內蒙古赤峰市松山區(qū)高三第三次統(tǒng)一模擬考試數學（理）試題

2022屆內蒙古赤峰市松山區(qū)高三第三次統(tǒng)一模擬考試數學（理）試題一、單選題1．已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據真子集的定義進行求解即可.【詳解】因為集合的所有非空真子集為：，所以有，故選：D2．若復數z滿足，則（

）A．B．是純虛數C．復數z在復平面內對應的點在第三象限D．若復數z在復平面內對應的點在角α的終邊上，則【答案】D【分析】求出后，對選項逐一判斷【詳解】，則，對于A，，故A錯誤，對于B，，不是純虛數，故B錯誤，對于C，復數z在復平面內對應的點在第一象限，故C錯誤，對于D，點在角α的終邊上，則，故D正確故選：D3．下列函數中，既是奇函數又在定義域內遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次判斷每個函數的單調性和奇偶性得到答案.【詳解】B中函數非奇非偶，D中函數是偶函數，C中函數是奇函數，但不在定義域內遞增，只有A中函數符合題意：，，奇函數.恒成立，故函數單調遞增.故選：.【點睛】本題考查了函數的單調性和奇偶性，意在考查學生對于函數性質的靈活運用.4．若x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案．【詳解】解：作出不等式組表示的可行域如圖，由，解得，即，由，得，數形結合可得直線經過點時，取得最小值，且最小值為．故選：A．5．直線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先由傾斜角和斜率的關系得到，再利用誘導公式和同角三角函數基本關系將原式變形為，代入計算即可.【詳解】解：由已知得，則.故選：D.【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系及誘導公式，是基礎題.6．我國南宋著名數學家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式，設的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，“三斜求積”公式表示為.在中，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據若，，得到ac和，代入求解即可.【詳解】解：因為，所以，即，又，所以，所以，故選：C7．甲、乙兩名學生的六次數學測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學成績的中位數大于乙同學成績的中位數；②甲同學的平均分比乙同學的平均分高；③甲同學的平均分比乙同學的平均分低；④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.以上說法正確的是（

）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④【答案】A【解析】由莖葉圖中數據可求得中位數和平均數,即可判斷①②③,再根據數據集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學成績的中位數為,乙同學成績的中位數為,故①錯誤；,,則,故②錯誤,③正確；顯然甲同學的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數據特征,考查由莖葉圖求中位數、平均數.8．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出雙曲線方程，通過做標準品和雙曲線與圓O的交點將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設雙曲線的方程為，則，因為AB＝BC＝CD，所以，所以，因為坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D9．下列函數中，最小值為9的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】A選項化簡后得到最小值大于9，排除；B選項先通過平方關系進行化簡，再通過基本不等式即可求得最小值；C、D選項取特殊值代入排除即可.【詳解】對于A，，錯誤；對于B，，當且僅當，即時取等，正確；對于C，當時，，錯誤；對于D，當時，，錯誤.故選：B.10．橢圓的左右焦點分別為，，O為坐標原點，給出以下四個命題：①過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的周長為8；②橢圓C上存在點P，使得；③橢圓C的離心率為；④P為橢圓一點，Q為圓上一點，則點P，Q的最大距離為3.則以下選項正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①由的周長為4a求解判斷；②根據以原點為圓心以c為半徑的圓交y軸于短軸頂點的外部判斷；③根據橢圓方程判斷；④設，求得點P到圓心（0，0）的距離判斷.