第三章零和游戲與混合策略

第三章零和游戲與混合策略趙國洪yes.第一頁，共三十七頁。零和游戲——游戲者有輸有贏，但整個(gè)游戲的總成績永遠(yuǎn)為零。零和游戲：博弈當(dāng)中的參與者，其利益可能嚴(yán)格對立，一人所得永遠(yuǎn)等于另一人所失。零和游戲第二頁，共三十七頁?！盁o毒不丈夫”也是零和博弈所致著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家茅于軾曾說：“過去的帝王與將相就是這樣一種博弈，他可以剝削你，抄你的家；你可以造他的反，奪他的天下。一方得利，一方受損，那是零和博弈。事實(shí)上也正是因?yàn)檫@種零和博弈反復(fù)上演，才使中國歷史的每一頁都充滿了陰謀與血腥，并且使‘無毒不狠非丈夫’的文化觀念深入到每一個(gè)中國人的意識(shí)中。”零和游戲第三頁，共三十七頁。零和游戲兩個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)家散步，甲經(jīng)濟(jì)學(xué)家看見了一堆狗屎，思索著對乙說。你吃了這堆狗屎吧，我給你100萬塊錢。乙猶豫了一會(huì)兒，但還是經(jīng)受不住誘惑，吃了那堆狗屎。當(dāng)然，甲守信地給了他100萬塊錢。過了一會(huì)，乙也看見了一堆狗屎，就對甲說：你吃了這狗屎，我也給你100萬。甲經(jīng)濟(jì)學(xué)家也經(jīng)受不住誘惑，吃了那堆狗屎當(dāng)然。乙把甲給他的100萬還了回去。故事還沒有完。走著走著，乙忽然緩過神來了，對甲說：不對阿，我們誰也沒有掙到錢，卻吃了兩對狗屎……甲也緩過神了，思考了一會(huì)兒說：可是，我們創(chuàng)造了200萬的GNP阿！第四頁，共三十七頁。零和游戲“零和游戲”之所以廣受關(guān)注，主要是因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)，在社會(huì)的方方面面都有與“零和游戲”類似的局面，勝利者的光榮后面往往隱藏著失敗者的辛酸和苦澀。但20世紀(jì)以來，“零和游戲”觀念正逐漸被“非零和游戲”即“負(fù)和”或“正和”觀念所取代。“負(fù)和游戲”指，一方雖贏但付出了慘重的代價(jià)，得不償失，可謂沒有贏家。贏家所得比輸家所失多，或者沒有輸家，結(jié)果為“雙贏”或“多贏”，稱為“正和”。第五頁，共三十七頁。零和游戲有人認(rèn)為，雙贏只不過是把負(fù)面隱藏到我們不能觀及的地方而已……也就是把危害轉(zhuǎn)讓到與自己利益無關(guān)的地方?！拔覀冋l也沒有掙到錢，卻吃了兩對狗屎。。。”

甲之所以給乙錢,是因?yàn)榧卓匆娨页怨肥焊械搅丝鞓?所以他們各吃了一堆狗屎,都沒得到錢,但是都感到了一次快樂。第六頁，共三十七頁。假定中大只有一名警察，負(fù)責(zé)全校治安。中大只有一個(gè)小偷，實(shí)施偷盜。東區(qū)有一家士多，西區(qū)有一家銀行。因分身乏術(shù)，警察一次只能在一個(gè)地方巡邏；而小偷也只能去一地偷盜。假定銀行需保護(hù)的財(cái)產(chǎn)價(jià)格為2萬元，士多的財(cái)產(chǎn)價(jià)格為1萬元。若警察在某地巡邏，而小偷也選擇了該地，就會(huì)被警察抓??；若警察沒有巡邏的地方而小偷去了，則小偷成功。警察怎么巡邏才能使效果最好？

