lingo matlab課件插值與擬合

插值

與

擬合2.擬合的基本原理；線性最小二乘擬合。3.面對一個實際問題，應該用插值，還是擬合。1.插值的基本原理；三種插值方法：拉格朗日插值，分段線性插值，三次樣條插值。2023年5月12日2插值問題的提法已知n+1個節(jié)點其中互不相同，不妨設求任一插值點處的插值節(jié)點可視為由產生,，表達式復雜,，或無封閉形式,，或未知.。2023年5月12日3求解插值問題的基本思路

構造一個(相對簡單的)函數(shù)通過全部節(jié)點,即再用計算插值，即2023年5月12日41.拉格朗日(Lagrange)多項式插值1.1插值多項式有唯一解2023年5月12日51.拉格朗日(Lagrange)多項式插值1.2拉格朗插值多項式又（2）有唯一解，故（3）與（1）相同。2023年5月12日61.拉格朗日(Lagrange)多項式插值1.5

拉格朗日插值多項式的振蕩ToMATLAB(runge)Runge現(xiàn)象:2023年5月12日72.分段線性插值xjxj-1xj+1x0xn計算量與n無關;n越大，誤差越小.2023年5月12日83.三次樣條插值2023年5月12日9插值方法小結拉格朗日插值（高次多項式插值）：曲線光滑；誤差估計有表達式；收斂性不能保證（振蕩現(xiàn)象）。用于理論分析，實際意義不大。1.對于n+1個節(jié)點，拉格朗日插值為什么用n次多項式，次數(shù)大于n或小于n會如何？另外，得到的Ln(x)次數(shù)會不會小于n？2.若產生n+1個節(jié)點的g(x)為m次多項式，Ln(x)與g(x)

的關系如何（m<n，m>n)？分段線性和三次樣條插值（低次多項式插值）：曲線不光滑（三次樣條插值已大有改進）；誤差估計較難（對三次樣條插值）；收斂性有保證。簡單實用，應用廣泛。思考3.樣條插值為什么用3次多項式，而不是2或4次？4.三次樣條插值中自然邊界條件的幾何意義是什么？2023年5月12日101.分段線性插值:已有程序

y=interp1(x0,y0,x)2.三次樣條插值:已有程序

y=interp1(x0,y0,x,’spline’)

或

y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值計算2023年5月12日11xy用MATLAB作插值計算機翼下輪廓線已知下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變0.1時的y值。ToMATLAB(myInter1.m)2023年5月12日12擬合問題實例1溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求600C時的電阻R。

設

R=at+ba,b為待定系數(shù)2023年5月12日13擬合問題實例2

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).半對數(shù)坐標系(semilogy)下的圖形2023年5月12日14曲線擬合問題的提法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個點（xi,yi)i=1,…n,

尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x),

使f(x)

在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii為點（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離2023年5月12日15曲線擬合問題最常用的解法——線性最小二乘法的基本思路

先選定一組函數(shù)

r1(x),r2(x),…rm(x),m<n,

令

f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)（1）其中

a1,a2,…am

為待定系數(shù)。

確定a1,a2,…am

的準則（最小二乘準則）：使n個點（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離i的平方和最小

。記

問題歸結為，求

a1,a2,…am

使

J(a1,a2,…am)

最小。2023年5月12日16線性最小二乘法的求解記當RTR可逆時，（4）有唯一解：2023年5月12日17線性最小二乘擬合思考2.為什么要規(guī)定m<n?如果m=n或m>n,會出現(xiàn)什么情況？1.{a1,…am}有唯一解1.怎樣選擇

{r1(x),…rm(x)}，以保證系數(shù){a1,…am}有唯一解？3.除了最小二乘準則你認為還可以用怎樣的擬合準則？比較起來，最小二乘準則有什么優(yōu)點？提示若m>n，有無窮多解。RTR可逆Rank(RTR)=mRank(R)=mR列滿秩{r1(x),…rm(x)}線性無關若m<n，超定方程組，無解；若m=n，R可逆時有唯一解;2.令f(xi)=yi

,i=1,…n(此時J=0)

得2023年5月12日18線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函數(shù){r1(x),…rm(x)}的選取

1.通過機理分析建立數(shù)學模型來確定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2x2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…n作圖，通過直觀判斷確定f(x)：f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=a1exp(a2x)f=a1exp(a2x)2023年5月12日19用MATLAB作線性最小二乘擬合1.作多項式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)輸入:數(shù)據(jù)x,y(同長度數(shù)組);m(擬合多項式次數(shù))輸出:系數(shù)a=[a1,…am,

am+1](數(shù)組)）。2.對超定方程組可得最小二乘意義下的解。仍用2023年5月12日20ToMATLAB(dianzu1)用MATLAB作線性最小二乘擬合溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032例.由數(shù)據(jù)擬合R=a1t+a21.用命令polyfit(x,y,m)得到a1=3.3940,a2=702.49182.直接用ToMATLAB(dianzu2)結果相同。2023年5月12日21擬合問題實例2給藥方案——問題：給藥方式—快速靜脈注射；一室（中心室）模型；血藥濃度變化規(guī)律；最小有效濃度和最大治療濃度。給藥方案：每次注射量多大；間隔時間多長。tc2cc101.藥物排除速率與血藥濃度成正比，比例系數(shù)

k(>0);2.血液容積v,t=0瞬時注射劑量d,血藥濃度立即為d/v.模型假設：2023年5月12日22擬合問題實例2給藥方案——由假設1，由假設2,若c1=10,c2=25(g/ml),

給藥方案設計歸結為根據(jù)數(shù)據(jù)(ti,ci)i=1,…n(d給定）擬合曲線c(t),以確定系數(shù)k,v.快速靜脈注射下一室模型的血藥濃度c(t)：給藥方案設計：cc2c10tctc002023年5月12日23擬合問題實例2給藥方案——血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)

t(h)0.250.51