2011高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(同名3885)

高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話(huà)、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話(huà)）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：同濟(jì)大學(xué)參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.馮建設(shè)2.趙云波3.劉雄飛指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：日期：2011年9月11日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2011高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專(zhuān)用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）一問(wèn)題重述隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類(lèi)活動(dòng)對(duì)城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對(duì)城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開(kāi)展城市環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)，研究人類(lèi)活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類(lèi)區(qū)、2類(lèi)區(qū)、……、5類(lèi)區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類(lèi)活動(dòng)影響的程度不同?，F(xiàn)對(duì)某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)表層土（0~10厘米深度）進(jìn)行取樣、編號(hào)，并用GPS記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專(zhuān)門(mén)儀器測(cè)試分析，獲得了每個(gè)樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。附件1列出了采樣點(diǎn)的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點(diǎn)處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值?，F(xiàn)要求通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)完成以下任務(wù)：(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。(2)通過(guò)數(shù)據(jù)分析，說(shuō)明重金屬污染的主要原因。(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點(diǎn)，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問(wèn)題？二、問(wèn)題分析本題中，城市表層土壤金屬污染分析需要綜合不同區(qū)域，不同金屬的綜合影響，根據(jù)隨機(jī)的數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)，考慮通過(guò)統(tǒng)計(jì)與插值的分析方法進(jìn)行處理。對(duì)于問(wèn)題一，需要給出8種主要重金屬的空間分布，并分析城區(qū)不同區(qū)域的污染程度。由于采樣數(shù)據(jù)給出的采樣點(diǎn)相對(duì)來(lái)說(shuō)空間位置比較散亂，首先可以考慮對(duì)此進(jìn)行網(wǎng)格化的數(shù)據(jù)處理，然后通過(guò)Kriging方法進(jìn)行空間散亂點(diǎn)的插值處理。Kriging是一種距離加權(quán)的插值方法，從地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中借鑒而來(lái),在空間數(shù)據(jù)場(chǎng)滿(mǎn)足給定的統(tǒng)計(jì)分布特征的前提假設(shè)下進(jìn)行插值。通過(guò)對(duì)函數(shù)的插值結(jié)果的觀察，與原始采樣數(shù)據(jù)的空間分布相比較，進(jìn)一步的確定該方法可以獲得的插值效果是否有效。