零和游戲與混合策略佛羅倫薩“警察抓小偷”雕塑第七頁，共三十七頁。警察的一個(gè)最好的做法是，抽簽決定去銀行還是士多。因?yàn)殂y行的價(jià)值是士多的兩倍，所以用兩個(gè)簽代表銀行，比如如果抽到1、2號簽去銀行，抽到3號簽去士多。這樣警察有2/3的機(jī)會(huì)去銀行進(jìn)行巡邏，1/3的機(jī)會(huì)去士多。而小偷的最優(yōu)選擇是：以同樣抽簽的辦法決定去銀行還是去士多偷盜，只是抽到1、2號簽去士多，抽到3號簽去銀行，那么，小偷有l(wèi)/3的機(jī)會(huì)去銀行，2/3的機(jī)會(huì)去士多。零和游戲與混合策略第八頁，共三十七頁。警察與小偷之間的博弈，所選策略應(yīng)當(dāng)是隨機(jī)的，不能讓對方知道自己的策略，哪怕是“傾向性”的策略。當(dāng)博弈是零和博弈時(shí)，即一方所得是另外一方的所失時(shí)，對于任何一方來說，此時(shí)不可能有純策略的占優(yōu)策略。零和游戲與混合策略第九頁，共三十七頁。贏家的詛咒在《紅男綠女》中，賭棍斯凱·馬斯特森想起父親給自己提的一個(gè)很有價(jià)值的建議：孩子，在你的旅途中，總有一天會(huì)遇到一個(gè)家伙走上前來，在你面前拿出一副漂亮的新?lián)淇伺?，連塑料包裝紙都沒有拆掉的那種；這家伙打算跟你打一個(gè)賭，賭他有辦法讓梅花J從撲克牌里跳出來，并把蘋果汁濺到你的耳朵里。不過，孩子，千萬別跟這個(gè)家伙打賭，因?yàn)榫透愦_確實(shí)實(shí)站在那里一樣，最后你確確實(shí)實(shí)會(huì)落得蘋果汁濺到耳朵里的下場。但斯凱從來沒有認(rèn)真聽取過他父親的教誨。一分鐘后，他就和內(nèi)森打賭說內(nèi)森不知道他的蝴蝶領(lǐng)結(jié)是什么顏色。如果內(nèi)森知道是什么顏色，他一定愿意打賭，并且取勝。結(jié)果是，內(nèi)森不知道什么顏色，所以他沒有跟斯凱打賭。視頻：《紅男綠女》（18’-28’)第十頁，共三十七頁。贏家的詛咒即使你在拍賣中贏了，你也應(yīng)該為此感到擔(dān)憂。因?yàn)?，你是最高的出價(jià)者，這一事實(shí)意味著其他人覺得這件物品不值你出的那個(gè)價(jià)。贏得拍賣后卻發(fā)現(xiàn)自己出價(jià)過高，這種現(xiàn)象稱為贏家的詛咒。第十一頁，共三十七頁。納什定理案例——房地產(chǎn)開發(fā)博弈假定：Ａ、Ｂ兩個(gè)開發(fā)商都想在廣州開發(fā)一定規(guī)模的房地產(chǎn)，但廣州市的房地產(chǎn)市場需求有限，只能滿足一個(gè)房地產(chǎn)商的開發(fā)量；而且，每個(gè)開發(fā)商必須一次性開發(fā)這一定規(guī)模的房地產(chǎn)才能獲利。在這種情況下，Ａ和Ｂ都不存在一種策略完全優(yōu)于另一種策略，也不存在一個(gè)策略完全劣于另一個(gè)策略。因?yàn)椋绻吝x擇開發(fā)，則Ｂ的最優(yōu)策略是不開發(fā)；如果Ａ選擇不開發(fā)，則Ｂ的最優(yōu)策略是開發(fā)；類似地，如果Ｂ選擇開發(fā)，則Ａ的最優(yōu)策略是不開發(fā)；如果Ｂ選擇不開發(fā)，則Ａ的最優(yōu)策略是開發(fā)。第十二頁，共三十七頁。案例——房地產(chǎn)開發(fā)博弈根據(jù)納什均衡含義：給定你的策略，我的策略是最好的策略；給定我的策略，你的策略也是你最好的策略。即雙方在對方給定的策略下不愿意調(diào)整自己的策略。開發(fā)商博弈的納什均衡點(diǎn)不止一個(gè)，而是兩個(gè)：（A開發(fā)，B不開發(fā)）；（A不開發(fā)，B開發(fā)）。