第13講拓展六泰勒展開式與超越不等式在導數中的應用高頻精講

第13講拓展六：泰勒展開式與超越不等式在導數中的應用(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：泰勒（麥克勞林）展開式與數學文化 3高頻考點二：利用超越不等式比較大小 8高頻考點三：利用對數型超越放縮證明不等式 12高頻考點四：利用指數型超越放縮證明不等式 22第一部分：知識點必背1、泰勒公式形式：泰勒公式是將一個在處具有階導數的函數利用關于的次多項式來逼近函數的方法.若函數在包含的某個閉區(qū)間上具有階導數，且在開區(qū)間上具有階導數，則對閉區(qū)間上任意一點，成立下式：其中：表示在處的階導數，等號后的多項式稱為函數在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小量.2、麥克勞林(Maclaurin)公式雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取的特殊結果，由于麥克勞林公式使用方便，在高考中經常會涉及到.3、常見函數的麥克勞林展開式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、兩個超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）對數型超越放縮：（）上式（1）中等號右邊只取第一項得：結論①用替換上式結論①中的得：結論②對于結論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：（）結論③指數型超越放縮：（）上式（2）中等號右邊只取前2項得：結論①用替換上式結論①中的得：結論②當時，對于上式結論②結論③當時，對于上式結論②結論④第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：泰勒（麥克勞林）展開式與數學文化典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）偉大的數學家歐拉28歲時解決了困擾數學界近一世紀的“巴賽爾級數”難題．當時，，又根據泰勒展開式可以得到，根據以上兩式可求得（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，兩邊同時除以x，得，又展開式中的系數為，所以，所以．故選：A．例題2．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）計算器是如何計算，，，，等函數值的呢？計算器使用的是數值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數，通過計算多項式的值求出原函數的值，如，，其中，英國數學家泰勒發(fā)現了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得出的和的值也就越精確．運用上述思想，可得到的近似值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，，故.故選：．例題3．（2022·全國·高三專題練習）英國數學家布魯克泰勒，以發(fā)現泰勒公式和泰勒級數而聞名于世.根據泰勒公式，我們可知：如果函數在包含的某個開區(qū)間上具有階導數，那么對于，有，其中，（此處介于和之間）.若取，則，其中，（此處介于0和之間）稱作拉格朗日余項.此時稱該式為函數在處的階泰勒公式，也稱作的階麥克勞林公式.于是，我們可得（此處介于0和1之間）.若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余項，當不超過時，正整數的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由條件有，即因為，，所以的最小值為.故選：C.例題4．（2023·全國·高三專題練習）在高等數學中，我們將在處可以用一個多項式函數近似表示，具體形式為：（其中表示的次導數），以上公式我們稱為函數在處的泰勒展開式.(1)分別求，，在處的泰勒展開式；(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復數域，試證明：.（其中為虛數單位）；(3)若，恒成立，求的范圍.（參考數據）【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）解：因為函數在處的泰勒展開式為（其中表示的n次導數），所以，，在處的泰勒展開式分別為：，，；（2）證明：把在處的泰勒展開式中的替換為，可得，所以，即；（3）解：由在處的泰勒展開式，先證，令，，易知，所以在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增，所以，再令，，易得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，而，所以恒成立，當時，，所以成立，當時，令，，易求得，所以必存在一個區(qū)間，使得在上單調遞減，所以時，，不符合題意.綜上所述，.練透核心考點1．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大學附屬中學?？计谀┯嬎闫魇侨绾斡嬎恪?、、、等函數值的?計算器使用的是數值計算法，如，，其中，英國數學家泰勒（B．Taylor，1685-1731）發(fā)現了這些公式，可以看出，右邊的項用得超多、計算得出的和的值也就越精確，運用上述思想，可得到的近似值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.2．（2022秋·福建龍巖·高三上杭一中?？茧A段練習）蘇格蘭數學家科林麥克勞林(ColinMaclaurin)研究出了著名的Maclaurin級數展開式，受到了世界上頂尖數學家的廣泛認可，下面是麥克勞林建立的其中一個公式：，試根據此公式估計下面代數式的近似值為（）（可能用到數值）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據麥克勞林公式得：，所以由于.故的近似值為.故選：B.3．（2023秋·吉林·高一統(tǒng)考期末）英國數學家泰勒發(fā)現了如下公式：，，，其中．可以看出這些公式右邊的項用得越多，計算出、和的值也就越精確，則的近似值為______（精確到）；運用上述思想，可得到函數在區(qū)間內有______個零點．【答案】【詳解】，因為函數、在上均為增函數，所以，函數在上為增函數，因為，，由零點存在定理可知，函數在有且只有一個零點，故函數在上只有一個零點.故答案為：；.4．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學?？茧A段練習）記為函數的階導數且，若存在，則稱階可導．英國數學家泰勒發(fā)現：若在附近階可導，則可構造（稱為次泰勒多項式）來逼近在附近的函數值．據此計算在處的3次泰勒多項式為=_________；在處的10次泰勒多項式中的系數為_________【答案】

