數(shù)字信號(hào)處理（第3版）ch6-3-有限字長(zhǎng)效應(yīng)

電子信息工程學(xué)院信號(hào)處理課程組數(shù)字信號(hào)處理DigitalSignalProcessing

IIR數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)

FIR數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)

有限字長(zhǎng)效應(yīng)數(shù)字濾波器的MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)及實(shí)現(xiàn)有限字長(zhǎng)效應(yīng)

問題的提出截尾和舍入量化效應(yīng)輸入信號(hào)量化誤差濾波器系數(shù)量化誤差乘積運(yùn)算量化誤差問題的提出

數(shù)字系統(tǒng)，存儲(chǔ)單元的字長(zhǎng)有限。A/D轉(zhuǎn)換量化誤差數(shù)字濾波器的系數(shù)量化誤差乘積運(yùn)算量化誤差截尾和舍入量化效應(yīng)定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)的表示數(shù)值量化及量化誤差定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)的表示定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)x有三種表示形式，若-1<x<1，則其原碼、反碼和補(bǔ)碼分別定義為：正數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼都相同。數(shù)值量化及量化誤差理論上，任意十進(jìn)制數(shù)x(-1<x<1)都可用無限位二進(jìn)制數(shù)表示實(shí)際中，只能用(b+1)位有限位近似表示x，此過程稱為量化。

當(dāng)利用有限位二進(jìn)制數(shù)近似表示需無限位二進(jìn)制表示的數(shù)時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生誤差，此誤差稱為量化誤差。符號(hào)位有效數(shù)字位數(shù)值量化兩種數(shù)值量化方式：截尾量化和舍入量化舍入量化截尾量化補(bǔ)碼數(shù)值量化如下十進(jìn)制數(shù)序列：d=[0.6250.573-0.8720.268-0.326]0.625000.56250-0.875000.28125-0.31250[0.10100]b[0.10010]b[1.11100]b[0.01001]b[1.01010]b0.625000.56250-0.843750.25000-0.31250[0.10100]b[0.10010]b[1.11011]b[0.01000]b[1.01010]b按照5bit截尾序列：按照5bit舍入序列：量化誤差

截尾誤差：

舍入誤差：正數(shù)、負(fù)數(shù)補(bǔ)碼截尾誤差范圍為負(fù)數(shù)原碼和反碼截尾誤差范圍為舍入誤差對(duì)稱分布，截尾誤差單極性分布。量化誤差截尾誤差eT：舍入誤差eR：量化誤差(eR,eT)統(tǒng)計(jì)分析：均勻分布的隨機(jī)變量。舍入誤差概率密度函數(shù)曲線截尾誤差概率密度函數(shù)曲線量化誤差舍入誤差eR：截尾誤差eT：均值方差（平均功率）eR和eT是任一時(shí)刻的量化誤差。輸入信號(hào)量化誤差精確抽樣值量化誤差模擬信號(hào)經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換為b位數(shù)字信號(hào)：若輸入信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍可達(dá)A/D轉(zhuǎn)換器的滿量程，且不斷經(jīng)歷不同的量化水平，則量化誤差e[k]：e[k]是平穩(wěn)、服從均勻分布的白噪聲e[k]和x[k]不相關(guān)量化誤差e[k]的統(tǒng)計(jì)特性與任一時(shí)刻量化誤差(eR,eT)基本相同。輸入信號(hào)量化誤差e[k]的均值：e[k]的方差（平均功率）：輸入信號(hào)的信噪比SNR為（信號(hào)x[k]的平均功率為sx2）由此可見，字長(zhǎng)b增加一位，SNR約增加6dB。輸入信號(hào)量化誤差通過LTI系統(tǒng)量化后的輸入信號(hào)通過離散LTI系統(tǒng)，輸入量化誤差在輸出端產(chǎn)生輸出誤差。利用卷積公式：輸出誤差輸入信號(hào)量化誤差通過LTI系統(tǒng)由輸入量化誤差產(chǎn)生的輸出誤差為