對(duì)城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬污染程度的綜合評(píng)價(jià)，要對(duì)各重金屬評(píng)價(jià)指標(biāo)分別加權(quán)。權(quán)重是衡量因子集中某一因子對(duì)土壤污染程度影響相對(duì)大小的量,權(quán)重系數(shù)越大,則該因子對(duì)土壤的影響程度越大，考慮利用熵權(quán)法來(lái)確定各重金屬評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，在信息論中信息熵表示系統(tǒng)的有序程度，一個(gè)系統(tǒng)的有序程度越高，則信息熵越大，反之，一個(gè)系統(tǒng)的無(wú)序程度越高，則信息熵越小。所以，可以根據(jù)各項(xiàng)指標(biāo)的指標(biāo)值的差異程度，利用信息熵的這個(gè)工具計(jì)算出各指標(biāo)的權(quán)重。然后由綜合權(quán)重進(jìn)行線(xiàn)性加和，可以得到各個(gè)區(qū)域的綜合評(píng)定指標(biāo)，同時(shí)根據(jù)金屬含量背景值進(jìn)行等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的劃分，從而確定不同區(qū)域的污染程度。對(duì)于問(wèn)題二，可以結(jié)合問(wèn)題一中得到的模型，同時(shí)對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析，根據(jù)各區(qū)域的污染程度的不同，可以感性的得到重金屬污染的主要原因必定和污染最嚴(yán)重的區(qū)域有直接關(guān)系。對(duì)于問(wèn)題三，需要建立重金屬污染的傳播特征模型，并確定污染源的位置。可以考慮根據(jù)擴(kuò)散定律建立模型，首先借鑒一維擴(kuò)散方程建立模型，但是這樣的話(huà)在數(shù)據(jù)處理上必須首先根據(jù)采樣點(diǎn)濃度特征大致確定污染源的位置，然后建立方程，根據(jù)采樣數(shù)據(jù)提取信息求解，由于采樣點(diǎn)較多，本問(wèn)題的處理可能會(huì)遺漏部分有用信息。如果與實(shí)際偏差較大，可以進(jìn)一步尋求其他解決方法。對(duì)于問(wèn)題四，可以基于問(wèn)題一二三得到的模型進(jìn)行綜合考慮，從數(shù)據(jù)的處理方式，以及地質(zhì)演變過(guò)程中時(shí)間變量的影響等因素入手，尋求更好的建立模型的方式。三模型假設(shè)金屬污染濃度場(chǎng)按穩(wěn)定場(chǎng)處理，即各坐標(biāo)點(diǎn)濃度不隨時(shí)間變化。假設(shè)各區(qū)域的土壤特性相同。重力對(duì)金屬污染的影響忽略。四變量與符號(hào)說(shuō)明變量符號(hào)符號(hào)說(shuō)明Xi取樣點(diǎn)橫坐標(biāo)yi取樣點(diǎn)縱坐標(biāo)y(x點(diǎn)x處半差函數(shù)yyλ各點(diǎn)對(duì)應(yīng)權(quán)重系數(shù)C估計(jì)值點(diǎn)與i點(diǎn)之間的變差函數(shù)值Ci點(diǎn)與j點(diǎn)之間的變差函數(shù)值X某金屬濃度值矩陣X某金屬濃度值歸一化矩陣P第i個(gè)因素下第j個(gè)評(píng)價(jià)值的比重第個(gè)因素的熵值W各金屬權(quán)重矩陣dj第j區(qū)的加權(quán)綜合濃度指標(biāo)五模型建立與求解模型需要給出8種主要重金屬的空間分布，并分析城區(qū)不同區(qū)域的污染程度。由于采樣數(shù)據(jù)給出的采樣點(diǎn)相對(duì)來(lái)說(shuō)空間位置比較散亂，首先可以考慮對(duì)此進(jìn)行網(wǎng)格化的數(shù)據(jù)處理，然后通過(guò)Kriging方法進(jìn)行空間散亂點(diǎn)的插值處理。Kriging是一種距離加權(quán)的插值方法，從地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中借鑒而來(lái),在空間數(shù)據(jù)場(chǎng)滿(mǎn)足給定的統(tǒng)計(jì)分布特征的前提假設(shè)下進(jìn)行插值。利用Kriging方法對(duì)各濃度散亂點(diǎn)進(jìn)行插值處理，建立起濃度分布的空間曲面（曲面的高度值即用來(lái)表征重金屬濃度值），具體介紹如下：Kriging方法就是對(duì)空間數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)插值的權(quán)值設(shè)計(jì)方法。Kriging方法通過(guò)引進(jìn)以距離為自變量的變差函數(shù)來(lái)計(jì)算權(quán)值。