330【詳解】∵，∴，，∴，∴；∵，∴，，，…，，，∴，，，…，，，∴．故的系數為．故答案為：；330.高頻考點二：利用超越不等式比較大小典型例題例題1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，，即，，先證明，設，則，令，則；令，則，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即，即，所以，即，即.而，所以.故選：D.例題2．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）若，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】令函數，則．設，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，所以，則，則，所以在上單調遞增，所以，即．因為，所以，則，故．故選：D例題3．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，，，；，，設，則，在上單調遞減，，即，；綜上所述：.故選：A.練透核心考點1．（2023·陜西·校聯考模擬預測）設，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因為，令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即；令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，得，即，故.故選：A.2．（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）設，則（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】記，則，當時，，故在上單調遞增，所以，即，所以.1，故；記，則，當時，，故在上單調遞減，所以，即，所以，故；因此.故選：B.3．（2023春·湖北黃岡·高二湖北省紅安縣第一中學?？茧A段練習）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.設，則有，單調遞減，從而，所以，故，即，而，故有．故選：A．4．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】方法一：（構造函數）令，則，所以在上單調遞增，所以，即，所以，則，即；令，則，當時，；當時，；所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以（當且僅當時取等號），所以，即（當且僅當時取等號），所以，即，綜上所述：.故選：B.方法二：（帕德逼近），，，所以．故選：B.高頻考點三：利用對數型超越放縮證明不等式典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）設函數．(1)若在點處的切線斜率為，求a的值；(2)當時，求的單調區(qū)間；(3)若，求證：在時，．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【詳解】（1）解：函數，則，因為在點處的切線斜率為，所以，解得.（2）由（1）知：，當時，恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（3），令，則，因為，所以，則在上單調遞增，又，所以恒成立，即；令，，時，，時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，恒成立，即，所以，得證.例題2．（2023·貴州·校聯考二模）已知函數，.(1)當時，求證：在上單調遞減；(2)當時，，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：當時，，則，令，則在上單調遞減，且，且，，使.當時，，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，，，，，，在上單調遞減.（2）解：當時，，即（記為*）在上恒成立，令，，，要使（*）式在上恒成立，則必須，.下面證明當時，在上恒成立.，，.令，則，故當時，單調遞減；當時，單調遞增；∴，，當時，在上單調遞增，，即（*）式在上恒成立，另外一方面，當時，，∴存在，使得當時，，在上單調遞減，∴當時，，與題設矛盾，不成立.∴的取值范圍為.例題3．（2023春·湖北武漢·高二校聯考階段練習）已知函數，為函數的導函數.(1)求的圖象在處的切線方程；(2)求函數的零點個數；(3)若函數在區(qū)間上有最小值，其中為正整數，求的最小值.【答案】(1)(2)2個(3)【詳解】（1）因為函數，所以，又因為，所以，所以的圖象在處的切線方程為：，即.（2）由題意可知：，令，即，令，則，因為在上單調性遞減，且，所以當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減；又，，，，由零點存在性定理可知：函數在和上各有一個零點，也即函數在和上各有一個零點，故函數有兩個零點.（3）由（2）可知：使得，使得，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；當時，當時，且極小值，要使在區(qū)間上有最小值，則，由a為正整數，故，解得：，故實數的最小值為.例題4．（2023·全國·模擬預測）已知函數，(1)若，，試分析和的單調性與極值；(2)當時，、的零點分別為，；，，從下面兩個條件中任選一個證明．（若全選則按照第一個給分）求證：①；②.【答案】(1)結論見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）由已知，該函數的定義域為，所以，當時，，令，所以，所以，所以函數在上單調遞增，又，，所以存在，使得，當時，，當時，，所以當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，又，其中，所以為函數的極小值點，極小值為，函數沒有極大值點；由已知，該函數的定義域為，所以，設，則，所以函數在單調遞增，又，，所以存在，，使得，當時，，當時，，所以當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，又，所以為函數的極小值點，極小值為，函數沒有極大值點，（2）①由(1)可得，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，，且，又，所以函數有且僅有兩個零點，不妨設，則，，當時，，該函數的定義域為，所以，設，則，所以函數在單調遞增，又，，所以存在，，使得，當時，，當時，，所以當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，，，，，所以函數有兩個零點，不妨設，則，因為為的零點，所以，令，則，所以，所以，所以為函數的零點，又，所以，同理可得，所以，要證明，只需證明，只需證明，而，，所以，所以；②同①可得函數有且僅有兩個零點，設其較小零點為，因為，因為，故，所以，，則，，函數有兩個零點，設其較小零點為，則，要證明，只需證明，只需證明，設，則，只需證明，只需證明，設，，則，設，則，所以函數，即函數在上單調遞增，所以，，所以所以在上單調遞增，所以當時，，又，所以因為，所以，所以，所以，所以練透核心考點1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，．