MATLAB中的矩陣與向量運算

MATLAB中的矩陣與向量運算MATLAB中的矩陣與向量運算/NUMPAGES26MATLAB中的矩陣與向量運算MATLAB中的矩陣與向量運算4.1數(shù)組運算和矩陣運算

從外觀形狀和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來看,二維數(shù)組和數(shù)學中的矩陣沒有區(qū)別.但是,矩陣作為一種變換或映射算符的體現(xiàn),矩陣運算有著明確而嚴格的數(shù)學規(guī)則.而數(shù)組運算是MATLAB軟件所定義的規(guī)則,其目的是為了數(shù)據(jù)管理方面,操作簡單,指令形式自然和執(zhí)行計算有效.所以,在使用MATLAB時,特別要明確搞清數(shù)組運算和矩陣運算的區(qū)別.表列出了兩種運算指令形式的實質(zhì)內(nèi)涵的異同.數(shù)組運算和矩陣運算指令形式和實質(zhì)內(nèi)涵

數(shù)組運算矩陣運算

指令含義指令含義

A.'非共軛轉(zhuǎn)置A'共軛轉(zhuǎn)置

A=s把標量s賦給數(shù)組A的每個元素

s+B把標量s分別與數(shù)組B的每個元素相加s-B,B-s標量s分別與數(shù)組B的元素之差

s.*A標量s分別與數(shù)組A的元素之積s*A標量s分別與矩陣A的元素之積

s./B,B.\s標量s分別被數(shù)組B的元素除s*inv(B)矩陣B的逆乘標量s

A.^n數(shù)組A的每個元素的n次方A^nA為方陣時,矩陣A的n次方

A+B數(shù)組對應元素的相加A+B矩陣相加

A-B數(shù)組對應元素的相減A-B矩陣相減

A.*B數(shù)組對應元素的相乘A*B內(nèi)維相同矩陣的乘積

A./BA的元素被B的對應元素除A/BA右除B

B.\A一定與上相同B\AA左除B(一般與右除不同)

exp(A)以e為底,分別以A的元素為指數(shù),求冪expm(A)A的矩陣指數(shù)函數(shù)

log(A)對A的各元素求對數(shù)logm(A)A的矩陣對數(shù)函數(shù)

sqrt(A)對A的積各元素求平方根sqrtm(A)A的矩陣平方函數(shù)

從上面可以看到,數(shù)組運算的運算如:乘,除,乘方,轉(zhuǎn)置,要加"點".所以,我們要特別注意在求"乘,除,乘方,三角和指數(shù)函數(shù)"時,兩種運算有著根本的區(qū)別.另外,在執(zhí)行數(shù)組與數(shù)組運算時,參與運算的數(shù)組必須同維,運算所得的結(jié)果數(shù)組也是總與原數(shù)組同維.

4.2數(shù)組的基本運算

在MATLAB中,數(shù)組運算是針對多個數(shù)執(zhí)行同樣的計算而運用的.MATLAB以一種非常直觀的方式來處理數(shù)組.點轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置

.'——點轉(zhuǎn)置.非共軛轉(zhuǎn)置,相當于conj(A').

>>a=1:5;

>>b=a.'

b=

1

2

3

4

5

>>c=b.'

c=

12345

這表明對行向量的兩次轉(zhuǎn)置運算便得到原來的行向量.

'——共軛轉(zhuǎn)置.對向量進行轉(zhuǎn)置運算并對每個元素取其共軛.如:

>>d=a+i*a

d=

Columns1through3

1.0000+1.0000i2.0000+2.0000i3.0000+3.0000i

Columns4through5

4.0000+4.0000i5.0000+5.0000i

>>e=d'

e=

1.0000-1.0000i

2.0000-2.0000i

3.0000-3.0000i

4.0000-4.0000i

5.0000-5.0000i純量(標量)和數(shù)組的四則運算

純量和數(shù)組之間可以進行簡單數(shù)學運算.如:加,減,乘,除及其混合運行.