輸出誤差v[k]的方差為

推導(dǎo)可得，輸出誤差v[k]的方差為輸入信號(hào)量化誤差通過LTI系統(tǒng)根據(jù)Parseval定理

因此輸出誤差v[k]的方差也可表示為濾波器系數(shù)量化誤差FIR濾波器系數(shù)量化效應(yīng)IIR濾波器系數(shù)量化效應(yīng)因字長(zhǎng)有限，濾波器系數(shù)an、bm量化后將產(chǎn)生誤差，導(dǎo)致：系統(tǒng)的實(shí)際頻響與所要求的系統(tǒng)頻響出現(xiàn)偏差；嚴(yán)重時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)的改變，可能使IIR系統(tǒng)失去穩(wěn)定。FIR濾波器系數(shù)量化誤差系數(shù)量化只影響零點(diǎn)，不涉及穩(wěn)定性問題，但會(huì)影響頻率響應(yīng)。量化后的系統(tǒng)函數(shù)變?yōu)椋涸斐傻念l率響應(yīng)誤差E(ej)為FIR濾波器系數(shù)量化誤差采用舍入量化時(shí)，，因此若限定了頻響誤差E(ej)，則FIR數(shù)字濾波器的階數(shù)M越大時(shí)，需要的字長(zhǎng)b越大。工程實(shí)際中，在根據(jù)上式估計(jì)字長(zhǎng)的基礎(chǔ)上增加3~4位。FIR濾波器系數(shù)量化誤差[例]已知某FIR數(shù)字濾波器階數(shù)M=28，要求其系數(shù)量化誤差造成的頻響誤差不超過0.01，試確定所需的字長(zhǎng)。

解：根據(jù)因此所需字長(zhǎng)至少為b=11位。代入已知條件，得：FIR濾波器系數(shù)量化誤差[例]已知某線性相位FIR帶通濾波器滿足下列指標(biāo)：Ws1=0.2prad,Wp1=0.3prad,Wp2=0.6prad,

Ws2=0.7prad,dp=0.1,ds=0.01分別采用4位和10位量化濾波器系數(shù)，觀察系統(tǒng)頻率響應(yīng)的變化。Fs1=0.2;Fp1=0.3;Fp2=0.6;Fs2=0.7;f=[Fs1Fp1Fp2Fs2];a=[010];Rp=0.1;Rs=0.01;dev=[RsRpRs];[M,fo,ao,w]=firpmord(f,a,dev);h=firpm(M,fo,ao,w);w=linspace(0.01,pi-0.01,1000);mag=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(mag)),'r');%系數(shù)量化num_q1=qt(h,4);H=freqz(num_q1,1,w);holdon;plot(w/pi,20*log10(abs(H)),'g');num_q2=qt(h,10);H=freqz(num_q2,1,w);holdon;plot(w/pi,20*log10(abs(H)),'b');FIR濾波器系數(shù)量化誤差[例]已知某線性相位FIR帶通濾波器滿足下列指標(biāo)：Ws1=0.2prad,Wp1=0.3prad,Wp2=0.6prad,

Ws2=0.7prad,dp=0.1,ds=0.01分別采用4位和10位量化濾波器系數(shù)，觀察系統(tǒng)頻率響應(yīng)的變化。未量化的濾波器系數(shù)(前10個(gè)數(shù)據(jù))：0.00090.00700.0194-0.0361-0.06170.02880.0573-0.00130.06110.0360采用4位量化后的濾波器系數(shù)(前10個(gè)數(shù)據(jù))：-0.0061-0.0061-0.0061-0.0381-0.07000.02580.0258-0.00610.05780.0258采用10位量化后的濾波器系數(shù)(前10個(gè)數(shù)據(jù))：0.00090.00690.0194-0.0366-0.06200.02830.0568-0.00160.06080.0358FIR濾波器系數(shù)量化誤差Wp1=0.3pradWp2=0.6praddp=0.1Ws1=0.2pradWs2=0.7pradds=0.01頻率響應(yīng)IIR濾波器系數(shù)量化誤差系數(shù)an量化后的值：IIR濾波器系數(shù)量化誤差對(duì)極點(diǎn)位置的影響極點(diǎn)pr量化后的值：IIR濾波器系數(shù)量化誤差極點(diǎn)pr量化后的值：第r個(gè)極點(diǎn)對(duì)第n個(gè)系數(shù)an量化的敏感度極點(diǎn)量化誤差pr/an越大，an對(duì)pr的影響越大，反之亦然。IIR濾波器系數(shù)量化誤差對(duì)極點(diǎn)位置的影響IIR濾波器系數(shù)量化誤差極點(diǎn)位置敏感度的表達(dá)式為極點(diǎn)彼此間距離越遠(yuǎn)，極點(diǎn)位置敏感度就越低；極點(diǎn)彼此越密集，

極點(diǎn)位置敏感度就越高。在并聯(lián)結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)中，每個(gè)子系統(tǒng)最多只有兩個(gè)共軛極點(diǎn)，

故量化影響較小。IIR濾波器系數(shù)量化誤差[例]設(shè)計(jì)滿足如下指標(biāo)的BW型帶阻濾波器，并采用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，試分別采用4位、8位和12位對(duì)系數(shù)進(jìn)行量化，觀察濾波器的頻率響應(yīng)和零極點(diǎn)的變化。Wp1=0.45prad,

