泰勒公式課件

二、幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式節(jié)

一、泰勒公式三、泰勒公式的應(yīng)用泰勒(Taylor)公式章2021/5/91一、泰勒公式當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)相當(dāng)復(fù)雜時(shí),為了計(jì)算它在一點(diǎn)x=x0時(shí)，是比高階的無窮小.附近的函數(shù)值或描繪曲線f(x)在一點(diǎn)P(x0,f(x0))附近的形狀時(shí),我們希望找出一個(gè)關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式函數(shù)近似表示f(x)且當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/92首先確定多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)假定f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到這樣,對(duì)Pn(x)

求各階導(dǎo)數(shù),然后分別代入以上等式得即得(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，并且要求滿足條件：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/93把所求得的系數(shù)代入得其次證明是較顯然,Rn(x)在(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，且據(jù)此重復(fù)使用洛必達(dá)法則，可推得高階無窮小機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/94時(shí)，是比高階的無窮小.即當(dāng)Rn(x)于是f(x)可表示機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/95一、問題的提出機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/96（如下圖）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/97不足之處問題:1、精確度不高2、誤差不能估計(jì)。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/98機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點(diǎn)相交2021/5/99機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/910三、泰勒(Taylor)中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/911定理:泰勒(Taylor)中值定理有①其中②則對(duì)于任一

如果f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/912特例:當(dāng)n=0

時(shí),泰勒公式變成拉格朗日中值定理公式①稱為f(x)按(x-x0)的冪展開的帶有拉格朗日型公式②稱為拉格朗日型余項(xiàng)

.余項(xiàng)的n

階泰勒公式

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/913拉格朗日形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/914注:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/915二、幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式上述公式稱為f(x)的麥克勞林(Maclaurin)公式.因此可令在泰勒公式中取從而泰勒公式變?yōu)檩^簡(jiǎn)單的形式,即其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/916故例1:求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開式.所以機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/917其中令n=2m，于是有例2:求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開式.所以

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/918類似地,可得其中其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/919其中以上介紹的幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林展開式，在應(yīng)用中經(jīng)常遇到，應(yīng)該熟記！機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/920三、泰勒公式的應(yīng)用1.求較為復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林展開式或泰勒展開式例3:求解:因?yàn)橛?/p>

的麥克勞林展開式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/921機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/922例4:求函數(shù)解:因?yàn)?/p>

處的泰勒展開式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/923即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/924解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9252.在近似計(jì)算中的應(yīng)用例5:利用的8階麥克勞林展開式計(jì)算e的近似值,并估計(jì)誤差.解:取n=8，進(jìn)行計(jì)算得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/926其誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/927五、小結(jié)2021/5/928五、小結(jié)2021/5/929五、小結(jié)2021/5/930五、小結(jié)2021/5/931五、小結(jié)2021/5/9322021/5/9332021/5/9342021/5/9352021/5/9362021/5/9372021/5/9382021/5/9392021/5/940