云南省2020學(xué)年中考數(shù)學(xué)面對面幾何圖形的證明與計算題庫

幾圖的明計類型一簡單幾何圖形的證明與計算1.如，在正方形中，是AB上一動點（不與A，B重），連接DE，點A關(guān)于DE的對稱點為F連EF并延長交于點G連過E作⊥的長線于點，連接BH．（）證GFGC（）等式表示線段BHAE的量關(guān)系，并證明；（）正方形ABCD邊長為，取DH的中點M，請直接寫出線長最小值證明：（）如解圖①，連接DF，∵四邊形是正方形，∴DC∠=∠=90°，的對稱點為F，第1題圖①∠=∠=90°，∴=90°

第1題圖∵點A關(guān)于線DE∴△ADE△FDE∴==，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)中，

∵

DF＝DCDG＝

，∴△DFG△DCG（），∴GC（）論BH

AE，證明如下：

證法一如解圖②，在線段上截取，AM=，∵AB由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4∵∠ADC=90°，∴∠2+，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED∠=∠AED+∠1=90°，DE=，∴∠BEH在△DME和△中，1

第1題圖②∴=BE

＝BE∵

，

DE＝EH∴△DME△EBH（），∴BHeq\o\ac(△,Rt)AEM中，A=90°=，∴

2

AE，∴AE（）解圖③中，取DE中點O，連接，，AM，．∵△是等腰直角三角形DM=，∴DMHMEMDM∵∠DAE∠=90°=，∴，D，，四點共圓，∴∠MAB∠=45°∴點M在正方形的對角線AC當(dāng)⊥AM最小值為．2.如在形ABCD中角AC的垂直分別交于點、，結(jié)、．（）判斷四邊形AFCE形狀，并說明理由；（）AB=5，=3BF求EF的長；

∴=OAOEOM第1題圖∴∠DAM∠MAB，時，的最小，平分線與邊、（）結(jié)BE，若BE，

BFAE

的值.第2題圖解：（）邊形是形．理由：∵四邊形是形，∴，=BC∴∠EAO∠FCO，∵是AC的垂平分線，∴CO∠EOA=∠FOC，在△AEO和△中，

EAO＝FCO＝CO＝FOC,∴△AEO△CFO（），2

∴CF∴四邊形是平行四邊形，又∵AC⊥，∴四邊形是菱形；（）∵2=3BF，∴可以假設(shè)=3，BF=2，是菱形，第2題圖在eq\o\ac(△,Rt)中，，ABBF=，∴25+4=9m，

∵四邊形∴==3，∴=5∴FC

，=

5

，∴5，∵四邊形是矩形，∴∠ABC=90°，=

AB

251256

,∴

16AC2

,∵tan∠=

OFAB

,∴

6

,∴=

∴△AEO≌△CFO∴OF∴=2OF=

.（）AE=，=則=CF==，BC=+b，=DE=．∵四邊形是矩形，∴，∴∠DEC∠BCE，∵，∴∠BEC∠=90°，3

EC=EC=∴△CDE△BEC，∴，∴

ba=a

，∴

+－=0∴

b()+a

－1=0∴

b55或a2

（舍棄.∴

BFAE2

.3.(1)已知：△ABC等腰三角形，其底邊是，點D在線AB上，是線上點，且∠DEC∠DCE，若A＝60°(如圖①．求證EBAD；(2)若將1)中的“點D線段上改為“點D在段的長線上”條件不變?nèi)鐖D②)，的論是否成立，并明理由；EB(3)若將1)中的“若∠＝60°改為“若∠＝90°它條件不變的值是多少？AD(直接寫出結(jié)論，不要求寫解答)第3題圖(1)證明：如解圖①所示，過點D作∥交AC于點，則AD＝，∴∠FDC＝，∵∠A＝60°，∴＝＝，又∵∠＝DCE∴∠FDC∠DEB，第解圖①又EDCD∠DBE＝∠＝120°，∴△DBE△CFD(AAS)，EB，∴＝.(2)解：＝成立．理由如下：如解圖②所示，過點作DF交AC的延長線于，則ADAFDF∠FDC＝∠ECD，4

ADAD又∵∠＝ECD∴∠FDC∠DEC，＝CD，又∠DBE∠DFC＝60°第3題解圖②∴△DBE△CFD(AAS)；∴＝，∴＝.EB(3)解：＝2.【解法提示】過點D作BC的垂，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可以得出線段間關(guān)系，進(jìn)而求得所需答案.類型二涉及點、平移、折疊旋轉(zhuǎn)的幾何圖形的證明與計算4.如圖，正方形ABCD，邊繞C順針旋轉(zhuǎn)，得到線段CE，連接DE，，BD，與BD交于點F．（）∠的數(shù)；（）證BFEF第4題圖解：（）四邊形是正方形，∴∠ADB