(1)若，求函數的單調區(qū)間．(2)若，①證明：函數存在唯一的極值點．②若，且，證明：．【答案】(1)函數的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間(2)①證明見解析；②證明見解析【詳解】（1）當時，函數，定義域為，在上恒成立，則函數在上單調遞增，所以函數的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間．（2）①函數的定義域為，則，．令，，則在上恒成立，所以函數在上單調遞減．因為，所以，，，，所以函數在上存在唯一零點．又當時，，即，函數單調遞增，當時，，即，函數單調遞減，所以函數在處取得極大值，即函數存在唯一的極值點．②由①知，，則，即，則（*），由，，知，又，即，則（**），（**）÷（*）得，令，則所以當時，單調遞減，所以當時，，即在上恒成立，所以，所以，則，即，即，即．2．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）已知函數.(1)當時，求的最大值；(2)若，，求a的取值范圍.【答案】(1)0(2)【詳解】（1）當時，，，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以.（2）由，得，根據減函數加減函數為減函數的結論易知在上單調遞減.①由（1）可知，當時，，符合題意.②當時，，，所以存在時，使得，故當時，，單調遞減，所以，不符題意，舍去.③當時，，，所以存在，使得，故當時，，單調遞減，.令，則，故在上單調遞減，所以，故，符合題意.綜上所述，a的取值范圍是.3．（2023春·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學?？茧A段練習）已知函數.(1)討論的單調性；(2)證明：當時，.【答案】(1)函數在上單調遞增(2)證明見解析【詳解】（1）函數的定義域為，，記，則，所以當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以，所以，所以函數在上單調遞增；（2）原不等式為，即，即證在上恒成立，設，則，所以，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，令，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，所以，且在上有，所以可得到，即，所以在時，有成立.高頻考點四：利用指數型超越放縮證明不等式典型例題例題1．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數.(1)若，求的極值；(2)若，，求證：.【答案】(1)極小值，沒有極大值(2)證明見解析【詳解】（1）解：當時，所以，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以時取得極小值，且極小值，沒有極大值.（2）要證：，時，，即證，設，則，設，則時，所以，即，所以，當且僅當時等號成立，所以在上是增函數，所以，即，即.例題2．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知．(1)若在上單調遞增，求的取值范圍，(2)證明：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析.【詳解】（1）由，可得，因為在上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，令，則在上恒成立，即在上單調遞減，所以，由在上恒成立，可得，所以實數的取值范圍為.（2）因為函數，，令，則，即時，，則單調遞增；即時，，則單調遞減；所以，即（當且僅當取等號），因為函數，，則，令，則，當時，，則函數單調遞增；當時，，則函數單調遞減；所以，即（當且僅當取等號），因為，且（當且僅當取等號），（當且僅當取等號），所以（兩個等號不同時成立這里反為大于號），令，即證，因額為，令，可得，所以，當時，，則函數單調遞減；當時，，則函數單調遞增；所以，所以，即當時，．例題3．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）設函數，．(1)當時，設，求函數的單調區(qū)間；(2)若函數有兩個零點，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）當b=0時，，又，故得，或①當，即時，恒成立∴的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②當，即時，由得，或，由得，∴的減區(qū)間為，，增區(qū)間為③當，即時，由得，或；由得，∴的減區(qū)間為，，增區(qū)間為綜上可得：當時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為；當時，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為.（2）方法一由已知可得：，當時，恒成立，∴在R上是增函數，至多一個零點，不合題意；當時，由得，此時：若，則，是減函數；若，則，是增函數∴由函數有兩個零點得：，解得當時，有∵∴在內有一個零點.令，則令，則在恒正∴在上單調遞增，故∴在上單調遞增，∴∴∴在內也有一個零點即當時，函數有兩個零點∴實數b的取值范圍為方法二由得：故有兩個零點等價于曲線與直線有兩個不同的交點∴當時，直線應在過點的曲線的切線的上方設過點的曲線的切線與曲線切于點則有，解得∴過點的曲線的切線方程為，∴當時，由，知在內有一個零點由直線上升與指數爆炸兩種增長形知，總存在正數m，當時有∴在內也有一個零點∴實數的取值范圍為方法三由得，當時等式不成立，故∴設，則當且時，，當時，∴在，內是減函數，在內是增函數，又當時，；當時，∴關于x方程有兩個不同的解的必要條件為又當時，若，或時均有∴當時，方程有兩個不同的解.∴實數b的取值范圍為.方法四由得，當b=0時等式不成立，故于是對變形得設，則當時，單調遞增；當時，單調遞減∴又當時，；當時當時，∴當且僅當時，直線與函數的圖象有兩個不同的交點∴時，函數有兩個零點∴實數b的取值范圍為例題4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)當時，證明：；(2)若為函數的極小值點，求實數的值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）當時，有，所以，要證，只需證，即證，設，則，令，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以，即，所以；（2），，，由，得，下面證明當時，是的極小值點．當時，，當且僅當時，，所以在上單調遞增，由知，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以是的極小值點，綜上可知，當是的極小值點時，的值為．練透核心考點1．（2023·山東·煙臺二中校聯考模擬預測）已知函數．(1)若是函數的極大