由于變差函數(shù)既可以反映變量的空間結(jié)構(gòu)特性，又可以反應(yīng)變量的隨機(jī)分布特性，所以利用Kriging方法進(jìn)行空間數(shù)據(jù)插值往往可以取得理想的效果。另外，通過(guò)設(shè)計(jì)變差函數(shù)，Kriging方法很容易實(shí)現(xiàn)局部加權(quán)插值，這樣就克服了一般距離加權(quán)插值方法插值結(jié)果的不穩(wěn)定性。1隨機(jī)場(chǎng)和區(qū)域化變量首先，重金屬的濃度數(shù)據(jù)場(chǎng)可表示為分布于空間的單值函數(shù)S=f(x，y，z)，由題意知S為標(biāo)量，則數(shù)據(jù)場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法來(lái)研究該數(shù)據(jù)場(chǎng)，首先將f看成隨機(jī)函數(shù)，記為Z，依賴(lài)于多個(gè)自變量的隨機(jī)函數(shù)，稱(chēng)為隨機(jī)場(chǎng)。以空間點(diǎn)x的直角坐標(biāo)為自變量的隨機(jī)場(chǎng)稱(chēng)為一個(gè)區(qū)域化變量。區(qū)域化變量在觀測(cè)前，可以看作是隨機(jī)場(chǎng)；觀測(cè)后就得到隨機(jī)場(chǎng)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)(一般都記作Z(x)，寫(xiě)法上不加區(qū)別)。濃度區(qū)域化變量同時(shí)反映地質(zhì)變量的結(jié)構(gòu)性和隨機(jī)性特征。從地質(zhì)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，區(qū)域化變量可反映地質(zhì)變量的以下特征：局部性、連續(xù)性、異向性、可遷性。2變差函數(shù)的構(gòu)造假設(shè)空間點(diǎn)x只在一維x軸上變化，我們把區(qū)域化變量Z(x)在x和x+h(h為與x具有相同維數(shù)的距離向量)2個(gè)點(diǎn)處的值之差的方差之半定義為Z(x)在x方向上的變差函數(shù)，記為y(x，h)，即y(x進(jìn)一步的，由于點(diǎn)x和h是在二維(或三維)空間中變化的，所以要考慮二維(或三維)變差函數(shù)。但它們都是以一維變差函數(shù)為基礎(chǔ)的，只不過(guò)要考慮各向同性或各向異性，還要考慮結(jié)構(gòu)的套合。這里暫時(shí)先以各向同性進(jìn)行數(shù)據(jù)分析處理。3平穩(wěn)性假設(shè)和本征假設(shè)當(dāng)區(qū)域化變量Z(x)滿(mǎn)足下列條件時(shí)，則稱(chēng)Z(x)滿(mǎn)足二階平穩(wěn)(或弱平穩(wěn))。(1)在整個(gè)研究區(qū)域內(nèi)，區(qū)域化變量Z(x)的數(shù)學(xué)期望存在，且等于常數(shù)，即E[Z(x)]=m(常數(shù))，Px；(2)在整個(gè)研究區(qū)域內(nèi)，區(qū)域化變量Z(x)的協(xié)方差函數(shù)存在且相同(即只依賴(lài)于滯后h，而與x無(wú)關(guān))，即Cov{Z(x)在實(shí)際工作中經(jīng)常連二階平穩(wěn)假設(shè)也不能滿(mǎn)足，故提出本征假設(shè)。當(dāng)區(qū)域化變量Z(x)的增量[Z(x)-Z(x+h)]滿(mǎn)足下列條件時(shí)，則稱(chēng)Z(x)滿(mǎn)足本征假設(shè)，或說(shuō)Z(x)是本征的。(1)在整個(gè)研究區(qū)域內(nèi)有，區(qū)域化變量Z(x)的數(shù)學(xué)期望存在，且等于常數(shù)，即E[Z(x)-Z(x+h)]=0，Px，Ph；(2)在整個(gè)研究區(qū)域內(nèi)，增量[Z(x)-Z(x+h)]的方差函數(shù)存在且平穩(wěn)(不依賴(lài)于x)，即Var[Z(x)-Z(x+h)]==2y4實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)就是根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)造變差函數(shù)y(h)的估計(jì)值y*h。有了二階平穩(wěn)假設(shè)或本征假設(shè)，重金屬濃度區(qū)域化變量Z(x)的增量[Z(x)-Z(x+h)]只依賴(lài)于分隔它們的h，而不依賴(lài)于具體位置x。這樣，被向量h分割的每一個(gè)數(shù)據(jù)對(duì){Z(xi),Z(xi+h)}（i=1，2，?，N(h)）可以看成是{Z(x),Z(x+h)}一次不同的實(shí)現(xiàn)（N(h)是被向量h相隔的數(shù)據(jù)對(duì)的個(gè)數(shù)）。這樣便可以用求所有這些觀測(cè)值的算術(shù)平均的方法來(lái)計(jì)算yy這就是實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)的基本計(jì)算公式。