全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

“卡西歐杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。）1、如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB=8,AD=6。將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE,再將4AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點(diǎn)為F,則4CEF的面積為（ ）A、2 B、4 C、6D、8答：A解：由折疊過程知，DE=AD=6,NDAE=NCEF=45°,所以4CEF是等腰直角三角形，且EC=8—6=2,所以，SZcef=22、若M=3%2—8%y+9y2—4%+6y+13(x,y是實(shí)數(shù))，則M的值一定是( )A、正數(shù)B、負(fù)數(shù) C、零 D、整數(shù)解：因?yàn)镸=3%2—8%y+9y2-4%+6y+13=2(%—2y)2+(%—2)2+(y+3)2三0C1則IB=IA1=2ID,且%—2y,%—2,y+3這三個(gè)數(shù)不能同時(shí)為0,所以MN03、已知點(diǎn)I是銳角三角形C1則IB=IA1=2ID,點(diǎn)I關(guān)于邊BC,CA,AB的對稱點(diǎn)。若點(diǎn)B在AAR1cl的外接圓上，則NABC等于（ ）A、30° B、45° C、60° D、90°答：C解：因?yàn)镮A^IBLICLZr（r為AABC的內(nèi)切圓半徑），所以點(diǎn)I同時(shí)是AA]B1cl的外接圓的圓心，設(shè)IA1與BC的交點(diǎn)為D,所以NIBD=30°,同理，NIBA=30°,于是，NABC=60°則與A最接近的正整數(shù)為（4、設(shè)A=48x(-^-+ +A+—1一則與A最接近的正整數(shù)為（32—442—4 1002—4A、18B、20 C、24D、25答：D解：對于正整數(shù)mn三3 ,有 二＜—一二） ，所以(1+1+A+—)—(i+1+A+—)2 98 56 102n2—44n—(1+1+A+—)—(i+1+A+—)2 98 56 102=12x(1+1+1+1——— — 23499100101102TOC\o"1-5"\h\zcue/1 1 1 1、=25—12x( 1 1 1 )99100101102因?yàn)?2x二+工+71T+工）＜12x士＜1，所以與A最接近的正整數(shù)為25。99100101102 99 25、設(shè)a、b是正整數(shù)，且滿足56Wa+bW59,0.9<-<0.91,則b2—a2等于（ ）bA、171 B、177 C、180 D、182答：B解：由題設(shè)得0.9b+b<59,0.91b+b>56,所以29<b<32。因此b=30,31。當(dāng)b=30時(shí)，由0.9b<a<0.91b,得27<a<28,這樣的正整數(shù)a不存在。當(dāng)b=31時(shí)，由0.9b<a<0.91b,得27<a<29,所以a=28。所以b2—a2=177二、填空題：（共5小題，每小題6分，滿分30分。）6、在一個(gè)圓形時(shí)鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針，（O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心），若現(xiàn)在時(shí)間恰好是12點(diǎn)整，則經(jīng)過 秒鐘后，4OAB的面積第一次達(dá)到最大。答：1515591一一1一一解：設(shè)OA邊上的高為h,則hWOB,所以Sra=-OAxhW-OAxOB△ 2 2當(dāng)OALOB時(shí)，等號(hào)成立。此時(shí)AOAB的面積最大。設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，OA與OB第一次垂直。又因?yàn)槊脶?