第二章2節(jié)求導(dǎo)法則

二、反函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則第二節(jié)求導(dǎo)法則四、隱函數(shù)求導(dǎo)法則五、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法解決求導(dǎo)問(wèn)題的思路:(導(dǎo)數(shù)的定義)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明中利用了兩個(gè)重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題本節(jié)內(nèi)容一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理2.2的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x

可導(dǎo),且那么此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證:設(shè)

則故結(jié)論成立.例如：(2)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立。例2.解：推論:(C為常數(shù))例1.

求解：(3)同理可證.(略)

推論:例3.求解:例4.

求證證:類(lèi)似可證:小結(jié):解法一.法二.注在進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算中且也能提高結(jié)果的準(zhǔn)這樣使求導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單,盡量先化簡(jiǎn)再求導(dǎo),確性。例5.

二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.3y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),則例6.

求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解:1)設(shè)則類(lèi)似可求得,則2)設(shè)則特別當(dāng)時(shí),小結(jié):在點(diǎn)x

可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理2.4在點(diǎn)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x

可導(dǎo),例如：關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).也形象的稱為連鎖法則推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.例7.函數(shù)解:注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)完畢，最后用x的表達(dá)式替換掉中間變量u。例8.設(shè)求解:當(dāng)然，熟練以后可以不用寫(xiě)出中間變量，直接用整體的思想進(jìn)行求導(dǎo)。例9.

求下列導(dǎo)數(shù):解:(1)(2)u我們把這種結(jié)構(gòu)的函數(shù)叫做冪指函數(shù)，求解時(shí)通常都是取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)例10.設(shè)求解:注1：搞清函數(shù)的復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)和四則運(yùn)算結(jié)構(gòu)，分別按照各自的求導(dǎo)法則求導(dǎo)。將剛才的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式匯總?cè)缦吕?1.求解:先化簡(jiǎn)后求導(dǎo)幾個(gè)補(bǔ)充例題或練習(xí)練習(xí).求解:例12.設(shè)解:其中可導(dǎo),求注：這種抽象函數(shù)同樣的，弄清楚層次結(jié)構(gòu)，再利用求導(dǎo)法則來(lái)寫(xiě)出結(jié)果。顯函數(shù):因變量是由其自變量的表達(dá)式表達(dá)出來(lái).四、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則例如:故y是

x

的函數(shù).

但是有些函數(shù)，它們自變量與因變量的對(duì)應(yīng)法則是由一個(gè)方程所確定.例如：?jiǎn)栴}:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?令y=y(x),將方程F(x,y)=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)(注意y=y(x))(含導(dǎo)數(shù)的方程)定義2.5如果y與是

x

的函數(shù)關(guān)系是由方程F(x,y)=0則稱y是x的隱函數(shù)（implicitfunction）.隱函數(shù)求導(dǎo)法則:給出，解出例13.

求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)故切線方程為即例14.

求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:

方程兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)得因x=0時(shí)y=0,故確定的隱函數(shù)例15.解：解得

1.

求冪指型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)五、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)方法：②兩邊對(duì)x求導(dǎo)①兩邊取對(duì)數(shù)③解方程例16.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對(duì)數(shù),化為隱函數(shù)兩邊對(duì)x

求導(dǎo)例17.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對(duì)數(shù),化為隱函數(shù)兩邊對(duì)x

求導(dǎo)2.由若干個(gè)函數(shù)的積、商及方根組成的函數(shù)，也可以用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)兩邊對(duì)x

求導(dǎo)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)例18.

求的導(dǎo)數(shù).解：兩邊對(duì)x

求導(dǎo)練習(xí)求的導(dǎo)數(shù).解：兩邊取對(duì)數(shù)六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法若參數(shù)方程可確定一個(gè)

y

與

x之間的函數(shù)關(guān)系,可導(dǎo),則例19.求曲線所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：解：當(dāng)例20.求橢圓處的切線方程。橢圓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)M0的坐標(biāo)為處的切線方程：故橢圓化簡(jiǎn)得本節(jié)內(nèi)容總結(jié)一、函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則(C為常數(shù))二、反函數(shù)求導(dǎo)法則

本節(jié)內(nèi)容總結(jié)三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).四、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則令y=y(x),將方程F(x,y)=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)，解出本節(jié)內(nèi)容總結(jié)五、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求冪指型函數(shù)