∠ADC=45°，由旋轉(zhuǎn)得：=CE，DCE=60°∴△DCE是等邊三角形，∴DEAD∠=90°+60°=150°，∴∠DAE∠=15°∴∠AFB∠+∠ADB=15°+45°=60°（2如解圖，連接，∵△CDE是等邊三角形，∴∠DEC=60°，∵∠DEA=15°，

第4題解∴∠CEF∠=45°∵四邊形是正方形，∴CD∠ADF=∠CDF，∵DF=，∴△ADF△CDF（），∴∠DAF=∠=15°∴∠FCB=90°－15°=75°，∠=60°+15°=75°∴∠FCB∠ECF，∵CF∴△ECF△BCF（），∴EF5、如圖，點是等邊△內(nèi)一點，BOC繞C按時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，接.已知∠AOB＝110°.(1)求證：△COD等邊三角形；(2)當(dāng)α＝150°時試判斷的狀，并說明理由；5

(3)探究：當(dāng)為少度時，△是等腰三角形．第5題圖(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得＝CD∠OCD＝60°∴△COD是等邊三角形；(2)解：當(dāng)α＝150°，即∠BOC＝150°，是角三角形．理由如下：∵△BOC△ADC，∴∠ADC∠BOC＝150°，又∵△是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；(3)解：分三種情況討論：①＝，∴AOD＝∠，∵∠AOD＝360°－∠AOB－∠－＝360°－110°－60°α＝190°α，＝－60°∴190°－＝－60°，∴＝125°②＝，∴∠OAD＝∠，∵∠AOD＝190°－，∠ADO＝α－60°，∴∠OAD＝180°－(AOD∠ADO＝50°∴－60°，∴＝110°③＝，∴∠AOD＝∠，∴190°－＝50°，∴＝140°綜上所述：當(dāng)α的數(shù)為125°110°140°時，△AOD等腰三角形．6.如①，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點落點E處交于點.(1)求證：△BDF等腰三角形；(2)如圖②點D作DG交于點接FG交于O.判斷四邊形BFDG的狀，并說明理由；（）（）基礎(chǔ)上，若＝，AD＝，求FG的．第6題圖6

(1)證明：由折疊的性質(zhì)可得，DBC＝∠，∵四邊形是矩形，∴∥，∴∠ADB∠DBC，∴∠DBF∠ADB，∴＝，∴△BDF是等腰三角形；(2)解：四邊形是菱形．理由：∵四邊形是矩形，∴∥，即DF∥BG∵∥，∴四邊形是平行四邊形，∵＝((1)中已證，∴平行四邊形是菱形；（）：∵矩形ABCD中AB＝，＝，A＝90°，∴＝AB＋AD＝，∵四邊形是菱形，∴⊥，＝，＝，OFAB∴＝，∴tanADB＝＝=ODAD15∴＝，415∴＝.2

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，7.如正方形的邊長是16點在上＝3點在BC上且與點，C重合將EBF沿EF折，得到eq\o\ac(△,)′F.(1)當(dāng)∠BEF＝45°，求證＝；(2)當(dāng)′D＝′時求的長；(3)求eq\o\ac(△,)′周的最小值．第7題圖(1)證明：如解圖①，第7題圖①當(dāng)∠BEF＝45°時，易知四邊形′是正方形，∴＝，∵＝，∴＝；7

＝，＝，＝，＝，(2)解：如解圖②，作′⊥于點，′的延長線交AD于點，作EG⊥于，則四邊形MNCD、四邊形AEGM都是矩形．第7題圖②∵′＝B′，∴∠B′＝∠B′CD，∵∠ADC∠BCD＝90°∴∠B′＝∠B′CN，∵∠B′＝∠B′NC＝90°，∴△B′≌△B′NC(AAS)，∴′＝B′＝，∵＝＝，∴′＝，在Rt△EGB中，＝EB′－′＝13－＝12，∵∠′＋′＝90°∠′＋∠B＝90°，∴∠′＝′，∵∠EGB＝∠FNB＝90°∴△EGB∽eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)′NF∴