5變差函數(shù)的理論模型為了對(duì)區(qū)域化變量的未知值作出估計(jì)，需要將實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)擬合成相應(yīng)的理論變差函模型，這些模型將直接參與Kriging方法計(jì)算。變差函數(shù)模型可以分為有基臺(tái)值和無(wú)基臺(tái)值兩大類(lèi)，這里利用常用的有基臺(tái)值模型進(jìn)行計(jì)算。3種常用的有基臺(tái)值模型如下：(1)球狀模型(亦稱(chēng)馬特隆模型，在原點(diǎn)處為線(xiàn)性型)。球狀模型的幾何解釋?zhuān)且驗(yàn)樗鹪从?個(gè)半徑為a且球心距為2h的球體重疊部分的體積計(jì)算公式。它的一般的表示為y其中，C0為塊金常數(shù)，C0+C為基臺(tái)值，C為拱高，a當(dāng)C0=0，C=1時(shí)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)球狀模型。其中，C0為塊金常數(shù)，C0+C為基臺(tái)值，C為拱高(2)指數(shù)函數(shù)模型(在原點(diǎn)處為線(xiàn)性型)。它的一般公式為y(h)=此處a不是變程。因?yàn)楫?dāng)h=3a時(shí)，有1-e-3≈0.95≈1。所以y(h)≈C0+C，故其變程為3a。當(dāng)C0=0，C=1(3)高斯模型(在原點(diǎn)處為拋物線(xiàn)型)。它的一般公式為y(h)=此處a亦不是變程。因?yàn)楫?dāng)h=3a時(shí)，有1-e-3≈0.95≈1，所以y(h)≈C0+C，故其變程為3a。當(dāng)C0=0，C=16Kriging方法插值設(shè)Z(x)是點(diǎn)x承載的區(qū)域化變量，且是二階平穩(wěn)(或本征)的。Zi(i=1，2，?，n)是一組離散的信息樣品數(shù)據(jù)，即重金屬濃度，它們是定義在點(diǎn)承載xi(i=1，2，?，n)上的?，F(xiàn)要對(duì)點(diǎn)x0承載處的區(qū)域化變量進(jìn)行估計(jì)，所用的估計(jì)量為Z0*=i=1nλiZi，它是n個(gè)數(shù)值的加權(quán)線(xiàn)性組合。Kriging方法的原則(1)無(wú)偏性條件若要使Z0*為Z0的無(wú)偏估計(jì)量，即要求E[Z0*-(2)Kriging方程組區(qū)域化變量在滿(mǎn)足二階平穩(wěn)的條件下推導(dǎo)，可以得到估計(jì)方差的計(jì)算公式σ估計(jì)方差σE2對(duì)λ?σ在無(wú)偏性條件下，為了使估計(jì)方差最小，這是個(gè)求條件極值的問(wèn)題，要用到拉格朗日乘子法。令F=這里F是n個(gè)權(quán)系數(shù)λi和μ的(n+1)元函數(shù)，求出F對(duì)λi(i=1，2，?，n)和μ的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，便得到下列?F整理得j=1如果區(qū)域化變量只滿(mǎn)足本征假設(shè)，而不滿(mǎn)足二階平穩(wěn)假設(shè)，則利用協(xié)方差函數(shù)和變差函數(shù)的關(guān)系C(h)=C(0)-y(h)，可得用變差函數(shù)表示的Kriging方程組j=1這里，yi，j=y(xi，xj)=y(xi-xj)。具體算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程通過(guò)數(shù)學(xué)軟件matlab編程實(shí)現(xiàn)，（matlab代碼見(jiàn)附件）。(3)kriging模型的具體實(shí)現(xiàn)隨機(jī)取100個(gè)觀測(cè)點(diǎn)作為原始數(shù)據(jù)，其分布如下圖所示：值得指出的是，在初步的數(shù)據(jù)處理中，可以發(fā)現(xiàn)該城區(qū)的地形并不是規(guī)則的長(zhǎng)方形，但是為了方便數(shù)據(jù)處理，這里在一個(gè)30*20的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，剛好可以完全涵蓋該城區(qū)，但是這并不影響最終的結(jié)果，因?yàn)榭梢栽俚玫侥Ｐ椭笤賹⒉粚儆诔菂^(qū)的區(qū)域挖去，這在matlab軟件中是容易實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)結(jié)果，作數(shù)據(jù)擬合，選擇適當(dāng)?shù)淖儾詈瘮?shù)模型進(jìn)行插值，確定變差函數(shù)計(jì)算公式。這里有3種常用變差函數(shù)模型:球狀模型、指數(shù)模型和高斯模型。但是這3種模型有3個(gè)關(guān)鍵參數(shù)需要確定，變程a、拱高C和塊金常數(shù)C0。本題中塊金常數(shù)C0=0，拱高C和變程a由實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)圖人工確定。