江蘇省常州市高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題

2022屆江蘇省常州市高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若非空且互不相等的集合A、B、C，滿足：，則（

）A．A B．B C．C D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到且，得出，結(jié)合交集的概念，即可求解.【詳解】由題意，非空且互不相等的集合，因?yàn)椋傻?；又因?yàn)椋傻?，所以，所?故選：C.2．已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i是虛數(shù)單位），則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】先求出復(fù)數(shù)z，再求.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以.所以.故選：D3．在中，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】推導(dǎo)出，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，則，因?yàn)?，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，D錯(cuò).故選：A.4．已知直線m，n是平面的兩條斜線，若m，n為不垂直的異面直線，則m，n在平面內(nèi)的射影（

）A．不可能平行，也不可能垂直 B．可能平行，但不可能垂直C．可能垂直，但不可能平行 D．可能平行，也可能垂直【答案】D【分析】如圖，借助正方體分析可以判斷.【詳解】如圖，在正方體中，即為，為，底面為平面，則m，n在平面內(nèi)的射影和垂直；如圖，在正方體中，即為，為，底面為平面，則m，n在平面內(nèi)的射影和平行；綜上，m，n在平面內(nèi)的射影可能平行，也可能垂直.故選：D.5．已知，則正確的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作差利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可比較.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B.6．己知數(shù)列滿足，在之間插入n個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（

）A．178 B．191 C．206 D．216【答案】A【分析】直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和分組法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【詳解】解：數(shù)列滿足，在，之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，1，，1，1，，1，1，1，，，所以共有個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于，所以．故選：A．7．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】依據(jù)題給條件利用列出關(guān)于的方程，解之即可求得實(shí)數(shù)的值【詳解】由，可得，又則又，，則即則即，整理得解之得，或（舍）故選：B8．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】利用偶函數(shù)的定義，并結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以.故選：C二、多選題9．已知二項(xiàng)式，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．二項(xiàng)展開式中有常數(shù)項(xiàng) B．二項(xiàng)展開式的系數(shù)和為0C．二項(xiàng)展開式的第2項(xiàng)系數(shù)為2022 D．二項(xiàng)展開式的第1012項(xiàng)的系數(shù)最大【答案】AB【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可判斷ACD，由賦值法可求出展開式的系數(shù)和判斷B.【詳解】令，則，即二項(xiàng)展開式的系數(shù)和為0，故B正確；由知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，展開式為常數(shù)項(xiàng)，故A正確；由通項(xiàng)展開式知，故C錯(cuò)誤；二項(xiàng)展開式的第1012項(xiàng)系數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：AB10．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若，則（

）A． B．平面C．四面體的體積為定值 D．與底面所成的角最大為【答案】ABC【分析】根據(jù)推出，利用平面推出，可判斷A正確；利用平面平面，推出平面，可判斷B正確；根據(jù)等體積法求出四面體的體積，可判斷C正確；根據(jù)平面，推出是與底面所成的角，利用，推出與底面所成的角最小為，可判斷D不正確.【詳解】因?yàn)椋韵蛄?、、共面，又三個(gè)向量共起點(diǎn)，所以平面，平面，又平面，且平面平面，所以，對(duì)于A，因?yàn)槠矫妫?，又，且，所以平面，所以，同理得，又，所以平面，又平面，所?故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槠矫?，所以是與底面所成的角，因?yàn)椋?，所以與底面所成的角最小為，故D不正確.故選：ABC.11．已知圓，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與圓C交于兩點(diǎn)P，Q，且．則（