【詳解】由橢圓得，①過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的周長為，故正確；②因為，所以以原點為圓心以c為半徑的圓交y軸于短軸頂點的外部，所以存在點P，使得，即使得，故正確；③橢圓C的離心率為，故錯誤；④因為P為橢圓一點，設，則點P到圓心（0，0）的距離為，則其最大值為2，所以，故正確；故選：C11．已知函數，若，則有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】確定函數的單調性，再根據對數函數、指數函數性質比較的大小后可得結論．【詳解】是增函數，是減函數，因此在是增函數，且此時．在時是增函數，所以在定義域內是增函數．，，，即，所以．故選：A．12．若干個正方體形狀的積木按下圖所示擺成塔型：上方正方體中下底面的四個頂點是下面相鄰正方體中上底面各邊的中點，最下面的正方體的棱長為1，平放于桌面上，如果所有正方體能直接看到的表面積超過8.8，則正方體的個數至少是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由題設知從下到上正方體棱長是公比為的等比數列，則寫出棱長通項公式，再求各正方體的表面積，應用等比數列前n項和公式求和，列不等式求n的最小值即可.【詳解】解：由題設，從下到上正方體棱長是公比為的等比數列，又最下面棱長，所以，則，…，，，所以所以，即，可得，又，故正方體至少是6個.故選：B二、填空題13．鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同.從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為___________.（用分數作答）【答案】【分析】直接分2個芝麻餡，1個花生餡，1個豆沙餡；1個芝麻餡，2個花生餡，1個豆沙餡以及1個芝麻餡，1個花生餡，2個豆沙餡依次計算即可.【詳解】每種湯圓都至少取到1個的包括2個芝麻餡，1個花生餡，1個豆沙餡；1個芝麻餡，2個花生餡，1個豆沙餡以及1個芝麻餡，1個花生餡，2個豆沙餡，故每種湯圓都至少取到1個的概率為.故答案為：.14．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的外接球的表面積為___________.【答案】【分析】由三視圖還原幾何體，根據三棱錐的特征確定其外接球的球心，進而求半徑，即可得外接球的表面積.【詳解】由三視圖可得如下幾何體：，且△、△、△、△均為直角三角形，所以多面體的外接球的球心為中點，而，則外接球半徑為，表面積為.故答案為：15．如圖，某中學校園中央有一座鐘樓，某學生為了測量鐘樓高AB，該學生先在鐘樓的正西方點C處測得鐘樓頂部的仰角為45°，然后從點C處沿南偏東30°方向前進60到達點D處，在D處測得鐘樓頂部的仰角為30°，則鐘樓AB的高度是___________.【答案】30【分析】先用AB表示出BD和BC，再結合余弦定理即可求解.【詳解】由題意知：，設，則，，即，解得或（舍去）.故答案為：30.16．數學美的表現形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于抽象的概念、公式、符號、推理論證、思維方法等之中，是一種科學的真實美．平面直角坐標系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結論：①曲線圍成的圖形的面積是；②曲線上的任意兩點間的距離不超過；③若是曲線上任意一點，則的最小值是．其中正確的有_____________（填上所有正確結論的序號）．【答案】①③【分析】作出曲線的圖象，可判斷①的正誤；過原點且連接兩個半圓圓心的直線交曲線于、兩點，求出，可判斷②；求出點到直線的最小距離，可判斷③的正誤.【詳解】對于曲線，在曲線上任取一點，則該點關于軸的對稱點為，因為，即點在曲線上，所以，曲線關于軸對稱，同理可知，曲線關于軸、原點對稱，當，時，曲線的方程為，即，作出曲線的圖象如下圖所示：由圖可知，曲線圍成的區(qū)域是四個半徑為的半圓和一個邊長為的正方形，故曲線圍成的圖形的面積是，①對；過原點且連接兩個半圓圓心、的直線交曲線于、兩點，如下圖所示：則，，所以，，②錯；點到直線的距離為，則，由圖可知，過曲線在第一象限內的半圓的圓心作直線的垂線，垂足為點，當點為線段與曲線在第一象限內的半圓的交點時，取最小值，點到直線的距離為，所以，，因此，的最小值為，③對.故答案為：①③.三、解答題17．已知數列滿足，且.(1)記，寫出，并求數列的通項公式；(2)求的前20項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據遞推關系求得，判斷出數列是等差數列，由此求得，也即的通項公式.（2）利用分組求和法求得的前20項和.【詳解】(1)依題意：數列滿足，且.所以；；，所以.由，兩式相加得，所以數列，也即數列是首項為，公差為的等差數列，所以.(2)數列的前項和為，也即，由于，所以，所以的前20項和為.18．兩會期間國家對學生學業(yè)與未來發(fā)展以及身體素質的重要性的闡述引起了全社會的共鳴.某中學體育組對高三的800名男生做了單次引體向上的測試，得到了如圖所示的頻率分布直方圖（引體向上個數只記整數）.體育組為進一步了解情況，組織了兩個研究小組.(1)第一小組決定從單次完成1-15個引體向上的男生中，按照分層抽樣抽取22人進行全面的體能測試.①在單次完成6-10個引體向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？