Wp2=0.72prad,Ap1dB

,

Ws1=0.52prad,

Ws2=0.62prad,As

20dBIIR濾波器系數(shù)量化誤差未量化的濾波器系數(shù)：0.48320.85372.49832.72774.04872.72772.49830.85370.48321.45213.37373.07643.75492.14841.64970.48600.2335采用4位量化后的濾波器系數(shù)：0.47190.71042.37962.61804.04872.61802.37960.71040.47191.42573.33342.85653.57182.14111.42570.47190.2335分子bi分母ai分子bi分母aiIIR濾波器系數(shù)量化誤差未量化4位量化不穩(wěn)定系統(tǒng)IIR濾波器系數(shù)量化誤差未量化的濾波器系數(shù)：采用8位量化后的濾波器系數(shù)：0.47190.84452.48392.72234.04872.72232.48390.84450.47191.44063.36323.06513.75072.14111.64930.47190.23350.48310.85292.49792.72704.04872.72702.49790.85290.48311.45183.37343.07633.75442.14761.64930.48590.2335采用12位量化后的濾波器系數(shù)：分子bi分母ai分子bi分母ai0.48320.85372.49832.72774.04872.72772.49830.85370.48321.45213.37373.07643.75492.14841.64970.48600.2335分子bi分母aiIIR濾波器系數(shù)量化誤差未量化8位量化IIR濾波器系數(shù)量化誤差未量化12位量化IIR濾波器系數(shù)量化誤差Wp1=0.45pradWp2=0.72pradAp1dB

Ws1=0.52pradWs2=0.62pradAs

20dBIIR濾波器系數(shù)量化誤差[例]設(shè)計(jì)滿足如下指標(biāo)的BW型帶阻濾波器，若采用二階節(jié)級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該濾波器，其系數(shù)量化仍采用8位字長(zhǎng)，比較其與直接型結(jié)構(gòu)對(duì)濾波器的頻率響應(yīng)和零極點(diǎn)的影響。Wp1=0.45prad,

Wp2=0.72prad,Ap1dB

,

Ws1=0.52prad,

Ws2=0.62prad,As

20dBIIR濾波器系數(shù)量化誤差直接型（8位量化）級(jí)聯(lián)型（8位量化）直接型（未量化）IIR濾波器系數(shù)量化誤差Wp1=0.45pradWp2=0.72pradAp1dB

Ws1=0.52pradWs2=0.62pradAs

20dB8位量化乘積運(yùn)算量化誤差

FIR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析IIR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析IIR系統(tǒng)極限環(huán)振蕩現(xiàn)象乘積運(yùn)算量化誤差

乘積量化誤差用噪聲源ei[k]表示，對(duì)其做如下假設(shè)：（1）各噪聲源均為白噪聲序列；（2）各噪聲源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，互不相關(guān)；（3）在量化噪聲范圍內(nèi)，各噪聲源都視為等概率密度分布。乘積量化噪聲源方差：FIR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析

M階FIR系統(tǒng)的差分方程為：對(duì)FIR系統(tǒng)中M+1個(gè)乘積項(xiàng)進(jìn)行量化處理FIR直接型結(jié)構(gòu)乘積量化誤差噪聲源模型由乘積量化噪聲產(chǎn)生的輸出噪聲方差在直接型FIR結(jié)構(gòu)中，所有的噪聲直接加在輸出端FIR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析

IIR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析

對(duì)上式M+1+N個(gè)乘積項(xiàng)作量化處理IIRDF的差分方程為IIR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析

[例]

已知某IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

試分別計(jì)算直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)下，由乘法量化產(chǎn)生的輸出噪聲方差。

IIR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析

解：直接型結(jié)構(gòu)

量化誤差e[k]通過的系統(tǒng)為IIR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析

量化誤差e[k](e0[k]、e1[k]和e2[k])的方差為乘法量化產(chǎn)生的輸出噪聲方差I(lǐng)IR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析

級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)

e1[k](e10[k]和e11[k])通過的系統(tǒng)e2[k](e21[k])通過的系統(tǒng)IIR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析

e1[k](e10[k]和e11[k])通過的系統(tǒng)e2[k](e21[k])通過的系統(tǒng)乘法量化產(chǎn)生的輸出噪聲方差I(lǐng)IR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析

并聯(lián)型結(jié)構(gòu)

e1[k](e10[k]和e11[k])通過的系統(tǒng)e2[k](e20[k]和e21[k])通過的系統(tǒng)IIR系統(tǒng)乘積量化誤差的統(tǒng)計(jì)分析

e1[k](e10[k]和e11[k])通過的系統(tǒng)e2[k](e20[k]和e21[k])通過的系統(tǒng)乘法量化產(chǎn)生的