>>g=[1234

5678

9101112]

>>g=g-2

g=

-1012

3456

78910

>>2*g-1

ans=

-3-113

57911

13151719數(shù)組間的四則運算

在MATLAB中,數(shù)組間進行四則運算時,參與運算的數(shù)組必須具有相同的維數(shù),加,減,乘,除運算是按元素與元素的方式進行的.其中,數(shù)組間的加,減運算與矩陣的加,減運算要同,運算符為:"+","-".但是,數(shù)組間的乘,除運算與矩陣間的乘,除運算完全不同,運算符號也有差別,數(shù)組間的乘,除運算符為:".*","./"或".\".

1.數(shù)組按元素相加,減>>g=[1234

5678

9101112]

>>h=[1111;2222;3333]

>>g+h%按元素相加

ans=

2345

78910

12131415

>>ans-h%按元素相減

ans=

1234

5678

9101112

>>2*g-h%混合運算

ans=

1357

8101214

15171921

2.按元素乘

>>g.*h

ans=

1234

10121416

27303336

3.按元素除

數(shù)組間的除法運算符有兩個,即左除:"./"和右除:".\",它們之間的關(guān)系是:

a./b=b.\a

>>g./h

ans=

1.00002.00003.00004.0000

2.50003.00004.10004.0000

3.00003.33333.66674.0000

>>h.\g

ans=

1.00002.00003.00004.0000

2.50003.00004.10004.0000

3.00003.33333.66674.0000冪運算

在MATLAB中,數(shù)組的冪運算的運算為:".^",表示每一個元素進行冪運算.

>>g.^2%數(shù)組g每個元素的平方

ans=

14916

25364964

81100121144

>>g.^(-1)%數(shù)組g的每個元素的倒數(shù)

ans=

1.00000.50000.33330.2500

0.20000.16670.14290.1250

0.11110.10000.09090.0833

>>2.^g%以g的每個元素為指數(shù)對2進行乘方運算

ans=

24816

3264128256

512102420484096

>>g.^h%以h的每個元素為指數(shù)對g中相應元素進行乘方運算

ans=

1234

25364964

729100013311728

>>g.^(h-1)

ans=

1111

5678

81100121144數(shù)組的指數(shù),對數(shù)和開方運算

在MATLAB中,所謂數(shù)組的運算實質(zhì)是是數(shù)組內(nèi)部每個元素的運算,因此,數(shù)組的指數(shù),對數(shù)和開方運算與標量的運算規(guī)則完全是一樣的,運算符函數(shù)分別為:exp(),log(),sqrt()等.

>>a=[134;265;324];

>>c=exp(a)

c=

2.718320.085554.5982

7.3891403.4288148.4132

20.08557.389154.5982

>>

數(shù)組的對數(shù),開方運算與數(shù)組的指數(shù)運算,其方式完全一樣,這里不詳述.

4.3向量運算

對于一行或一列的矩陣,為向量,MATLAB有專門的函數(shù)來進行向量點積,叉積和混合積的運算.向量的點積運算

在高等數(shù)學中,我們知道,兩向量的點積指兩個向量在其中一個向量方向上的投影的乘積,通常用來定義向量的長度.在MATLAB中,向量的點積用函數(shù)"dot"來實現(xiàn),其調(diào)用格式如下:

C=dot(A,B)——返回向量A與B的點積,結(jié)果存放于C中.

C=dot(A,B,DIM)——返回向量A與B在維數(shù)為DIM的點積,結(jié)果存放于C中.

>>A=[24531];

>>B=[38101213];

>>C=dot(A,B)

C=

137

>>C=dot(A,B,4)

C=

632503613向量的叉積運算

在高等數(shù)學中,我們知道,兩向量的叉積返回的是與兩個向量組成的平面垂直的向量.在MATLAB中,向量的點積用函數(shù)"cross"來實現(xiàn),其調(diào)用格式如下:

C=cross(A,B)——返回向量A與B的叉積,即:,結(jié)果存放于C中.

C=cross(A,B,DIM)——返回向量A與B在維數(shù)為DIM的叉積,結(jié)果存放于C中.

>>A=[245];

>>B=[3810];

>>C=cross(A,B)

C=

0-54向量的混合運算

>>D=dot(A,cross(B,C))

D=

41

上例表明,首先進行的是向量B與C的叉積運算,然后再把叉積運算的結(jié)果與向量A進行點積運算.