在有兩個(gè)或兩個(gè)以上納什均衡點(diǎn)的博弈中，其最后結(jié)果難以預(yù)測。我們無法知道，最后結(jié)果是A開發(fā)，B不開發(fā)還是A不開發(fā)，B開發(fā)。第十三頁，共三十七頁。曹操敗走華容道赤壁之戰(zhàn)，曹軍八十萬大軍大敗。曹操引兵逃跑。操行之間，前面有兩條路，軍士復(fù)曰：“兩條路皆取南郡，不知從那條路去？”操問：“那條路近？”軍士曰：“大路稍平，卻遠(yuǎn)五十余里。小路投華容道，卻近五十余里；只是地窄路險(xiǎn)，坑坎難行?！辈倭钊松仙酵貓?bào)小路山邊有數(shù)處煙起；大路并無動(dòng)靜。操教前軍便走華容道小路。諸將曰：“烽煙起處，必有軍馬，何故走到這條路？”操曰：“豈不聞兵書有云：‘虛則實(shí)之，實(shí)則虛之?！T葛亮見識(shí)，故使數(shù)個(gè)小卒于山僻燒煙，令我軍不敢從這條山路走，卻伏兵在于大路等著。吾料已定，因此教走華容?！敝T將皆曰：“丞相妙策，人不可及?！彼炖毡呷A容道。第十四頁，共三十七頁。但諸葛亮棋高一著，派關(guān)羽在華容道等候曹操。于是關(guān)羽上演了一場“只為當(dāng)初恩義重，放開金鎖走蛟龍”的捉放曹義舉。曹操大敗于華容道后，八十萬大軍只剩二十七騎。這是曹操和諸葛亮的一次零和博弈。曹操需選擇走大路還是小路；而諸葛亮則需選擇在大路還是小路上埋伏。博弈的關(guān)鍵是誰能猜到對方的策略選擇。這個(gè)博弈不存在純策略納什均衡點(diǎn)。曹操敗走華容道第十五頁，共三十七頁?？爝^年了，一對新婚夫婦想一起回老家過年，然雙方父母家在不同的省份，假如只能到一家父母家過年，夫想一起回夫家，妻想一起回娘家。這對夫妻很恩愛，不想分開過年。你知道這對夫妻最終上了開往哪一家的火車嗎？案例——夫妻博弈第十六頁，共三十七頁。案例——夫妻博弈丈夫和妻子商量晚上的活動(dòng)。丈夫喜歡看拳擊，而妻子喜歡欣賞歌劇。但兩人都希望在一起度過夜晚。這個(gè)“夫妻博弈”有兩個(gè)納什均衡點(diǎn)：(歌劇，歌劇)，(拳擊，拳擊)。有兩個(gè)或兩個(gè)以上納什均衡點(diǎn)的博弈中，其最后結(jié)果難以預(yù)測。在“夫妻博弈”中，我們無法知道，最后結(jié)果是一同欣賞歌劇還是一起去看拳擊。第十七頁，共三十七頁。在博弈論中，可以選擇出某個(gè)策略的納什均衡，這個(gè)策略叫做純策略。純策略的納什均衡只是博弈的一種特例。所謂純策略是指參與者在他的策略空間中選取惟一確定的策略。純策略是參與者一次性選取的，并且堅(jiān)持他選取的策略。納什定理與混合策略所謂混合策略是指參與者采取的不是惟一的策略，而是其策略空間上的概率分布?；旌喜呗允菂⑴c者在各種備選策略中采取隨機(jī)方式選取的。這就是納什于1950年證明了的納什定理。而這個(gè)博弈沒有純策略納什均衡點(diǎn)，而有混合策略均衡點(diǎn)。第十八頁，共三十七頁。最常見混和策略就是猜硬幣游戲。比如在足球比賽開場，裁判將手中的硬幣讓雙方隊(duì)長猜正反面。由于硬幣落下是正是反是隨機(jī)的，概率都是1/2。那么，猜硬幣游戲的參與者都是1/2的概率擇正與反，這時(shí)博弈達(dá)到混和策略納什均衡。納什定理與混合策略第十九頁，共三十七頁?！凹?、布、錘”就不存在純策略均衡，對每個(gè)小孩來說，自己采取出“剪”、“布”還是“錘”的策略應(yīng)當(dāng)是隨機(jī)的。因此，每個(gè)小孩的最優(yōu)混合策略是采取每個(gè)策略的可能性是l／3。在這樣的博弈中，每個(gè)小孩各取三個(gè)策略的1／3是納什均衡。納什定理與混合策略第二十頁，共三十七頁。兩個(gè)不到十歲的小男孩，一起玩的時(shí)候發(fā)生爭執(zhí)，兩人商量用‘剪刀、石頭、布’，誰贏就聽誰的。下面是他們的對話：

