人教版課件第3套必修

第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系2．3．3直線與平面垂直的性質(zhì)2．3．4平面與平面垂直的性質(zhì)1．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理及平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字語言、符號語言和圖形語言描述定理．(重點)2．能夠靈活地應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理與面面垂直的性質(zhì)定理證明相關(guān)問題．(重點)3．理解并掌握“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化及線線垂直、線面垂直、面面垂直的內(nèi)在聯(lián)系．(難點)平行a∥b一個平面內(nèi)交線垂直線面a?αa⊥l1．垂直于同一平面的兩平面平行嗎？提示：不一定．可能平行，也可能相交，如相鄰的墻面與地面都垂直，但兩墻面相交．2．直線a∥直線b，a⊥平面α，則b與α的位置關(guān)系如何？提示：b⊥α

．如圖所示，已知a∩α＝A， b∩α＝B，過B作b′⊥α，則b′∥a，而過線 外一點作線的平行線有且只有一條，故b與b′ 重合，∴b⊥α．3．兩個平面垂直，其中一個平面內(nèi)的任一條直線與另一個平面一定垂直嗎？提示：不一定．只有在一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線才能垂直于另一個平面．

定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．特別提醒：三個常見結(jié)論：(1)若直線a⊥平面α且a∥b，則b⊥α；(2)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直；(3)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直．線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用

已知：α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R．求證：QR⊥AB．證明：如圖，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB．∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB．∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO．∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR．∴PQ與OR確定平面PQRO．又∵QR?平面PQRO，∴QR⊥AB．【題后總結(jié)】要證線線垂直，只需證線面垂直，只需考慮應(yīng)用線面垂直的定義或判定定理進(jìn)行證明，從而得出所需結(jié)論．因此在解題時應(yīng)充分體會線面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解題中的靈活應(yīng)用．1．已知，如圖，直線a⊥α，直線b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c．求證：AB∥c．證明：過點B引直線a′∥a，a′與b確定的平面設(shè)為γ，因為a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′．又a′∩b＝B，所以AB⊥γ．因為b⊥β，c?β，所以b⊥c．①因為a⊥α，c?α，所以a⊥c．②又a′∥a，所以a′⊥c．由①②可得c⊥γ．又AB⊥γ，所以AB∥c．1．定理成立的條件有兩個：(1)直線在其中一個平面內(nèi)；(2)直線與兩平面的交線垂直．2．定理的實質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．3．遇有面面垂直的問題時，通常經(jīng)過此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直．特別提醒：應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時，恰當(dāng)利用平面幾何知識，在其中一個平面內(nèi)尋找交線的垂線是關(guān)鍵．面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用

如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．△PAD為正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD．若G為AD邊的中點，求證：平面PBG⊥平面PAD．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∵G為AD邊的中點，∴BG⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，∴BG⊥平面PAD．∵BG?平面PBG，∴平面PBG⊥平面PAD．【借題發(fā)揮】證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，再一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理．本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理．利用面面垂直的性質(zhì)定理，其中證明線面垂直時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直；(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線．2．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上異于A、B的任意一點，PA⊥平面ABC，AF⊥PC于F．求證：AF⊥平面PBC．證明：∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC．∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．∵平面PAC∩平面PBC＝PC，且AF?平面PAC，AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC．在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用

(12分)已知α、β、γ是三個不同平面，l為直線，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．求證：l⊥γ．【規(guī)范解答】(方法一)設(shè)α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ內(nèi)任取一點P，過P在γ內(nèi)作直線m⊥a，n⊥b，如圖． 3分∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β． 6分又∵α∩β＝l，∴m⊥l，n⊥l． 9分∴l(xiāng)⊥γ． 12分

(方法二)如圖，α∩γ＝a，β∩γ＝b，在α內(nèi)作m⊥a，在β內(nèi)作n⊥b． 3分∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n． 6分又∵n?β，m?β，∴m∥β．9分又α∩β＝l，m?α，∴m∥l，∴l(xiāng)⊥γ． 12分(方法三)在l上任取一點P，α∩γ＝a，β∩γ＝b，在α內(nèi)作PQ⊥a于Q，在β內(nèi)作PM⊥b于M．3分∵α⊥γ，β⊥γ，∴PQ⊥γ，PM⊥γ． 6分由過一點有且只有一條直線與平面垂直，∴PQ與PM重合． 9分又PQ?α，PM?β，∴PQ、PM就是直線l．∴l(xiāng)⊥γ． 12分【題后總結(jié)】在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直．3．如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥AB．證明：如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC．又BC?平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB?平面PAB，∴BC⊥AB．誤區(qū)：誤把結(jié)論當(dāng)題設(shè)【典例】

如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1(底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面)中，D是側(cè)棱BB1的中點，求證：平面ADC1⊥平面A1ACC1．【錯誤解答】∵D是棱BB1的中點，∴BD＝B1D．又∵三棱柱ABC－A1B1C1為正三棱柱，∴AB＝B1C1，∠ABD＝∠C1B1D，∴△ABD≌△C1B1D．∴AD＝C1D．取AC1中點E，連接DE，則DE⊥AC1．而AC1是平面ADC1與平面A1ACC1的交線，∴平面ADC1⊥平面A1ACC1．又∵三棱柱ABC－A1B1C1為正三棱柱，∴△A1B1C1為正三角形．∴B1F⊥A1C1．又平面A1B1