秒鐘旋轉(zhuǎn)6度，分針1秒鐘旋轉(zhuǎn)0.1度，于是（6—0.1）t=90,解得t=15—5937、在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mxm2（m>0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若A、B41 1 2 兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為OA、OB,且滿足-——-=2,則m的值等于OBOA3答：2解：設(shè)方程x2+mx-m2=0的兩根分別為x,x且x<x，則有TOC\o"1-5"\h\z12 1 23x+x=一m<0,xx=——m2<0\o"CurrentDocument"2 12 4一. .1 12所以有x<0,x>0,由 =-，可知OA>OB,又m>0,所以，拋物線的對稱2OBOA3\o"CurrentDocument"1 1 2.一軸在y軸的左側(cè)，于是OA=|x|=-x,OB=x，所以由一+—=—得m=21 1 2 x1x238、有兩副撲克牌，每副牌的排列順序是：第一張是大王，第二張是小王，然后是黑桃、紅桃、方塊、梅花四種花色排列，每種花色的牌又按A、2、3、…J、Q、K的順序排列。某人把按上述排列的兩副撲克牌上下疊放在一起，然后從上到下把第一張丟掉，把第二張放在最底層，再把第三張丟掉，把第四張放在最底層，……如此下去，直至最后只剩下一張牌，則所剩的這張牌是 答：第二副牌中的方塊6解：根據(jù)題意，如果撲克牌的張數(shù)為2,22,23，…2n,那么依照上述操作方法，只剩下的一張牌就是這些牌的最后一張。例如，手中只有64張牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64張牌。

現(xiàn)在，手中有108張牌，多出108—64=44（張），如果依照上述操作方法，先丟掉44張牌，那么此時(shí)手中恰好有64張牌，而原來順序的第88張牌恰好放在手中牌的最底層。這樣，再繼續(xù)進(jìn)行丟、留的操作，最后剩下的就是原來順序的第88張牌。按照兩副撲克牌的花色排歹U順序，88—54—2—26=6,所剩下的最后一張牌是第二副牌中的方塊6。9、已知D、E分別是4ABC的邊BC、CA上的點(diǎn)，且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。連結(jié)AD和BE,它們相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作PQ〃CA,PR〃CB,它們分別與邊AB交于點(diǎn)Q、R,則4PQR的面積與4ABC的面積之比為。答：4001089解：過點(diǎn)E作EF〃AD,且交邊BC于點(diǎn)F,答：4001089解：過點(diǎn)E作EF〃AD,且交邊BC于點(diǎn)F,CFCE2c則==—所以FDFDEA5又因?yàn)镻Q〃CA5+2PQ_BP_BD所以 = = EABEBF74二!72833，于是PQ=詈由△QPRMACB,S故3QRACAB,20、2=(—)2334001089若若%12+%2+A+%4。的最%40都是正整數(shù),且%1+%2+A+%40=58，大值為A,最小值為B,則A+B的值等于答：494解：因?yàn)榘?8寫成40個(gè)正整數(shù)的和的寫法只有有限種,故%：+%2+A+%：0的最小值和最大值是存在的。不妨設(shè)%1W %2 <-< %40，若%產(chǎn)1，則%1+ %2 = (%1 -1)+ (%2 +1)，且(%1-1)2+(%2+1"=%1"%/2(%2TOC\o"1-5"\h\z所以當(dāng)%>1時(shí)，可以把%逐步調(diào)整到1,這時(shí)，%2+%2+A+%2將增大；同樣地，可以1 1 1 2 40把%,%，…%逐步調(diào)整到1,這時(shí)%2+%2+A+%2將增大。于是，當(dāng)%,%，…%2 3 39 1 2 40 1 2 39均為1,%=19時(shí)，%2+%2+A+%2取得最大值，即40 1 2 40A=12+12+A+12+192=400。39個(gè)若存在兩個(gè)數(shù)％.,%,，使得%j—%,三2(1Wi<jW40),則(%+1)2+(%—1)2=%2+%2—2(%—%—1)<%2+%2. j .j j. .j