甲說：“喂，咱們倆是好兄弟，非要分出勝負(fù)就太傷和氣了。待會(huì)兒咱們都出‘剪刀’就算了事了，好不？”

乙說：“沒問題，好兄弟嘛！”

他們說話的時(shí)候一臉的純真。結(jié)果——甲出的是石頭，乙出的是布。

納什定理與混合策略第二十一頁，共三十七頁。隨機(jī)策略隨機(jī)策略的最廣泛用途在于以較低的監(jiān)管成本促使人們遵守規(guī)則，同時(shí)解釋了懲罰不一定要和罪行吻合的原因。違章停車的罰金是正常收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的許多倍。設(shè)想一下，假如正常收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是1美元/小時(shí)，按每小時(shí)1.01美元的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行處罰能不能讓大家服服帖帖呢？有可能，條件是交通警察在你違章停車時(shí)一定能逮住你。而這需要大量的交警，費(fèi)用巨大。監(jiān)管當(dāng)局有一個(gè)同樣管用、代價(jià)又小的策略，就是提高罰金數(shù)目，同時(shí)放松監(jiān)管力度。假如監(jiān)管屬于隨機(jī)性質(zhì)，我們必須定出一個(gè)超過罪行本身的懲罰。規(guī)則在于，預(yù)期的懲罰應(yīng)該與罪行相稱，而這種心理預(yù)期應(yīng)該將被逮住的概率考慮在內(nèi)。國稅局的審查策略也是隨機(jī)策略第二十二頁，共三十七頁。混合策略公司年飯抽獎(jiǎng)，老板提出，今年特別獎(jiǎng)不用抽簽而是用玩游戲的方式來決定。游戲規(guī)則：大家圍成一圈同時(shí)跟老板猜拳，猜贏老板或是平手的人可以參予比賽，猜輸?shù)木蜎]有參賽資格。參賽者一直猜到剩下最后一個(gè)就是贏家而獲得該獎(jiǎng)項(xiàng)。如果你是該公司的員工，你如何增大你拿獎(jiǎng)的概率？立刻跟兩位同事商量：三個(gè)人合作，得到獎(jiǎng)項(xiàng)大家平分。大家講好第一次大家都出不一樣的。至少確定第一回合之后，接著還會(huì)剩下兩個(gè)人能夠參予這個(gè)游戲。第二十三頁，共三十七頁。位置博弈麥當(dāng)勞和肯德基為什么總是相鄰設(shè)店?第二十四頁，共三十七頁。位置博弈他們?yōu)槭裁纯傁矚g貼身撕殺?第二十五頁，共三十七頁。位置博弈假設(shè)有條完全筆直的公路，連接城市A到城市B之間的交通。這條公路上每天行駛著大量的車輛，并且車流量在公路上是均勻分布的。假設(shè)麥當(dāng)勞和肯德基要在這條公路上選擇一個(gè)位置，招攬來往車輛。一個(gè)合乎邏輯的假定：通常情況下，車輛總是樂意到距自己最近的快餐店購買食物。

