數(shù)學(xué)：《平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示》課件

平面向量數(shù)量積復(fù)習(xí)1.已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為θ，則

a·b＝a

bcos.a·b稱為向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）.θ2.數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度a

與b在a的方向上的投影bcos的乘積.θ6.a·b≤a

b.3.a⊥b

a·b＝0.4.a·a＝a

2＝a2.

a·bab5.cos＝.θ復(fù)習(xí)題1已知：a＝4，b＝5，a·b＝10，求：a與b的夾角θ.θ

＝60°.解：設(shè)a與b的夾角為θ

，則cos＝＝,a·bab12θ復(fù)習(xí)題2已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求證：ABC是直角三角形.分析：先畫(huà)圖，ABCOxy

從圖中可知，∠A應(yīng)為90°，為證明∠A＝90°，只需證明

AB·AC＝0.復(fù)習(xí)題2已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求證：ABC是直角三角形.ABCOxy由AB·AC＝ABACcosA可知，為了證明AB·AC=0,需先得出cosA=0，需先證明∠A為90°，而這正是最終要證明的結(jié)論.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示新課

在坐標(biāo)平面xoy內(nèi)，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則

a·b＝x1x2＋y1y2.

即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.a·b＝x1x2＋y1y2證明：設(shè)x軸、y軸方向的單位向量分別是i、j，則a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋

x1y2i·j＋

y1x2j·i＋

y1y2j·j＝x1x2＋y1y2.已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求證：ABC是直角三角形.∴AB⊥AC.證明：

AB＝(3–2，2–1)＝(1，1),AC＝(–1–2，4–1)＝(–3，3),∵AB·AC＝1×(–3)＋1×3＝0,∴ABC是直角三角形.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,可得(1)若A、B坐標(biāo)分別為

(x1，y1)、(x2，y2)，則

|AB|

＝√(x1－x2)2＋(y1－y2)2(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則

a⊥b

x1x2＋y1y2＝0(a∥b(b≠0)x1y2－x2y1＝0)A(x1，y1)OxyB(x2，y2)(|AB|2

＝AB·AB=(x1－x2)2＋(y1－y2)2)例1已知a＝(1，√3)，b＝(–2，2√3),（1）求a·b；（2）求a與b的夾角θ.解：（1）a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;b

＝√(–2)2＋(2√3)2＝4,（2）a

＝√12＋(√3)2＝2,cos＝＝＝,42×4a·bab12θ∴＝60o.θ例2：已知a＝(5,0)，b＝(–3.2,2.4),

求證：(a＋b)⊥b

.證明：

∵(a＋b)·b

＝a·b＋b2

＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42

＝0，∴(a＋b)⊥b.例3：已知：A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2，0)、(4，2)、(0，4)，直線l過(guò)A、B兩點(diǎn)，求點(diǎn)C到l的距離.HOABCxyl分析一：如圖，

為求CH長(zhǎng)，由CH＝AH－AC可知，關(guān)鍵在于求出AH.

由AC·AB的幾何意義，AC·AB等于AB的長(zhǎng)度與AC在AB方向上的投影的乘積.

所以

AC·AB＝AH·AB.解：HOABCxyl∵AH與AB共線，∴可設(shè)AH＝mAB＝(2m，2m).AH·AB＝4m＋4m＝8m.由AC·AB=AH·AB，得

m＝.12AC＝(0–2，4–0)＝(–2，4)，AB＝(4–2，2–0)＝(2，2),AC·AB＝–2×2＋4×2＝4.CH=AH－AC＝(3，–3)，CH＝√32＋(–3)2＝3√2.即C點(diǎn)到直線l的距離為3√2.∴AH＝(2m，2m)=(1，1).HOABCxyl

為定H點(diǎn)坐標(biāo)(兩個(gè)未知數(shù))，

可利用H點(diǎn)在

l上，及CH⊥AB這兩個(gè)條件.分析二：HOABCxyl

若能確定H點(diǎn)坐標(biāo)，CH長(zhǎng)就易求了.練習(xí)：1.向量a、b夾角為θ,（1）a＝(3，－2)，b＝(1，1)，則a·b＝_________，cosθ