）A．直線的斜率 B．的最小值為2C．的最小值為 D．【答案】CD【分析】依題意畫出草圖，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線，利用圓心到直線的距離小于半徑，即可求出的取值范圍，從而判斷A，再根據(jù)即可判斷B、C，設(shè)，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可判斷D；【詳解】解：依題意圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，顯然直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線，即，所以，解得，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C正確；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，又，所以不存在最小值，只存在最大值且，故B錯(cuò)誤；設(shè)，，由與，消去整理得所以，，所以，故D正確；故選：CD12．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，也是一個(gè)周期函數(shù)C．直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸D．方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】ABD【分析】利用函數(shù)的奇偶性、周期性分析判斷A，B；利用對(duì)稱的性質(zhì)驗(yàn)證判斷C；利用零點(diǎn)存在性定理分析判斷D作答.【詳解】顯然，，即函數(shù)是偶函數(shù)，又，函數(shù)是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期，B正確；當(dāng)時(shí)，，的最小值為，最大值為，即當(dāng)時(shí)，的取值集合是，因是偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，的取值集合是，因此，當(dāng)時(shí)，的取值集合是，而是的周期，所以，的值域?yàn)?，A正確；因，，即函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)不在此函數(shù)圖象上，C不正確；因當(dāng)時(shí)，恒有成立，而的值域?yàn)?，方程在上無(wú)零點(diǎn)，又當(dāng)或時(shí)，的值與的值異號(hào)，即方程在、上都無(wú)零點(diǎn)，令，，顯然在單調(diào)遞減，而，，于是得存在唯一，使得，因此，方程在上有唯一實(shí)根，則方程在上有唯一實(shí)根，又定義域?yàn)?，所以方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.三、填空題13．命題“，”的否定是__________．【答案】，．【分析】全稱改存在，再否定結(jié)論即可【詳解】命題“，”的否定是“，”故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題14．已知為第二象限角，若，則的值為______________．【答案】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式，求得，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得的值，即可求解.【詳解】由，解得，即，即，根據(jù)角在第二象限由，解得，所以.故答案為：.15．在三棱錐中，已知平面，，若，，則與所成角的余弦值為___________．【答案】【分析】如圖，取中點(diǎn)，連接，可得（或其補(bǔ)角）即為與所成角，分別求出三邊長(zhǎng)度即可求解.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，所以，則（或其補(bǔ)角）即為與所成角，因?yàn)槠矫?，所以，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，取中點(diǎn)，連接，所以，所以平面，所以，又，，所以，所以.所以與所成角的余弦值為.故答案為：.16．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：12345678910P且數(shù)列滿足，則______________．【答案】【分析】令，即可得到，再根據(jù)分布列的性質(zhì)得到，從而求出數(shù)學(xué)期望；【詳解】解：令，2，3，，，則，即，，2，3，，，又，所以，所以故答案為：四、解答題17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析；(2)，.【分析】（1）根據(jù)對(duì)式子進(jìn)行變形，進(jìn)而結(jié)合條件證明問(wèn)題；（2）由（1）求出，進(jìn)而得到，最后根據(jù)求得答案.【詳解】(1)由，得．

相減得，即．

所以，故數(shù)列是等差數(shù)列．(2)當(dāng)時(shí)，，則，由于數(shù)列是等差數(shù)列，故，∴．

∴．18．在中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，且滿足：．(1)證明：為等腰三角形；(2)若，求的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理及三角公式得到，得到，即可證明為等腰三角形；（2）先求出，得到．在中，由正弦定理即可求出．【詳解】(1)在中，，即，則，由正弦定理，得，，化簡(jiǎn)得．因?yàn)?，所以，所以，則.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以為等腰三角形．(2)由，得，即，所以，有．所以．由（1）得，在中，由正弦定理得，所以，所以．19．如圖，以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形所在的平面與以O(shè)為圓心的半圓弧所在的平面垂直，P為上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，已知圓O的半徑為1．(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)P到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在等腰中，得到，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而證得；（2）取弧中點(diǎn)D，連結(jié)，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)證明：等腰中，因?yàn)椋琌是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?2)解：取弧中點(diǎn)D，連結(jié)，則兩兩垂直且，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，可得，所以，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，則，得，又因?yàn)椋?，結(jié)合，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為．20．某校舉行青年教師視導(dǎo)活動(dòng)，對(duì)48位青年教師的備課本進(jìn)行了檢查，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：性別等第合計(jì)良好優(yōu)秀男教師a1018女教師1020合計(jì)3048附：（其中）．臨界值表：(1)是否有的把握認(rèn)為備課本是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？(2)從48本備課本中不放回的抽取兩次，每次抽取一本，求第一次取到女教師備課本的條件下，第二次取到優(yōu)秀備課本的概率．【答案】(1)沒有的把握認(rèn)為備課本是否優(yōu)秀與性別有關(guān)(2)【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求出的值，再計(jì)算出卡方，與臨界值數(shù)據(jù)比較，即可判斷；（2）首先求出第一次抽到女教師備課本的概率，再求出第一次抽到女教師備課本且第二次抽到優(yōu)秀備課本的概率，最后按照條件概率的概率公式計(jì)算可得；【詳解】(1)解：由表格得，所以，，所以沒有的把握認(rèn)為備課本是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．(2)解：“第一次取到女教師備課本”的概率為，

“第一次取到女教師良好備課本且第二次取到優(yōu)秀備課本”的概率為．

“第一次取到女教師優(yōu)秀備課本且第二次取到優(yōu)秀備課本”的概率為．

所以“第一次取到女教師備課本的條件下，第二次取到優(yōu)秀備課本”的概率為．21．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值，(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值(2)【分析】（1）求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；（2）令，求得，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理得到存在唯一，使得，進(jìn)而求得的值.【詳解】(1)解：由題意，函數(shù)，可得，令，可得，10遞增極大值遞減所以函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值．(2)解：令，可得，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，即，設(shè)，，可得，若時(shí)，；若，令，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以，所以，兩邊取指數(shù)得到，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在遞減，又由，由零點(diǎn)存在定理知，存在唯一，使得，x10-遞增極大值遞減所以，因?yàn)?，則，所以．【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．22．離心率為e的橢圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且直線是雙曲線的一條漸近線．橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q