EG′1213B′FB′8B′26∴＝′＝；3(3)解：如解圖③，以為心為半徑畫圓，連接，在Rt△EBC中，∠＝90°，＝13，＝16第7題圖③∴＝16＋13＝17，∵△CFB的周長＝＋′′＝＋′＝＋′＝16＋′∴欲求△CFB′的周長的最小值，只要求出′最小值即可，∵′＋EB′EC∴當(dāng)、′、C共線時，CB的值最小CB最小值是為517－13.∴△CFB的周長的最小值為3＋17.8.如，在eq\o\ac(△,Rt)中，∠ACB＝90°，＝6BC＝，點以每秒1個位長度的速度由點A向點勻速動，到達(dá)B點停止運動．，分別是AD，CD的中點，連接MN設(shè)點D運動的時間為.(1)判斷MN與的置關(guān)系；8

AFGEAD10AFGEAD10第8題圖(2)求在點D由點A向點B勻速運動的過程中，線段所掃過區(qū)域的面積；(3)若△是等腰三角形，求t的值．解：(1)∥.證明：在△中，是AD的中的點，∴∥；(2)如解①，分別取ABC三邊點E，，并連接，，第8題圖①根據(jù)題意，可知線段MN過區(qū)域的面積就是平行四邊形的面積．∵＝，BC，∴＝，GC，∵∠ACB＝90°，∴＝AEGC，∴線段MN掃過區(qū)域的面積為12111(3)依題意可知＝，DNDC，＝＝3.222分三種情況討論：(當(dāng)MD＝＝時△DMN等腰三角形，此時＝＝，∴＝6.(當(dāng)MD＝時＝.1如解圖②，過點D作⊥于點H，則＝AC＝，2第8題圖②AH∵cos＝＝，AB10，=6，AD36即＝.∴＝AD5.9

(當(dāng)DN＝＝時AC＝DC如解圖③，連接MC，則⊥AD.第8題圖③AM6∵cos＝＝，即＝，AC61018∴＝，536∴＝AD＝.536綜上所述，當(dāng)t＝或6或時△DMN等腰三角形．5類型三涉及探究類問題的幾何圖形的證明與計算9.如△中AC在BC上＝D在上接DEACB∠ADE＝180°，作CH⊥，垂足為H.(1)如圖①，當(dāng)ACB時連接，過點C作CF交的延長線于點F.①求證：＝；②請猜想三條線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；(2)如圖②當(dāng)∠ACB時三線段ADCH間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．第9題圖(1)①證明：∵ACB＋∠ADE＝180°，∴∠CAD∠CED＝360°－180°＝180°，∵∠CAD∠CAF＝180°，∴∠CAF∠CED，∵⊥，∠ACB＝90°，∴∠DCF∠ACB＝90°∵∠ECD°－∠ACD，∴∠ACF＝90°－∠＝∠ECD，在△AFC和△中＝ECD，＝CED∴△AFC△EDC(ASA)，∴＝；10

②解：＋＝CH【解法提示】由①得FA，AFC≌△，∴＝，∵⊥，∴∠CFD∠CDF＝45°∵⊥，∴＝＝，∴＝＋＝DE＋AD＝CH.(2)解：三條線段DE，AD之間的數(shù)量關(guān)系是＋＝3CH.證明：延長到，使＝ED連接CF，CD，解圖，∵∠ACB∠ADE＝180°，∴∠CAD∠CED＝360°－180°＝180°，第9題圖∵∠CAD∠CAF＝180°，∴∠CAF∠CED.在△AFC和△中＝，∴△AFC△EDC(SAS)，∴＝，∠ACF＝∠ECD∴∠FCD∠ACF＋ACD∠ECD＋ACD＝＝120°，∵＝，⊥DF111∴＝＝DF＝(AF＋AD＝(＋，2221∴∠HCD∠＝60°，2DH∴tan∠HCD＝＝3，CH∴＝3，∴＋＝＋AD＝DH＝3CH.10.△中，>AC為BC的中點，P，在線BC的同，PG⊥，直線與直線AC相交于點D，直與直線相交于點E，且∠＝2PBC.(1)當(dāng)點P在邊上時如①，與重，與A重，則線段與線段之的數(shù)量關(guān)系________________(2)當(dāng)點P在△ABC內(nèi)(如圖②時段與段CD有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；11

第10題解：(1)＝；【解法提示】∵⊥，BC中點；∴＝，∠PBC＝∠PCB∵∠APC∠PBC＋PCB∠PBC，BAC＝2∠PBC，∴∠APC∠PAC，∴＝，