＝______.1（2）a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，則a·b＝_______，θ＝__________－10180o2.已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(，)，

B(－2，3)，C(0，1)，求證：ABC是直角三角形.1343|a|＝√13,|b|＝√2√2626小結(jié)：（1）掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和；（2）要學(xué)會(huì)運(yùn)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度及垂直問(wèn)題.今日作業(yè)（1）P121練習(xí);（2）P121習(xí)題5.7

第1、2、4、5題.;;orz25msr;來(lái)了。耿英說(shuō)：“想不到啊，姐夫照看小東伢還很內(nèi)行呢！”小青說(shuō)：“比我細(xì)致多了，交給他照看我很放心的！”東伢子憨憨地笑了，說(shuō)：“當(dāng)?shù)亩歼@樣啊，不用學(xué)的！”耿直說(shuō)：“看得出來(lái)，姐夫很喜歡娃兒，姐姐一定要多生幾個(gè)！”東伢子說(shuō)：“是一定要多生幾個(gè)呢。這不但是因?yàn)槲姨貏e喜歡娃兒，更重要的是我們倆承當(dāng)著雙重任務(wù)哪，白家王家都需要多多的后人！”小青恬怪地瞪他一眼：“誰(shuí)要你承當(dāng)雙重任務(wù)啦，好好兒地做你的牛馬就行了！”看著樂(lè)呵呵憨笑的東伢子，耿英笑得有點(diǎn)兒岔氣了。她捶著自己的胸脯，帶喘兒地說(shuō)：“我說(shuō)姐啊，你不好，你不好，怎么老欺負(fù)我姐夫呢？”耿正一本正經(jīng)地說(shuō)：“英子，這你就不懂了，這不是欺負(fù)……”耿直笑了，說(shuō)：“我們姐姐的意思是說(shuō)，‘東伢子哥哥，我愛(ài)你！’”又轉(zhuǎn)頭問(wèn)小青：“姐姐，我沒(méi)有說(shuō)錯(cuò)吧！”小青羞得要對(duì)耿直輪拳頭了，耿直趕快逃到東伢子背后?？葱∏鄾](méi)有追來(lái)，又跳到東伢子面前：“姐夫，你大聲地告訴我們，‘我很幸福！’”東伢子笑得更憨了，老老實(shí)實(shí)地說(shuō)：“我很幸福！”這一次，小青的拳頭真得落在了東伢子的肩膀上。耿直則拍著手說(shuō)：“打是親，罵是愛(ài)！姐姐終于承認(rèn)了！”看小青不再打了，耿直又拍著手說(shuō)：“看看，怎么樣，姐姐的意思是說(shuō)，‘東伢子哥哥，我愛(ài)你，我舍不得打你噢！’”小青終于明白自己上當(dāng)了，噘起小嘴說(shuō)：“好啊，你們?nèi)齻€(gè)合著伙兒欺負(fù)我！”耿英笑著說(shuō)：“姐啊，我們是在補(bǔ)著鬧洞房呢！”東伢子和小青幸福地相視而笑了。東伢子憨憨地對(duì)愛(ài)妻小青說(shuō)：“讓弟弟妹妹們鬧吧！不瞞你說(shuō)，咱們結(jié)婚那天，我心里還一直想著他們?nèi)齻€(gè)呢！”小青假裝生氣地噘起小兒嘴，說(shuō)：“哼，多虧了那天他們?nèi)齻€(gè)不在。若是在了，我還不被他們整得給羞死了！”耿英咬著小青的耳朵說(shuō)：“羞啥呢，看咱可愛(ài)的娃兒們，一個(gè)接著一個(gè)爭(zhēng)著往外出溜！”小青又要對(duì)耿英輪拳頭了，耿英趕快作揖告饒：“姐，你別真打啊！妹妹再也不敢了！哦，你嚇壞我了，我，我要上茅房……”小青趕快站起來(lái)說(shuō)：“姐陪你去！”東伢子關(guān)切地說(shuō)：“打上燈籠吧！”小青說(shuō)：“不用了，有我呢！