第五章 圖像卷積

章圖像卷積2021/5/91■卷積定理■卷積運算的性質■卷積的應用■典型函數(shù)的傅立葉變換■離散余弦變換2021/5/92§5.1卷積定理■卷積定理的意義Q卷積分Q卷積的幾何意義Q卷積的物理意義■卷積定理Q一維卷積定理Q二維卷積定理Q卷積定理的特例——相關定理2021/5/93§5.1.1.1卷積分離散形兩個函數(shù) f(x)和g(x)的卷積記做f(x)*g(x)卷積公式f(a)g(x

a)daf(x)

g(x)

M1m0Mf(x)

g(x)

1

f(m)g(x

m)2021/5/94§5.1.1.2卷積的幾何意義f()g(x1-)f()f()10-x1(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)g(-)g(-x1-)g(2x1-)g(3x1-)g(4x1-)x1 2x13x14x15x12f(x)*g(x)1/

2g(5x1-)2021/5/95北京大學遙感所§5.1.1.3卷積的物理意義線性系統(tǒng)線性（linearity)對同時作用的幾個激勵（輸入）的響應（輸出），恒等于每個激勵單獨引起的響應之和，這種現(xiàn)象稱為線性。設對某個特定系統(tǒng)，輸入x1(t)經系統(tǒng)后輸出y1(t)即：x1(t)€y1(t)而對另一輸入x2(t)輸出為y2(t)即：x2(t)€)y2(t)則系統(tǒng)的線性性質可以表示為下式：x1(t)+x2(t)€y1(t)+y2(t)2021/5/96§5.1.1.3卷積的物理意義h(t) H(u)線性系統(tǒng)圖示:輸入 f（t）信號 Fg（t）輸出G（u）信號傳遞函數(shù)、沖擊響應（u）g(t)

f(x)*h(x)線性系統(tǒng)G(u)

F(u)H(u)2021/5/97§5.1.1.3卷積的物理意義空間不變的線性系統(tǒng)假設對某線性系統(tǒng)，有：f(x，y)€g(x，y)空間位置由x，y變到了m，n的位置處，則有下式成立：f(x-m，y-n)€g(x-m，y-n)即輸出函數(shù)的形狀不變，僅僅引起輸出函數(shù)位置相對應的移動，則該系統(tǒng)稱為空間不變的線性系統(tǒng)。2021/5/98§5.1.1.3卷積的物理意義??

??

g(x2,y2)

?

f(

,)

(x1

,y1)dd?光學成像系統(tǒng)就是這樣的一個空間不變的線性系統(tǒng)。等暈系統(tǒng)線性系統(tǒng)的疊加性使我們有可能把一個復雜激勵的響應用最簡單的脈沖函數(shù)來表示。f(x,y)

f(

,)

(x

,y

)ddf(x1,y1)

f(

,

)

(x1

,y1

)dd

2021/5/99北京大學遙感所§5.1.1.3卷積的物理意義

f(

,)h(x2

,y2)ddg(x2,y2)h(x2

,y2)

{

(x1

,y1)}h(x2

,y2)稱為系統(tǒng)的沖擊響應、脈沖響應，在光學成像系統(tǒng)中稱為系統(tǒng)的點擴散函數(shù)由于f(

,)是加在基元函數(shù)

(x1

,y1)上的權重因子所以，g(x2,y2)

f(

,

)

{

(x1

,y1

)}dd如果用符號 h(x2

,y2)表示系統(tǒng)在輸出平面上的(x2,y2)對輸入平面上 函數(shù)的響應，則有：2021/5/910§5.1.1.4卷積定理■一維卷積時域表示yt

ht*xt

x

ht

d頻域表示Ys

Hs

Xs2021/5/911§5.1.1.4卷積定理f（x）

g(x)

F（u）

G(u)卷積定理頻域卷積定理f（x）

g(x)