1/4麥當(dāng)勞3/4肯德基1/20A1B從資源的最佳配置來看，麥當(dāng)勞、肯德基應(yīng)該分別開在1/4、3/4處是最優(yōu)。在這種均勻散布的情況下，每家快餐店所有擁有的客戶從距離最近的城市到兩家快餐店的中心為止，因此都擁有1/2的顧客量，同時(shí)對于開車的人們總體來說，這種策略的選擇，車輛到快餐店的總的距離最短。第二十六頁，共三十七頁。位置博弈1/4麥當(dāng)勞3/4肯德基1/20A1B肯德基與麥當(dāng)勞都是百年老店，自然是精明之至，從經(jīng)濟(jì)學(xué)上就是具有經(jīng)濟(jì)理性，總是希望自己的生意盡可能地紅火，至于其他人的生意的好壞則與己無關(guān)。出于這種理性，肯德基肯定會(huì)想到：如果將店鋪從3/4點(diǎn)處向左移一點(diǎn)，將從麥當(dāng)勞搶奪走部分顧客，這對于肯德基單方面來說無疑是一個(gè)好主意。當(dāng)然麥當(dāng)勞也不甘示弱，作為一個(gè)“理性人”，麥當(dāng)勞自然也應(yīng)該想到將自己的店鋪從1/4點(diǎn)處向右移動(dòng)以爭取更多的顧客。不難想象，雙方博弈的結(jié)果將使他們的店鋪設(shè)置在l/2中點(diǎn)附近達(dá)到納什均衡狀態(tài)，甲乙兩人相依為鄰且相安無事地做起快餐生意。即使不是兩家快餐店，而是很多家快餐店，也很容易分析得到結(jié)果：這些快餐店仍然會(huì)在1/2處設(shè)店達(dá)到納什均衡。第二十七頁，共三十七頁。位置博弈同樣的道理，如果地段的繁華等其他原因在一條路上上都可以認(rèn)為到處相同的話，沒有一個(gè)商家會(huì)將自己安置于某條路的一頭，只要條件許可，超市將幾乎趨向于相依為鄰，這種現(xiàn)象完全可以看作公正的市場競爭的合理結(jié)果。這就是很多城市商業(yè)中心形成的原理，在博弈論中稱為位置博弈。大部分電視臺(tái)總是將最精彩的節(jié)目放在相同的時(shí)間段，甚至有些時(shí)候是在相同時(shí)間段播放類似的節(jié)目，比如你播“快樂大本營”，我就播“超級總動(dòng)員”；你播“玫瑰有約”，我就播“單身男女”。人都說文人相輕，電視臺(tái)也是這么相煎太急。第二十八頁，共三十七頁。政治家與蘋果酒

兩個(gè)政黨就要決定自己究竟處于自由-保守意識(shí)形態(tài)劃分表的哪一個(gè)位置。首先是在野黨提出自己的立場；然后執(zhí)政黨進(jìn)行回應(yīng)。假定選民平均分布在整個(gè)劃分表的各個(gè)區(qū)間。為使問題具體化，我們把各個(gè)政治立場定為從0到100,0代表極左派，而100代表極右派。假如在野黨選擇48，中間偏左，執(zhí)政黨就會(huì)在這一點(diǎn)到中點(diǎn)之間做出選擇，比如49。于是，喜歡48及48以下的選民就會(huì)投在野黨的票；占據(jù)人口51％的其他人就會(huì)投執(zhí)政黨的票。執(zhí)政黨就會(huì)取勝。第二十九頁，共三十七頁。政治家與蘋果酒