對(duì)于第一種重金屬As，由實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)100個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)值得到的變差函數(shù)，可以計(jì)算得到y(tǒng)*可以求得近似值：C=20和a=3。然后確定變差函數(shù)模型，選定變差函數(shù)模型后，變差函數(shù)的計(jì)算公式可以顯式寫(xiě)出。這樣Kriging方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣都已經(jīng)確定。然后進(jìn)行Kriging插值，也就是求解Kriging方程組，確定加權(quán)系數(shù)，然后進(jìn)行線(xiàn)性加權(quán)，即可得到該模型下的Kriging插值結(jié)果。（具體實(shí)現(xiàn)見(jiàn)附件matlab代碼）經(jīng)畫(huà)圖比較，在本題中高斯變差函數(shù)模型的符合程度較好，建立高斯變差函數(shù)模型之后得到如下圖所示的函數(shù)圖像：1號(hào)金屬As分布原始數(shù)據(jù)結(jié)果1號(hào)金屬As分布kriging插值結(jié)果同樣的方式，對(duì)第二種重金屬Cd濃度做變差處理，值得指出的是，為方便比較，這里不再進(jìn)行隨機(jī)取100個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的工作，而是直接利用在計(jì)算第一種金屬As變差函數(shù)時(shí)候的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上得到變差函數(shù)觀測(cè)數(shù)據(jù)y*由實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)觀測(cè)圖可以近似求得C=126000和a=4。然后確定變差函數(shù)模型，選定變差函數(shù)模型后，變差函數(shù)的計(jì)算公式可以顯式寫(xiě)出。這樣Kriging方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣都已經(jīng)確定。然后進(jìn)行Kriging插值，也就是求解Kriging方程組，確定加權(quán)系數(shù)，然后進(jìn)行線(xiàn)性加權(quán)，即可得到該模型下的Kriging插值結(jié)果。經(jīng)畫(huà)圖比較，在本題中高斯變差函數(shù)模型的符合程度較好，建立高斯變差函數(shù)模型之后得到如下圖所示的圖像：2號(hào)金屬分布原始數(shù)據(jù)2號(hào)金屬kriging插值數(shù)據(jù)相應(yīng)的，利用kriging方法也可以進(jìn)一步得到其六種元素的空間分布模型，作圖如下：7確定各重金屬評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)在綜合評(píng)定該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度時(shí)，還要對(duì)各重金屬評(píng)價(jià)指標(biāo)分別加權(quán)。權(quán)重是衡量因子集中某一因子對(duì)土壤污染程度影響相對(duì)大小的量,權(quán)重系數(shù)越大,則該因子對(duì)土壤的影響程度越大，在這里利用熵權(quán)法來(lái)確定各重金屬評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，具體原理及操作如下：方法優(yōu)點(diǎn)：客觀賦權(quán)法。背景：設(shè)有m個(gè)待評(píng)方案，n項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)，形成原始指標(biāo)數(shù)據(jù)矩陣（這里m=319，n=8），對(duì)于某項(xiàng)指標(biāo)，指標(biāo)值的值越大，則該指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中所起的作用。在信息論中信息熵表示系統(tǒng)的有序程度，一個(gè)系統(tǒng)的有序程度越高，則信息熵越大，反之，一個(gè)系統(tǒng)的無(wú)序程度越高，則信息熵越小。所以，可以根據(jù)各項(xiàng)指標(biāo)的指標(biāo)值的差異程度，利用信息熵的這個(gè)工具計(jì)算出各指標(biāo)的權(quán)重。數(shù)據(jù)處理(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n,)，這里取n=8，m=319。