì)量、電荷等物理量一樣，也是描述微觀粒子固有屬性的物理量。電子自旋第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四8

電子自旋電子自旋的經(jīng)典圖象。以此圖像，電子磁矩在空間某方向的可能投影值應該是連續(xù)值。然而，類似于軌道角動量磁矩實驗，實驗發(fā)現(xiàn)……第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四9SternGerlach實驗實驗說明：粒子源為熱爐中蒸發(fā)出的銀原子。其狀態(tài)是一個各種態(tài)都有可能的混合態(tài)。（可類比于自然光偏振，各種偏振都有。）銀原子核外47個電子，其中內(nèi)層46個可視為構成了一個球?qū)ΨQ電子云整體而沒有凈角動量。核自旋角動量忽略不計。總之：整個原子的磁矩由第47個電子磁矩決定，它正比于其自旋值。磁矩在非均勻磁場中受力第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四10SternGerlach實驗OvenB真實觀測結(jié)果經(jīng)典物理預言為解釋此實驗結(jié)果，Uhlenbeck和Goudsmit提出自旋角動量：據(jù)計算，z方向磁矩的兩個值為，第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四11電子自旋的基本性質(zhì)：（1）電子具有自旋角動量，量子數(shù)為1/2電子自旋在空間任何方向上的投影值（分量測量值）僅取兩個值，例如方向（2）電子具有磁矩，它和自旋角動量的關系是：為回磁比為表述方便，今后的電子自旋磁矩與自旋角動量關系，我們一般都用回磁比式。第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12回顧：軌道角動量量子化假定：對任何角動量，在空間任何方向的可能的磁量子數(shù)，都是從最大值到最小值依次減一，最大值與最小值絕對值相等。（對于自旋，這點可以嚴格證明）因為分量值只有兩個，電子自旋角動量必須是才能滿足任何方向分量值只有兩個的條件！另外，自旋磁矩回磁比必為軌道磁矩的2倍。才能滿足電子自旋每個分量的磁矩大小都是一個波爾磁子這一事實。第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四13空間任意方向自旋本征態(tài)如何表示？（2）自旋角動量的態(tài)矢量1）電子自旋空間為兩態(tài)空間2）與之對應，自旋角動量的算符的本征只能有兩個，分別為。在軸上的兩個分量對應的本征矢量為形象的說，即為自旋朝上的態(tài)和自旋朝下的態(tài)。第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四14空間任意方向自旋本征態(tài)如何表示？（2）自旋的態(tài)矢量第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四15連串實驗OvenSGzSGz+z-zNosignal+z-zOvenSGzSG+-+z-z想象偏振測量實驗。這里磁場方是測量基！處于+z的態(tài)，發(fā)現(xiàn)它是+x態(tài)或-x的概率是1/2添加其他實驗還可證明，處于某個方向正向的態(tài)，在一個與其夾角為的方向測分量值。獲得正值概率為，獲得負值概率為。第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四16物理量:Sz（z向自旋）可觀測結(jié)果：，算符本征值，本征矢，算符：Sx（x向自旋）（Y向自旋）Sy第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四17對自旋態(tài)的數(shù)學描述必須與實驗事實相符并且自洽?；救蝿眨簩臻g任何方位（）的正方向與負方向的自旋本征態(tài)的數(shù)學描述。第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四18實驗事實1：任何方位的正負方向的本征態(tài)正交。此即要求在任何方位，事實2：任何兩個方位，若其正向夾角為那發(fā)現(xiàn)其中一個方位的正向本征態(tài)是另一個方位正負向本征態(tài)的概率分別為。第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四19事實2：任何兩個方位，若其正向夾角為那發(fā)現(xiàn)其中一個方位的正向本征態(tài)是另一個方位正負向本征態(tài)的概率分別為。若選定則必然要求以便滿足事實2，即第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四20若選定以便滿足事實2，即則必然要求以及第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四21若選定則必然要求或者Bloch球面電子自旋任何一個態(tài)對應于Bloch面上一個點第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四22任意態(tài)可以采用兩維矢量表述特別的第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四233.自旋角動量算符與泡利矩陣任何物理量都對應與一個線性厄米（Hermitian，self-adjoint）算符A。A有一套本征矢量，對應本征值