②該小組又從這22人中抽取3人進行個別訪談，記抽到“單次完成引體向上1-5個”的人數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望；(2)第二小組從學校學生的成績與體育鍛煉相關性角度進行研究，得到了這800人的學業(yè)成績與體育成績之間的列聯表.學業(yè)優(yōu)秀學業(yè)不優(yōu)秀總計體育成績不優(yōu)秀200400600體育成績優(yōu)秀100100200總計300500800請你根據列聯表判斷是否有99.5%的把握認為體育鍛煉與學業(yè)成績有關？參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中.下面的臨界值表供參考：【答案】(1)①；②分布列答案見解析，數學期望：(2)有99.5%的把握認為體育鍛煉與學業(yè)成績有關【分析】（1）①先按照分層抽樣求出1-5個、6-10個、11-15個分別抽取的人數，再由古典概型計算甲被抽中的概率即可；②直接計算X為0?1?2，3的概率，列出分布列計算期望即可；（2）直接計算進行判斷即可.【詳解】(1)①單次完成1-5個引體向上的人有人單次完成6-10個引體向上的人有人單次完成11-15個引體向上的人有人單次完成1-15個的引體向上的男生共440人，按照分層抽樣抽取22人，設分別抽取人，則有.所以，，即從1-5中選4人，6-10個中選6人，11-15個中選12人，又因為單次完成6-10個引體向上的人共有120人，記“單次完成6-10個引體向上的學生中甲同學被抽中”為事件A，則②X的所有可能取值有0?1?2、3，，，所以X的分布列如下：X0123P所以(2)因為所以有99.5%的把握認為體育鍛煉與學業(yè)成績有關.19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，.(1)試在棱PC上找一點E滿足：；(2)若F為棱PC上一點，滿足，求二面角的余弦值.【答案】(1)E為棱PC的中點(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，待定系數法表示出點坐標，由空間向量求解（2）由垂直關系解出點坐標，再由空間向量求解【詳解】(1)∵，，，∴，，如圖，以A為原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系，可得，，，，設點E為棱PC上的點，且.向量，，且∴，，∴∴，，若故.∴，∴即∴E為棱PC的中點.(2)，，，由點F在棱PC上，設，故，由，得,，解得，即.設為平面ABF的法向量，則，即，不妨令，可得為平面ABF的一個法向量.取平面PAB的法向量，則.易知，二面角是銳角，∴其余弦值為.20．已知拋物線的準線經過點，過點的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，點（其中）在拋物線C上，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l斜率的取值范圍；(2)設O為原點，若，，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先通過準線過點求出拋物線方程，設出直線聯立拋物線，利用以及直線PA，PB與y軸有交點解出斜率的范圍即可；（2）表示出直線PA，PB的方程，令求出坐標，由，表示出，即可求解.【詳解】(1)因為拋物線的準線經過點，所以，即，故拋物線C的方程為.由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設直線l的方程為.由得.依題意，解得且.又點（其中）在拋物線C上，∴又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點.從而.所以直線l斜率的取值范圍是.(2)設，.由（1）知，.直線PA的方程為.令，得點M的縱坐標為.∴同理得點N的縱坐標為.由，，得，.所以.所以為定值.21．已知函數，（1）證明：當時，；（2）試討論函數在上的零點個數.【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析.【分析】（1）對函數求導，求其單調性和最值，進而可證明；（2）分，，，討論，研究函數在上的零點個數.【詳解】（1）證明：，，

令，，，，在上是增函數，且，在上是增函數，且；（2），，①，，，是函數在上的唯一零點，②，令，則，因為，當且僅當時取等號，，當或時取等號，故是函數在上的唯一零點；③，，設，則在上遞增，而所以，在上遞增，，是唯一零點；④，，在上遞增，而，使，當時，遞減，，遞增，，而，在上有唯一零點，又也是一個零點，在上有2個零點；綜上，當時，在上有1個零點;當時，在上有2個零點.22．在直角坐標系xOy中，曲線C1：(α為參數)．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2：ρ2＝4ρcosθ－3.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐標方程；（2）若曲線C1與C2交于A，B兩點，A，B的中點為M，點P(0，－1)，求|PM|·|AB|的值．【答案】（1）曲線:；曲線：；（2）3．【解析】