4.4矩陣的基本運算

如果說MATLAB的最大特點是強大的矩陣運算功能,此話毫不為過.事實上,MATLAB中所有的計算都是以矩陣為基本單元進行的.MATLAB對矩陣的運算功能最全面,也是最為強大的.矩陣在形式上與構(gòu)造方面是等同于前面所述的數(shù)組的,當其數(shù)學意義卻是完全不同的.

矩陣的基本運算包括矩陣的四則運算,矩陣與標時的運算,矩陣的冪運算,指數(shù)運算,對數(shù)運算,開方運算及以矩陣的逆運算,行列式運算等.矩陣的四則運算

矩陣的四則運算與前面介紹的數(shù)組的四則運算基本相同.但也有一些差別.

1.矩陣的加減

矩陣的加,減與數(shù)組的加,減是完全相同的,運算時要求兩矩陣的大小完全相同.

>>a=[12;35;26];

>>b=[24;18;90];

>>c=a+b

c=

36

413

116

2.矩陣的相乘

對于矩陣的乘法,從線性代數(shù)中,我們知道,要求進行相乘的兩矩陣有相同的公共維.如:

>>a=[12;35;26];

>>b=[241;890];

>>c=a*b

c=

18221

46573

52622

設(shè)A矩陣為一個階的矩陣,則要求與之相乘的B矩陣必須是一個階,得到矩陣是階的.即,只有當?shù)谝粋€矩陣(左矩陣)的列數(shù)等于第二個矩陣(右矩陣)的行數(shù)時,兩個矩陣的乘積才有意義.

3.矩陣的除法

對于矩陣的除法有兩個運算符號,分別為左除符號"\"和右除符號"/".矩陣的右除運算速度要慢一點,而左除運算可以避免奇異矩陣的影響.

對于方程,若此方程為超定的方程,則使用除法可以自動找到使的平方最小化的解.若此方程為不定方程,則使用除法運算符至少求得的解至多有rank(A)(矩陣A的秩)個非零元素,而且求得的解是這種類型的解中范數(shù)最小的一個.

>>a=[213420;57820;211417;343138];

>>b=[10203040]';

>>x=b\a

x=

0.76671.18670.8767

上面方程是超定方程.要注意的:結(jié)果矩陣x是列向量形式.如果,

>>a=[2134205;78202114;17343138];

>>b=[102030]';

>>x=b\a

x=

1.62861.25711.10711.0500

上面的方程為不定方程.

4.矩陣與標量間的四則運算

矩陣與標量的四則運算和數(shù)組與標量間的四則運算完全相同,即矩陣中的每個元素與標量進行加,減,乘,除四則運算.需要說明的是,當進行除法運算時,標量只能做除數(shù).

5.矩陣的冪運算

矩陣的冪運算與標量的冪運算不同.用符號"^",它不是對矩陣的每個元素進行冪運算,而是與矩陣的某種分解有關(guān).

>>b=[213420;782021;173431];

>>c=b^2

c=

343320741754

355537662631

353623122015

6.矩陣的指數(shù),對數(shù)運算與開方運算

矩陣的指數(shù)運算,對數(shù)運算與開方運算與數(shù)組相應的運算是不同的.它并不是對矩陣中的單個元素的運算,而是對整個矩陣的運算.這些運算函數(shù)如下:

expm,expm1,expm2,expm3——指數(shù)運算函數(shù);

logm——對數(shù)運算函數(shù);

sqrtm——開方運算函數(shù).

>>a=[134;265;324];

>>c=expm(a)

c=

1.0e+004*

0.46680.76940.9200

0.79191.30651.5613

0.48070.79190.9475

>>c=logm(a)

c=

0.5002+2.4406i0.5960-0.6800i0.7881-1.2493i

0.4148+0.4498i1.4660-0.1253i1.0108-0.2302i

0.5780-1.6143i0.4148+0.4498i1.0783+0.8263i

>>c=sqrtm(a)

c=

0.6190+0.8121i0.8128-0.2263i1.1623-0.4157i

0.3347+0.1497i2.3022-0.0417i1.1475-0.0766i

1.0271-0.5372i0.3347+0.1497i1.6461+0.2750i

7.矩陣的轉(zhuǎn)置,逆運算與行列式運算

矩陣的轉(zhuǎn)置的運算符為"'".求逆用運算函數(shù):inv().而用函數(shù):det()則可求的矩陣行列式的大小.