回顧公設該物理量算符為：第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四243.自旋算符與泡利矩陣什么樣的算符能有這種本征態(tài)及相應的本征值？對于任意方位的自旋角動量分量，有本征值及對應的本征態(tài)第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四25對于自旋角動量算符拋棄公因子即得泡利算子對于特殊方位軸3.自旋算符與泡利矩陣第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四26

上述矩陣定義為泡利自旋矩陣3.自旋算符與泡利矩陣自旋角動量分量算符注：一般教科書上采用先給出泡利自旋矩陣，再去算本征態(tài)。然而，給出泡利自旋矩陣是基于假定自旋算符與軌道角動量算符具有同樣對易法則。（這個假定不屬于量子力學公設。）然而，我們的課件在這里既不需要這個假定，也不需要先行了解軌道角動量算符及其對易關系，我們只用到兩個東西：實驗事實與算符公設。請同學們注意品味課件這部分內(nèi)容。第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四27

單位矩陣加上泡利自旋矩陣可以構成任何2乘2矩陣3.自旋算符與泡利矩陣任何2乘2矩陣可改寫為例如：所有泡利矩陣的本征值都是第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四28

不同的泡利自旋矩陣是不對易的，任何不同方位的自旋角動量分量值不能同時精確測量。3.自旋算符與泡利矩陣定義自旋平方算符為：平方算符的本征值是唯一的，又稱為常數(shù)算符第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四293.自旋算符與泡利矩陣可以證明，對于任何角動量J，此處j為總角動量量子數(shù)。證明過程只需要對易關系對于軌道角動量，以上對易關系可以驗證第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四304在均勻靜均勻靜磁場中的自旋進動進動就是指在外磁場作用下自旋態(tài)的演化。如過去所說，我們需要哈密頓量及其本征值與本征態(tài)。第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四314在均勻靜均勻靜磁場中的自旋進動電子自旋任何一個態(tài)對應于Bloch面上一個點，或者對應于連接原點與該點的矢量電子自旋態(tài)的演化可以直觀的對應于Bloch面上點的運動，或者是對應矢量尾部的進動我們把自旋態(tài)在磁場中的演化稱為自旋進動“進動”只是一個直觀的數(shù)學圖像，與電子位置沒有任何關系！第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四324在均勻靜均勻靜磁場中的自旋進動為方便起見，今后我們將統(tǒng)一采用這里，稱為電子的回磁比（gyromagneticratio）聯(lián)系電子磁矩與自旋角動量（算符）第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四334在靜均勻靜磁場中的自旋進動哈密頓量經(jīng)典電磁學，勢能實驗表明，量子力學的哈密頓量就是把上式的磁矩換成算符。為方便起見，經(jīng)常采用約化磁場：第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四344在均勻靜磁場中的自旋進動（拉莫進動）設磁場方向為z+方向，稱為拉莫頻率(Larmorfrequency)

自旋1/2粒子在均勻靜磁場中的進動叫做拉莫進動，Larmorprecession第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四35態(tài)演化問題的一般方法回顧我們現(xiàn)在局限于不含時哈密頓量1）寫出哈密頓量2）解定態(tài)方程，獲得哈密頓量的本征態(tài)與本征值，3）以上述本征態(tài)為基礎態(tài)，將給定的初始態(tài)展開，最后得任意時刻的態(tài)。第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四36為方便起見，經(jīng)常采用約化磁場：取磁場為z+方向自旋態(tài)在磁場中的進動哈密頓量定態(tài)及本征值對于任意初始態(tài)在時刻t為拉莫頻率對應Bloch面上點的進動，是“繞z軸轉(zhuǎn)動”第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四37對自旋態(tài)的數(shù)學描述必須與實驗事實相符并且自洽?；救蝿眨簩臻g任何方位（）的正方向與負方向的自旋本征態(tài)的數(shù)學描述。第37頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四38在時刻t若初始時刻為在任意時刻x方向自旋平均值？第38頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四39在時刻t任意時刻t發(fā)現(xiàn)它的自旋為x+的概率？例2在x軸正向接通磁場需多久能實現(xiàn)？第39頁，共42頁