由于參與評(píng)價(jià)的各項(xiàng)指標(biāo)有越大越優(yōu)型、越小越優(yōu)型，故需對(duì)矩陣中的特征值進(jìn)行歸一化處理，方法如下：X據(jù)此得到歸一化矩陣X’:(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n,)這里以越大越優(yōu)型進(jìn)行計(jì)算求解。2.計(jì)算第個(gè)因素下第個(gè)評(píng)價(jià)值的比重3.計(jì)算第個(gè)因素的熵值4.計(jì)算第個(gè)因素的差異系數(shù)對(duì)于給定的越大，因素評(píng)價(jià)值的差異性越小，則因素在綜合評(píng)價(jià)中所起的作用越小。定義差異系數(shù)，則當(dāng)因素越大時(shí)，因素越重要。5.定義權(quán)數(shù)，則就是熵權(quán)法確定的權(quán)重。記As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn的權(quán)重矩陣為W=[w1,w2,w3,w4,w5,w6,w7,w8]’計(jì)算得到：W=[0.0233350.0475360.0651130.1831340.490280.0222410.0445820.123778]’得到各取樣點(diǎn)加權(quán)綜合濃度指標(biāo)D=XW=[d1,d2,…,d319]’；進(jìn)一步得到i類(lèi)區(qū)加權(quán)綜合濃度指標(biāo)，其中，dj為所有屬于i類(lèi)區(qū)的d，ni為其采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。6.得到評(píng)價(jià)結(jié)果得到五個(gè)區(qū)的加權(quán)綜合濃度指標(biāo)如下：區(qū)12345加權(quán)綜合濃度指標(biāo)值0.0021670.0059420.0009530.0040960.001787對(duì)各重金屬濃度背景值及標(biāo)準(zhǔn)差做相同歸一化處理，得到歸一化之后的背景平均值及標(biāo)準(zhǔn)差，然后對(duì)8種金屬歸一化之后的背景平均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行加權(quán)求和，求得和各點(diǎn)加權(quán)綜合濃度指標(biāo)di平均值對(duì)應(yīng)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)應(yīng)指標(biāo)0.0007990.000195在此基礎(chǔ)上得到對(duì)污染程度等級(jí)進(jìn)行分類(lèi)的值如下：設(shè)輕度污染標(biāo)準(zhǔn)=平均值對(duì)應(yīng)指標(biāo)+3*標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)應(yīng)指標(biāo)；中度污染標(biāo)準(zhǔn)=平均值對(duì)應(yīng)指標(biāo)+8*標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)應(yīng)指標(biāo)；重度污染標(biāo)準(zhǔn)=平均值對(duì)應(yīng)指標(biāo)+15*標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)應(yīng)指標(biāo)；即：污染程度無(wú)輕度污染中度污染重度污染得分<0.0013850.001385~0.0023610.002361~0.003727>0.003727故可得到各區(qū)的污染等級(jí)如下表：區(qū)1生活區(qū)2工業(yè)區(qū)3山區(qū)4主干道5公園綠地污染等級(jí)輕度污染重度污染無(wú)污染重度污染輕度污染由題設(shè)條件可知，按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類(lèi)區(qū)、2類(lèi)區(qū)、……、5類(lèi)區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類(lèi)活動(dòng)影響的程度不同，通過(guò)以上的計(jì)算，得出的結(jié)論為：工業(yè)區(qū)與主干道嚴(yán)重污染，生活區(qū)與公園綠地輕度污染，山區(qū)幾乎不受污染，這與實(shí)際情況符合的較好。根據(jù)該金屬元素空間分布模型，可以確定工業(yè)區(qū)污染較為嚴(yán)重，故可以初步確定重金屬污染的主演原因在于工業(yè)區(qū)活動(dòng)對(duì)環(huán)境的影響。得到污染源分布如下：8傳播特征第一問(wèn)中已經(jīng)確定了污染物的濃度場(chǎng)，記為u(x,y)，本例中，按穩(wěn)定場(chǎng)處理。由擴(kuò)散定律，得到擴(kuò)散方程為：其中，F(xiàn)(x,y)為污染源強(qiáng)度，K(x,y)為（x，y）處土壤傳播污染物的特性，f(x,y,u)為耗散強(qiáng)度。