積分習(xí)題詳解第八章重

習(xí)題8-為(xy)的電荷，且(xy)在D上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷Q．D分成n個(gè)小閉區(qū)域i，其面積也記為i(i1,2,L,n其中max{的直徑

ni ni 設(shè)I

解 的體積；I表示底為Dzx2y23的曲頂柱體的體積．由于位于D

分，其中位于第一卦限的部分即為2．由此可知I14I2D

證 0 0 0 0 (xy)2d與(xy)3dD是由圓周(x2)2y1)22 ln(xy)d[ln(xy)]2dD是三角形閉區(qū)域，三頂點(diǎn)分別為 解(1)在積分區(qū)域D0xy1，故有(xy)3xy)2質(zhì)４，可得(xy)3d(xy)2 由于積分區(qū)域D位于半平面{(xy|xy1}D上有(xy)2(xy)3．從而(xy)2d(xy)3d. 由于積分區(qū)域D位于條形區(qū)域{(xy|1xy2}D上的點(diǎn)滿(mǎn)足0ln(xy1，從而有[ln(xy)]2ln(xy．因此[ln(xy)]2dln(x 由于積分區(qū)域D位于半平面{(xy|xye內(nèi)，故在D上有l(wèi)n(xy1[ln(xy)]2ln(xy．因此[ln(xy)]2dln(x

DDI(xy1)d其中Dxy0x1,0y2}D(4I(x24y29)d其中Dxyx2y2D解(1)在積分區(qū)域D0x10y1，從而0xy(xy2，又DD在積分區(qū)域D0sinx10siny1，從而0sin2xsin2y1，又D的面積等于π2，因此0sin2xsin2ydπ2.D在積分區(qū)域D0xy14D2，因此2(xy1)dD在積分區(qū)域D0x2y24，從而9x24y294(x2y2925,D的面積等于4π，因此36π(x24y29)dD習(xí)題8-

DDDxcos(xy)d其中D是頂點(diǎn)分別為(00(π0和(ππD1 1 1 y 解(1)(x2y2)ddx(x2y2)dyx2 dx(2x2)dx D

1 3

D可用不等式表示為0y3x,0x2 2dx2x(3x D

2(42x2x2)dx20 D1

10

dy0404

yy3)dy D可用不等式表示為0yx,0xπ

D D

DDD解(1)D可用不等式表示為x2 x,0x1，于xyd

ydy2 xdx

17

xy

(x4-x 6 D

3

D可用不等式表示為0 2y2，于 2 12 DD

xdx22y(4y)dy15 1xD1xy|x1yx1,0x1} 0exdxx1eydy1exdxx

2Dyxy,0y2，于是2

ydyy0

2y2 2 2 x 2 y2xdy y2dy

0 22

0 D(yxx2y1(x0x解(1)yxy24x的交點(diǎn)為(00)和(44) 4yI 4y 4將D用不等式表示為0 rxr，于是可將I化 如將D用不等式表示為r2y2 r2y2,0yr，于是可將I化 I f(x, r21三個(gè)交點(diǎn)為(1,1)、(2,1和(2,2)，于是I2dxfx(xy)dy1 將D 4 1I2dy4yf(x,y)dx1dy4yf(x, 4 4或

f(x,

1

1dy4xf(x,y)dy1dy4xf(x, 2 (2)0dyyf(x,y)dx 0 (4)1

ln

2解(1)所給二次積分等于二重積分f(xy)dDDxy|0xy,0y1}D可改寫(xiě)為{(xy|xy1,0x1} 原式0dxxf(x DD{(x,y)|y2x2y,0y2}，D可改寫(xiě)為{(x,y)|x x,0x4}，于2 2原式02

D1 1y2,0y1 1x1} 原式1 DDxy|2xy2xx2,1x2}D{(xy|2yx11y2,0y1} 11 原式 2DDxy|0ylnx,1xe}D可改寫(xiě)為{(xy|eyxe,0y1} 原式0dyeyf(x DD1{(x,y)|arcsinyxπarcsiny,0y1} 1y0πarcsin 2x3yz6xOy面上的閉區(qū)域Dxy|0y1,0x1}，頂是曲面z62x3y，因此所求立體的體積為 0000

D a解(1)D,|0a,02π}a

ππ}， 2 2 ,

,02 00 000xdxf(x, (2)2dx000x

(3)0 (4)0dx0f(x,y)dy解(1)yx將積分區(qū)域D分成D1、D2}D{(,)|0sec,0π}1D{(,)|0

ππ2

0原式4d

2d4

yx和 3x的方程分別是 π4。因此D,|02sec,

ππ} }

原式34

1,0π}2 原式2

sin2cos2，即tansec；兩者的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的方程是π4}D,|tansecsec,0π}4 原式4