>>a=[120;25-1;410-1];

>>c=a'

c=

124

2510

0-1-1

>>b=inv(a)

b=

52-2

-2-11

0-21

>>d=det(a)

d=

1

4.5矩陣的特殊運算

矩陣的特殊運算包括矩陣特征值運算,條件數(shù)運算,奇異值運算,范數(shù)運算,秩運算,正交化運算,跡運算,偽逆運算等,這些運算,MATLAB都可以非常方便地給出.矩陣的特征值運算

在線性代數(shù)中,計算矩陣的特征值過程相當復雜.而在MATLAB中,矩陣特征值運算只需用函數(shù)"eig()"或"eigs()"計算即可得到.其使用格式如下.

E=eig(X)——生成由矩陣X的特征值所組成的一個列向量;

[V,D]=eig(X)——生成兩個矩陣V和D,其中V是以矩陣X的特征向量作為列向量組成的矩陣,D是由矩陣X的特征值作為主對角線元素構(gòu)成的對角矩陣.

eigs()函數(shù)使用迭代法求解矩陣的特征值和特征向量.

D=eigs(X)——生成由矩陣X的特征值所組成的一個列向量.X必然是方陣,最好是大型稀疏矩陣;

[V,D]=eigs(X)——生成兩個矩陣V和D,其中V是以矩陣X的特征向量作為列向量組成的矩陣,D是由矩陣X的特征值作為主對角線元素構(gòu)成的對角矩陣.

>>a=[120;25-1;410-1];

[b,c]=eig(a)

b=

-0.2440-0.91070.4472

-0.33330.33330.0000

-0.9107-0.24400.8944

c=

3.732100

00.26790

001.0000矩陣(向量)的范數(shù)運算

為了反映了矩陣(向量)某些特性,線性代數(shù)中引入了范數(shù)的概念,它分為2-范數(shù),1-范數(shù),無窮范數(shù)和Frobenius范數(shù)等.在MATLAB中,用函數(shù)norm()或normest()計算矩陣(向量)的范數(shù).其使用格式如下.

norm(X)——計算矩陣(向量)X的2-范數(shù);

norm(X,2)——同上;

norm(X,1)——計算矩陣(向量)X的1-范數(shù);

norm(X,inf)——計算矩陣(向量)X的無窮范數(shù);

norm(X,'fro')——計算矩陣(向量)X的Frobenius范數(shù);

normest(X)——只計算矩陣(向量)X的2-范數(shù);并且是2-范數(shù)的估計值,適用于計算norm(X)比較費時的情況.

>>X=hilb(4)

X=

1.00000.50000.33330.2500

0.50000.33330.25000.2000

0.33330.25000.20000.1667

0.25000.20000.16670.1429

>>norm(4)

ans=

4

>>norm(X)

ans=

1.5002

>>norm(X,2)

ans=

1.5002

>>norm(X,1)

ans=

2.0833

>>norm(X,inf)

ans=

2.0833

>>norm(X,'fro')

ans=

1.5097

>>normest(X)

ans=

1.5002矩陣的條件數(shù)運算

矩陣的條件數(shù)是判斷矩陣"病態(tài)"程度的一個量值,矩陣A的條件數(shù)越大,表明A越"病態(tài)",反之,表明A越"良態(tài)".如Hilbert矩陣就是一個有名的病態(tài)矩陣.

cond(X)——返回矩陣X的2-范數(shù)的條件數(shù);

cond(X,P)——返回矩陣X的P-范數(shù)的條件數(shù),其中P為1,2,inf或fro;

rcond(X)——用于計算矩陣條件數(shù)的倒數(shù)值,當矩陣X為"病態(tài)"時,rcond(X)就接近0,X為"良態(tài)"時,rcond(X)就接近1.

condest(X)——計算關(guān)于矩陣X的1-范數(shù)的條件數(shù)的估計值.

>>M=magic(3)

M=

816

357

492

>>H=hilb(4)

H=

1.00000.50000.33330.2500

0.50000.33330.25000.2000

0.33330