這說明在％1,%2，…，％40中，如果有兩個(gè)數(shù)的差大于1,則把較小的數(shù)加1,較大的數(shù)減1,TOC\o"1-5"\h\z這時(shí)，％2+%2+A+%2將減小。1 2 40所以，當(dāng)%2+%2+A+%2取到最小時(shí)，％,%，…，％中任意兩個(gè)數(shù)的差都不大于1。于1 2 40 1 2 40是，當(dāng)%=%=A=%=1，%=%=A=%=2時(shí)，%2+%2+A+%2取得最小值，即1 2 22 23 24 40 1 2 40B=12+12+A+12+22+22+A+22=94,故A+B=494' v 1 ' y '22個(gè) 18個(gè)三、解答題(共4題，每小題15分，滿分60分)11、某校舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，由若干個(gè)同學(xué)組成一個(gè)8列的長方形隊(duì)列。如果原隊(duì)列中增加120人，就能組成一個(gè)正方形隊(duì)列；如果原隊(duì)列中減少120人，也能組成一個(gè)正方形隊(duì)列。問原長方形隊(duì)列有同學(xué)多少人？解：設(shè)原長方形隊(duì)列有同學(xué)8x人，由已知條件知8x+120和8x-120均為守全平方數(shù)。于是可設(shè)8%+120=m2是可設(shè)8%-120=n2其中m、n均為正整數(shù)，且m>n。①一②得m2-n2=240即(m+n)(m-n)=240=24x3x5由①、②可知，m2、n2都是8的倍數(shù)，所以m、n均能被4整除。于是m+n,m-n均能被4整除。所以m被4整除。所以m+n=60m一n=4m+n=20或im-n=12解得：m=32_m=16《一或《 .n=28 [n=4所以，8%=m2-120=322-120=904或8%=m2-120=162-120=136 。故原長方形隊(duì)列有同學(xué)136人或904人。12、已知p,q都是質(zhì)數(shù)，且使得關(guān)于x的二次方程%2-(8p-10q)%+5pq=0至少有一個(gè)正整數(shù)根，求所有的質(zhì)數(shù)對(p,q)。解：由方程兩根的和為8p-10q可知，若方程有一個(gè)根為整數(shù)，則另一個(gè)根也是整數(shù)。由方程兩根的積為5pq,知方程的另一個(gè)根也是正整數(shù)。設(shè)方程的兩個(gè)正整數(shù)根分別為%1,%2(%1W%2),由根與系數(shù)的關(guān)系得%1+%2=8p-10q ①%1%2=5pq ②由②得，%1,%2有如下幾種可能的情況：

%=1,5,p,q,5p,5q、x2=5pq,pq,5q,5p,q,p所以x1+x2=5pq+1,pq+5,p+5q,q+5p,代入①當(dāng)x1+x2=5pq+1時(shí)，5pq+1=8p—10q,而5pq+1>10p>8p—10q,故此時(shí)無解。當(dāng)x1+x2=pq+5時(shí)，pq+5=8p—10q,所以(p+10)(q—8)=—85q-8=-5.-1因?yàn)閜、q都是質(zhì)數(shù),只可能'p+10=17覆 所以…「⑺3）當(dāng)x1+x2=p+5q時(shí),p+5q=8p—10q,所以7P=15q不可能。當(dāng)x1+x2=5p+q時(shí)，5p+q=8p—10q,所以3P口孫于是(pq)/11，3)綜上所述，滿足條件的質(zhì)數(shù)對（p,q）=（7,3）或（11,3）13、如圖，分別以AABC（AABC為銳角三角形）的邊AB,BC,CA為斜邊向外作等腰直角三角形DAB,EBC,FAC。求證：（1直角三角形DAB,EBC,FAC。求證：（1）AE=DF；證明：（1）延長BD至點(diǎn)P,使DP=BD,連結(jié)AP、因?yàn)锳DAB是等腰直角三角形，(2)AEXDFoCP。所以NADB=90°,AD=BDAB2BD—2在等腰直角三角形EBC中，ZBEC=90,BE=CEBEBC2ABBE所以——=——BPBC因?yàn)镹PBC=NPBA+NABC=45°+NABC,ZABE=ZCBE+ZABC=45°+ZABC所以NPBC=NABE。于是AABEsAPBC,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"AEABv2 2——= =——即AE=——PCo\o"CurrentDocument"PCBP2 2\o"CurrentDocument"AFADv2 一同理，在AADF和AAPC中，有一=——=一,ZDAF=ZPAC=45°+ZDACACAP2所以AADFsAAPC\o"CurrentDocument"DFAD22 2= =——即DF=——PCo 所以，AE=DFo\o"CurrentDocument"PCAP2 2(2)因?yàn)锳ADFsAAPC,所以NADF=NAPC,又由AABEsAPBC,^ZBAE=ZCPB,于是NDAE+NADF=45°+NBAE+NADF=45°+NCPB+NAPC=90°所以，AE^DF。14、從1,2,…，205共205個(gè)正整數(shù)中，最多能取出多少個(gè)數(shù)，使得對于取出來的數(shù)中的任意三個(gè)數(shù)a，b，c(a<b<c),都有abWc。解：首先，1,1