建立離散模型：設(shè)污染源為點(diǎn)源F(xi,yj)只有在源(xi,yj)處等于污染物的排放強(qiáng)度，在源處，恒為零。假設(shè)各分區(qū)內(nèi)的土壤特性相同。則在非源處，則各區(qū)的其中，kj為j類(lèi)區(qū)的平均土壤特性，Ki為i采樣點(diǎn)處的土壤特性。因?yàn)槌菂^(qū)內(nèi)土壤特性相同，故f(x,y,u)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為f(u)。取濃度場(chǎng)上的節(jié)點(diǎn)，建立離散方程組，通過(guò)求解方程組，可以分別得到F(x,y)，f(u)的一組數(shù)值，進(jìn)行擬合，得出解析式，將解析式帶回?cái)U(kuò)散方程，即可得出擴(kuò)散規(guī)律。六、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)1模型評(píng)價(jià)1．為了給出8種主要重金屬的空間分布，并分析城區(qū)不同區(qū)域的污染程度。首先對(duì)空間位置比較散亂的采樣點(diǎn)此進(jìn)行網(wǎng)格化的數(shù)據(jù)處理，然后通過(guò)Kriging方法進(jìn)行空間散亂點(diǎn)的插值處理，在空間數(shù)據(jù)場(chǎng)滿(mǎn)足給定的統(tǒng)計(jì)分布特征的前提假設(shè)下進(jìn)行插值。在求得相關(guān)參數(shù)后建立顯示的高斯模型，通過(guò)對(duì)函數(shù)的插值結(jié)果的觀察，與原始采樣數(shù)據(jù)的空間分布相比較，可以發(fā)現(xiàn)二者具有較好的吻合度，結(jié)果令人滿(mǎn)意。2.對(duì)城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬污染程度的綜合評(píng)價(jià)，要對(duì)各重金屬評(píng)價(jià)指標(biāo)分別加權(quán)。利用熵權(quán)法來(lái)確定各重金屬評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，熵權(quán)法的實(shí)際意義在這里體現(xiàn)得尤為明顯，根據(jù)熵權(quán)法得到的相關(guān)系數(shù)均為正值，這一點(diǎn)也驗(yàn)證了熵權(quán)法在尋找個(gè)金屬污染物權(quán)重時(shí)的正確性，然后由綜合權(quán)重進(jìn)行線(xiàn)性加和，得到各個(gè)區(qū)域的綜合評(píng)定指標(biāo)，同時(shí)根據(jù)金屬含量背景值進(jìn)行等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的劃分，從而確定不同區(qū)域的污染程度，結(jié)果與實(shí)際完全符合，說(shuō)明熵權(quán)法的運(yùn)用是正確的，從而便于找到重金屬污染的主要原因。2改進(jìn)方向1.在建立重金屬污染的傳播特征模型，先假設(shè)了污染源的位置，然后考慮根據(jù)擴(kuò)散定律建立模型，根據(jù)一維擴(kuò)散方程建立模型，但是這樣的話(huà)在數(shù)據(jù)處理上必須首先根據(jù)采樣點(diǎn)濃度特征大致確定污染源的位置，然后建立方程，根據(jù)采樣數(shù)據(jù)提取信息求解，由于采樣點(diǎn)較多，本問(wèn)題的處理可能會(huì)遺漏部分有用信息。如果與實(shí)際偏差較大，沒(méi)有得到有效結(jié)果，可以進(jìn)一步尋求其他解決方法。2.對(duì)于問(wèn)題四，可以基于問(wèn)題一二三得到的模型進(jìn)行綜合考慮，從數(shù)據(jù)的處理方式，以及地質(zhì)演變過(guò)程中時(shí)間變量的影響等因素入手，尋求更好的建立模型的方式。若引入時(shí)間變量，將擴(kuò)散模型修改為：如此一來(lái)，還需要知道濃度的時(shí)間變化率，即不同時(shí)刻采樣點(diǎn)的濃度數(shù)值。然后要考慮二維(或三維)變差函數(shù)。但它們都是以一維函數(shù)為基礎(chǔ)的，只不過(guò)要考慮各向同性或各向異性，以及結(jié)構(gòu)的套合?；蛘呖梢赃M(jìn)一步的加強(qiáng)考慮海拔Z的影響，得到四元的方程模型，然后建立求解。參考文獻(xiàn)[1]周曉云,朱心雄.散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)三角剖分方法綜述[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào),1993,(01).[2]王靖波,潘懋,張緒定.基于Kriging方法的空間散亂點(diǎn)插值[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),1999,(06).[3]喬家君.