0000

2axx(x2y2

(2)

x2y2dy00 00 (3)dx(x2y2)2 (4) 解(1)D,|02acos,0π}2 原式2

34}(2)D,|0asec,0π}22[422[原式

4

a π π}yx的方程是π，故D,|0tansec,0π} tansec 原式4

D{(,)|0a,022原式πda2 π2 D D

d，其中Dx

4，x 0，yx所解(1)D,|02,02π} 原式 dedπ(e4 (2)D,|12,0π}4原式

4

3DD1x2 D

1x2

d，其中Dx

(x2y2d，其中Dyxyxayay3a(a0)DD

解(1)Dxy|1yx,1x2}x x y2d1dx1y2dy4 }D,|01,0π}2

π

dπ π 11 11

2 0 0

(xy)d dy(xy)dx

(2aya )dy14a. }D,|01,0π}2 y0ykx(k0)z0以及球心在原點(diǎn)、半徑為R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體的體積（8-21）．解VR2x2y2d R22 a 習(xí)題8-

a2

1，

(1)0zxy,0y1x,0x1 I0dx0dy0f(x,y,1 1x1 1可用不等式表示為：x2 z2x2 1x2 1x11

0yb1

,0xa b I adycf(x,y, 10zxy,0yx,0x11

xy

z 1 x4 11 xdxxy4

x0

(1xyz)

，其中x0y0z0xyz1330z1xy,0y1x,0x1

1

1x

(1xy

2(1xy2(1xy

(1xy 00 00

2

00 1y 1xdx00 0

1x2y2,0 1x2,0x1，因

1x2y

11y

y

0 dy20x2(1x)4 11x(1-x2)2dx18 解可用不等式表示為：0z x2y 1x1，因 1 1

x

6

zh(R0,h0)x2x2解

hRx2 ,(hRx2 2dxdyh(xy

2

21 2

22h222

(xy)dxdy

hπR2

2R2

解(1)在xOy面上的投影區(qū)域 2z22,01,02π

1 d(2)d 2π 2 6 (2)x2y22zz2zx2y24，從而知xOy2 z2, 2, 2 (xy dd )d2π

12 解

0d0

(2)在球面坐標(biāo)系中，不等式x2y2za)2a2x2y2z22azπ.因此可表示為0r 0π 02π,于 ..

2acos

(x2y2dv，其中閉區(qū)域由不等式0

x2y2z2Az0(10z1,01,0π2 2sincosd3ddz x2y2z2z的方程為r2rcos，即rcos示為0rcos,0π,02π2x2y2z2dvr

d2

cosr3drππ π5z5,02,02π2(x2y2)dv2

2π 2可表示為arA,0π,02π2

d2sindr4dr 習(xí)題8-

a.解za2x2y2.z

, ,

2 1xy

ax ax

axA

1

ydxd

Daxπ πDa2 a2zx2y2z22x解

1x y1x y 2 2dxdy22d

Dx2z2R2A，則由1A 1

D

R dyD由 D是半橢圓形閉區(qū)域(xy|a2b21,y0 解(1)設(shè)質(zhì)心為(xy

2pxdy 0 0D

xdxdy

x

2px

2px0 D 2

0 1xdxdy3x 1 32 3y,故所求質(zhì)心為 5 8

y1ydxdy

ba2 a aA因此所求質(zhì)心為(0,4b

A A

2 2

2cosdacos2

故 2(ab) .所求質(zhì)心為2(ab) ,0．A A1解1 M 0xdxxydyM 1 D D

D 1x ,于是xMy35 yMx35.所求質(zhì)心為(35, 48解面密度 ax2y2)dy1 2

2y2

于是xMy2 yx2a.所求質(zhì)心為(2a, a2x2y2(Aa0),z0zx2y2,xya,x0,y0,z01z 1VV

VV

V2V2

12πd11(12)d3V 0 .3.(0,0,43z1zdv1rcosr2V V1 d2 3V

8(Aa{(x,y,z)|0xa,0yax,0zx2 1

0 6a 1 zdz30a 1 zdz5(a, 7(a, 解0r2Rcos,0π,02z軸對(duì)稱(chēng)，故可知其質(zhì)心位于zx

2π

2Rcos2

32π2rπ2rz1zdv

2π

2Rcos

5π2rMπ2r4 D(xy|a2b21，求Iy Dy29xx2所圍成，求I和I Iy

D

x2dxa

a a4b 上式 a (2)(2)

y

x,0

x2x2

2

I D

2 3 2 Iy

D2

2dy0 b

Ixydxdy

y Da

D 3D已知均勻矩形板(面密度為常量)的長(zhǎng)和寬分別為b和h，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò) y解I y2dxdy222 1y I x2dxdy 12xdx2 一均勻物體(密度為常量)占有的閉區(qū)域由曲面zx2y2和平面 a 8 解(1)V40dx0 dz40dx0(xy)dy40ax 3dx3a 4 4 a

