《直線與平面的位置關(guān)系(3)》示范課教案【高中數(shù)學(xué)】

直線與平面的位置關(guān)系(3)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.借助長方體，通過直觀感知，得出斜線在平面內(nèi)的射影及直線與平面所成的角的概念；2.會求簡單的直線與平面所成的角；3.理解并掌握三垂線定理及其逆定理．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面所成的角的概念，三垂線定理及其逆定理．教學(xué)難點(diǎn)：會找出直線與平面所成的角，能運(yùn)用三垂線定理及其逆定理進(jìn)行相關(guān)的證明．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入回顧：直線與平面有幾種位置關(guān)系？線面垂直屬于哪一類？事實(shí)上，直線與平面垂直是直線與平面相交的特例．那么，直線與平面相交又該如何從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行刻畫呢？設(shè)計(jì)意圖：通過生活中線面垂直的實(shí)例，給學(xué)生以線面垂直的直觀印象，為后面的學(xué)習(xí)作鋪墊．二、新知探究問題1：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，這條直線就叫做這個(gè)平面的垂線，如果一條直線與一個(gè)平面相交，但不垂直，這樣的直線該如何命名？觀察：如圖所示的長方體ABCD?A1B1C1D1，A答案：A1B，A1C，A1一條直線與一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫做斜足，斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段．如圖，過平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影，線段P1Q就是斜線段PQ在平面平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角．上圖中，∠PQP1就是直線PQ與平面如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角．如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角.追問：直線與平面所成的角的取值范圍是多少？答案：0°，問題2：如圖，直線PQ與平面α所成的角為∠PQP1，l是平面α內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)Q的任意一條直線，則∠PQP1答案：∠PQP1小于直線PQ作P1H⊥l于點(diǎn)H，連接∵PP1是平面α的垂線，∴又P1H∩PP1=P1，∴于是，sin∠PQP顯然，PH>PP1，所以而∠PQH，∠PQ總結(jié)：直線與平面相交時(shí)(不包含垂直)，直線與平面所成的角，是直線與平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成角中最小的角．思考：到目前為止，我們學(xué)了哪些證明線面垂直的方法呢？答案：（1）定義法：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直，則這條直線與該平面垂直．（2）判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．（3）推論：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．三、應(yīng)用舉例例1如圖，已知AC，AB分別是平面α的垂線和斜線，C，B分別是垂足和斜足，a?α，a⊥BC．求證：分析：因?yàn)锳B?平面ABC，所以只要證明a⊥平面ABC證明：∵AC⊥α，a?α，∴又a⊥BC，AC∩BC=C∵AB?平面ABC，∴a結(jié)論：如果平面內(nèi)的一條直線與該平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線垂直于該斜線．（三垂線定理）例2如圖，已知∠BAC在平面α內(nèi)，P?求證：點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影在∠BAC證明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為O，E，F(xiàn)，連接OE，OF，OA．在Rt△PAE和Rt△PAF∠PAB=∠PAC，∴Rt△PAE≌Rt△PAF．∴∵PO⊥α，AB?又AB⊥PE，PO∩PE=P而OE?平面PEO，∴AB⊥OE．同理，在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE=AF，OA=OA，∴Rt△從而∠EAO=故點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影在∠BAC思考：在上述證明過程中，由AB⊥PE，推導(dǎo)得出AB⊥OE的過程答案：如果平面內(nèi)的一條直線與該平面的一條斜線垂直，那么這條直線與該斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．（三垂線定理的逆定理）思考：你能設(shè)計(jì)一個(gè)四個(gè)面都是直角三角形的四面體嗎？答案：如下圖，四面體A1?設(shè)計(jì)意圖：通過例題，掌握線面垂直的判定和性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，并得出三垂線定理及三垂線定理的逆定理．四、課堂練習(xí)1.若直線l不垂直于平面α，那么在平面α內(nèi)（）A.不存在與l垂直的直線B.只存在一條與l垂直的直線C.存在無數(shù)條直線與l垂直D.以上都不對2.如圖，在正方體ABCD?A（1）求直線AA1與平面ABCD（2）求直線AA1與平面BC（3）直線A1B在平面（4）直線A1C在平面3.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，參考答案：1.∵直線l不垂直于平面α，∴l(xiāng)在α內(nèi)或l∥α或l與α①當(dāng)l在α內(nèi)或l∥α?xí)r，顯然在α內(nèi)存在無數(shù)條直線與②當(dāng)l與α斜交時(shí)，α內(nèi)也存在無數(shù)條直線與l垂直，如圖，長方體中，A'B與底面ABCD斜交，底面ABCD中有無數(shù)條直線與A故選C．2.（1）因?yàn)橹本€AA1⊥平面ABCD，所以直線AA1與平面ABCD（2）因?yàn)橹本€AA1//平面BCC1B1，所以直線（3）直線A1B在平面ABCD內(nèi)的射影是直線（4）直線A1C在平面ADD3.∵DD1⊥底面ABCD，∴∠D1AD是D∵側(cè)面ADD1A1即D1A與底面ABCD所成的角為五、課堂小結(jié)1、直線與平面所成的角：平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角．2、三垂線定理及其逆定理：三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直