改進(jìn)的熵值法在河南省可持續(xù)發(fā)展能力評(píng)估中的應(yīng)用[J].資源科學(xué),2004,(01).附件附件一重金屬空間分布模型的建立與求解的matlab實(shí)現(xiàn)注：為減少篇幅，此處代碼僅僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)第一種金屬元素含量的空間分布的求解，其余個(gè)元素的求解方式類(lèi)似可以得到。%坐標(biāo)網(wǎng)格化%zuobiao為采樣點(diǎn)坐標(biāo)矩陣%xx將坐標(biāo)單位化為公里x=zuobiao(:,1)';y=zuobiao(:,2)';z=zuobiao(:,3)';xx=x/1000;yy=y/1000;[X,Y]=meshgrid(0:0.5:29,0:0.5:19);Z=griddata(xx,yy,z,X,Y,'v4');surf(X,Y,Z);shadinginterp%金屬濃度數(shù)據(jù)網(wǎng)格化jinshu_1=jinshu(:,1)';J_1=griddata(xx,yy,jinshu_1,X,Y,'v4');jinshu_2=jinshu(:,2)';J_2=griddata(xx,yy,jinshu_2,X,Y,'v4');jinshu_3=jinshu(:,3)';J_3=griddata(xx,yy,jinshu_3,X,Y,'v4');jinshu_4=jinshu(:,4)';J_4=griddata(xx,yy,jinshu_4,X,Y,'v4');jinshu_5=jinshu(:,5)';J_5=griddata(xx,yy,jinshu_5,X,Y,'v4');jinshu_6=jinshu(:,6)';J_6=griddata(xx,yy,jinshu_6,X,Y,'v4');jinshu_7=jinshu(:,7)';J_7=griddata(xx,yy,jinshu_7,X,Y,'v4');jinshu_8=jinshu(:,8)';J_8=griddata(xx,yy,jinshu_8,X,Y,'v4');%注：產(chǎn)生100個(gè)隨機(jī)坐標(biāo)的代碼只在對(duì)第一號(hào)金屬進(jìn)行變差函數(shù)觀測(cè)的時(shí)候運(yùn)行，在對(duì)其%他金屬進(jìn)行變差函數(shù)觀測(cè)求解的時(shí)候只需利用當(dāng)前的100個(gè)觀測(cè)點(diǎn)即可，該代碼不再運(yùn)行%產(chǎn)生100個(gè)隨機(jī)坐標(biāo)%s_suiji即為隨機(jī)觀測(cè)點(diǎn)得坐標(biāo)%fori=1:100%x_suiji(i,1:2)=[ceil(rand*30),ceil(rand*20)];%end%求變差函數(shù)的原始數(shù)據(jù)%bianchahanshu為變差函數(shù)矩陣bianchahanshu=[0,0];forj=1:100fork=1:100bianchahanshu=[bianchahanshu;...[sqrt((x_suiji(j,1)-x_suiji(k,1)).^2+(x_suiji(j,2)-x_suiji(k,2)).^2),...(J_1(x_suiji(j,2),x_suiji(j,1))-J_1(x_suiji(k,2),x_suiji(k,1))).^2]];endend%對(duì)變差函數(shù)矩陣進(jìn)行處理，得到最終的變差函數(shù)矩陣form=1:600flag=find(bianchahanshu(:,1)==bianchahanshu(m,1));bianchahanshu(m,:)=sum(bianchahanshu(flag(:,1),:))/sum(flag==flag);bianchahanshu(flag(2:end,1),:)=[];mendbianchahanshu(:,2)=bianchahanshu(:,2)/2;%做出變差函數(shù)觀測(cè)點(diǎn)的圖像scatter(bianchahanshu(:,1),bianchahanshu(:,2))%根據(jù)變差函數(shù)，求每一個(gè)估計(jì)點(diǎn)權(quán)系數(shù)的系數(shù)矩陣以及增廣矩陣%C為系數(shù)矩陣%C_plus為增廣矩陣C=zeros(100,100);forp=1:100forq=1:100h=sqrt((x_suiji(p,1)-x_suiji(q,1)).^2+(x_suiji(p,2)-x_suiji(q,2)).^2);C(p,q)=20*(1-exp(-h/3));endendC_plus=zeros(101,101);C_plus(1:100,1:100)=C;C_plus(101,1:100)=1;C_plus(1:100,101)=1;C_plus(101,101)=0;%求解每一個(gè)估計(jì)點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)矩陣，得到空間模型%suij