2 7(2)zMzdvV0dx0 zdzV0dx02(x2xyy)dy15a Iz

(xy)dv

(xy 求半徑為a、高為h度1

(x,y,z)|xya,hzh(,,z)|02π,0a,hz a2I d a2

設(shè)面密度為常量 質(zhì)點(diǎn)引力F解dF F

R 2dR

3

R2G R

R2R22a2

R2a2

F

dGa2d πGaR2a2

由于D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且質(zhì)量均勻分布，故Fy F F 2R22R1 2,0,1 1 2 112121

R

R

R

R位于點(diǎn)M0(0,0,a)(ah)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力.解由柱體的對(duì)稱(chēng)性和質(zhì)量分布的均勻性知FxFy0zz30FG z dvz30

ha)dz 3 3G(z R2a2

R 3 00復(fù)習(xí)題設(shè)D是正方形區(qū)域{(x,y)|0x1,0y1}，則 .1 D是長(zhǎng)方形區(qū)域{(xy|axb0y1}yf(x)dxdy1Dba bD1

D若

1

x(

f(x,y)dx，那么區(qū)間[x(y),x(y)] 若

x( aa

,π Dykx(k0y0x1所圍成的三角形區(qū)域，且xy2dxdy1 k

B. 5

5設(shè)D1是正方形區(qū)域，點(diǎn)在(1,1)點(diǎn)，記

的內(nèi)切圓區(qū)域，的外接圓區(qū)域， e2yx2y2 )

I2 e2yx2y2

I3 e2yx2y2 B.I2I1 C.I3I1 I0 化為直角坐標(biāo)系下的二次積分，則I I1 B.I0 C.I1 D. 設(shè)D是第二象限內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域，而且0y11 I2 I3y2 A.I1I2 B.I2I1 C.I3I1 D.I3I2

x22

在1z2那部分曲面的面積的是

1x2y2d;1x2y2d.計(jì)算重積分exdxdy，其中Dx0,yexy2所圍成的區(qū)域D2解exdxdy2dylnyexdx2(y1)dy12 DD計(jì)算重積分y2dxdy，其中Dx2,yxxy1所圍成的區(qū)域D 1 2

D解y2dxdy2xD

ydy2(xx)dx4計(jì)算重積分(xy)dxdy，其中Dx2y22x2y22x所圍成的區(qū)域D解 (x 2d 2

2 42

2 (rcosrsin)rdrD

D是區(qū)域{(x,y)|x a2

1,y0}(a0,

Dy0,y1,yxyx2所圍成的區(qū)域 解(1)f(x,y)d f(x,y)dydy2f(x Daa

dxa0a

ab2dyby2b

2dx

11

y1y1

y y

D

f(x,y)dydxf(x,y)dy

D坐標(biāo)下的二次積分，其中積分區(qū)域D給定如下Dyxy0x1所圍成的區(qū)域 1 解(1)1dx1 0 0

0

f(x,y)dx2d

2

41441442 0d1

00(4)0dx0f(x,y)dy00

yf(x,

4

Df(x2y2D

D

π解f(xy)dπrf(r)dr

210 1

ln 1dx

0x2dx0x

0dx0f(x,y)dy1 (1)0dxxf(x 20

20dy 0dy1yf(x,a0a

10 1 2 1解(1) 1 4dcos 24

4 4

2

dxf(x,y)dy 用二重積分計(jì)算以下圖形D的面積Dyex,ye2xx1所圍成 e 解S

0

(e1)2DDy2xxy2所圍成解S

1

2ydx9 D

D由極坐標(biāo)下不等式ra(1cos及ra所確定 π2a2 2π 解解

z1x2y2z0 V(1x2y21x2y2)d2πd1(1r1r2)rdr7π (3)zx2y2xy1 1x 解

dx(xy 求均勻半圓環(huán)4x2 9x2的質(zhì)心解x

π

y 76 所以質(zhì)心為0, G,G π 解：Id2 22sindd 0 （1）:1x2,2y1,0z12π（3） x,y0,z0,x 2

dy π

dy

rdrr π

（1）0dx1x2dy0zxy (a0) （2）

xyzdza a

1解：（1）

2y2 2

z

π2π

（2） 2

xyzdz

R R 證明

復(fù)習(xí)題 y 0dy0 f(x)dx0(a DD{(x,y)|0xy,0ya}