假如在野黨選擇高于50的立場，那么執(zhí)政黨就會(huì)在這一點(diǎn)和50之間站穩(wěn)腳跟。這么做同樣可以為執(zhí)政黨贏得超過50％的選票?；谙蚯罢雇⒌购笸评淼脑瓌t，在野黨可以分析出來自己的最佳立場在中點(diǎn)。①在這個(gè)位置，鼓動(dòng)向右和鼓動(dòng)向左的人在數(shù)目上勢均力敵。而執(zhí)政黨的最佳策略就是模仿在野黨。兩黨選擇的立場完全一致，于是，它們將在只有議題關(guān)系大局的情況下各得一半選票。這一過程的失敗者是選民，他們得到的只是兩黨互相附和的回聲，卻沒能作出政治抉擇。第三十頁，共三十七頁。政治家與蘋果酒

在實(shí)踐中，兩黨不可能選擇完全一致的立場，但大家都在想方設(shè)法靠近中點(diǎn)。這一現(xiàn)象最早是由哥倫比亞大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈羅德·霍特林(HaroldHotelling）在1929年發(fā)現(xiàn)的。他指出經(jīng)濟(jì)和社會(huì)事務(wù)存在相似的案例：“我們的城市大得毫無經(jīng)濟(jì)效益，其中的商業(yè)區(qū)也太集中。衛(wèi)理公會(huì)以及基督教長老會(huì)的教堂簡直一模一樣；蘋果酒也是一個(gè)味道?！钡谌豁摚踩唔?。政治家與蘋果酒

假如出現(xiàn)三個(gè)政黨，還會(huì)不會(huì)存在這種過分的相似性？假定它們輪流選擇和修改自己的立場，也沒有意識(shí)形態(tài)的包袱約束它們。原來處于中點(diǎn)外側(cè)的政黨會(huì)向它的鄰居靠攏，企圖爭奪后者的部分支持。這種做法會(huì)使位于中點(diǎn)的政黨受到很大壓力，以至于輪到它選擇自己的立場的時(shí)候，它會(huì)跳到外側(cè)去，確立一個(gè)全新的立場，贏得更廣泛的選民。這個(gè)過程將會(huì)繼續(xù)下去，完全沒有均衡可言。當(dāng)然，在實(shí)踐中，政黨肩負(fù)相當(dāng)大的意識(shí)形態(tài)包袱，選民也對政黨懷有相當(dāng)大的忠誠，從而會(huì)防止出現(xiàn)此類急劇的轉(zhuǎn)變。第三十二頁，共三十七頁。游戲：微軟面試的智力題這是一道微軟用來測試應(yīng)聘者的試題。它主要考察受訓(xùn)者的邏輯思維和判斷能力，同時(shí)也給受訓(xùn)者一些關(guān)于問題解決方法上的啟示。游戲規(guī)則和程序1.有兩個(gè)房間，一間房里有三盞燈，另一間房有分別控制著三盞燈的三個(gè)開關(guān)；這兩個(gè)房間是分隔開的，從一間里不能看到另一間的情況。2.現(xiàn)在要求受訓(xùn)者分別進(jìn)這兩房間一次，然后判斷出這三盞燈分別是由哪個(gè)開關(guān)控制的。3.有什么辦法呢？第三十三頁，共三十七頁。游戲：微軟面試的智力題答案1.先走進(jìn)有開關(guān)的房間，將三個(gè)開關(guān)編號為a、b、c。2.將開關(guān)a打開5分鐘，然后關(guān)閉，然后打開b；3.然后走到另一個(gè)房間，即可辨別出正亮著的燈是由b開關(guān)控制的。再用手摸另兩個(gè)燈泡，發(fā)熱的是由開關(guān)a控制的，另一個(gè)就一定是開關(guān)c了。第三十四頁，共三十七頁。趣味智力題

題１：你讓工人為你工作７天，給工人的回報(bào)是一根金條。金條平分成相連的