F（u）

G(u)2021/5/912§5.1.1.4卷積定理二維卷積的表達式：

h(x,y)

f

g

f(u,v)g(x

u,y

v)dudv2021/5/913§5.1.1.5卷積定理的特例—相關定理相關用表示，定義如下:描述的是兩個函數(shù)圖形的相似程度，當完全相同時，相關函數(shù)就會出現(xiàn)一個相關峰值。f(x）○g(x)f(x）○g(x)

f(a)g(x

a)da2021/5/914§5.1.1.5卷積定理的特例—相關定理相關定理：f(x）

○g(x)

F(u)G(u)f(x）○g(x)

F*(u)G(u)2021/5/915§5.2卷積運算的性質■交換性■加法的分配律■結合律■卷積的平滑性質■卷積的擴散性質2021/5/916§5.2卷積運算的性質交換性加法的分配律結合律f

g

g

ff

g

f(t

xg(xdx

g

ff(g

h)

f

g

f

hf(g

h)(f

g)

h2021/5/917§5.2卷積運算的性質■平滑性質是指兩個函數(shù)卷積的結果使得每個函數(shù)的精細結構都會被平滑，一些尖峰和峽谷都趨于圓滑；■擴散性質指的是卷積結果的區(qū)間擴大性：兩個只在有限區(qū)間有定義的函數(shù)之卷積，卷積結果的區(qū)間線度等于兩個函數(shù)區(qū)間線度之和。若結果表示光能量分布的話，分布范圍的增加就意味著能量分布的擴散。2021/5/918§5.3卷積的應用■ 去卷積我們可以用一個卷積去除另一個卷積影響的技術叫作去卷積。即去除不需要的，但已對圖像施加了的線性系統(tǒng)的影響。一個實例即利用卷積恢復由于透鏡系統(tǒng)或運動所造成的模糊，這兩種影響都認為是由線性系統(tǒng)帶來的。■ 去除噪聲即去掉線性疊加在圖像上的噪聲信號。■ 特征增強以消弱景物中的其它為代價來增強指定特征（如邊、點）的對比度。2021/5/919§5.4典型函數(shù)的傅立葉變換■δ函數(shù)■矩形函數(shù)■三角函數(shù)■抽樣函數(shù)2021/5/920§5.4.1δ函數(shù)函數(shù)是重要的數(shù)學分析工具?？梢员硎緵_擊量、點光源、點電荷等。用來對任一個復雜物函數(shù)進行“脈沖分割”將其分解成點基元的線性組合。(x)2021/5/921§5.4.1δ函數(shù)

0

(x)lim

(x)

0

(x)lim

(x)112

x?0 other?

(x)

?性質：篩選性：

(x)

(x

a)dx

(a)對任意連續(xù)函數(shù)（x）,有

(x)

(x)dx

(0)或2021/5/922§5.4.1δ函數(shù)傅立葉變換為1F(u)u全頻域范圍內變換，因此，控制域內分析采用此沖擊信號，可得到物體各頻率的變化2021/5/923§5.4.2矩形函數(shù)定義rect(x)?121212?1 x?0 x ?

1rect(x)

?

2 x x傅立葉變換:sinc(

)2021/5/924北京大學遙感所§5.4.3三角函數(shù)011定義? 0?1

x x1x1(x)

?傅立葉變換sinc2(

)2021/5/925§5.4.3抽樣函數(shù)….….s(x)1/u x1/u0….….S(u)u u0comb(x)

(x

n)ncomb(

)2021/5/926§5.5離散余弦變換離散余弦變換(DiscretecosineTransform)簡稱DCT任何連續(xù)的實對稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項，因此余弦變換與傅里葉變換一樣有明確的物理量意義。DCT是先將整體圖像分成N×N像素塊，然后對N×N像素塊逐一進行DCT變換。實對稱f(x)=f(-x)，所以有f(x)e

j2uxdxF(u)

f(x)cos(2ux)dx

j

f(x)sin(2ux)dxf(x)cos(2ux)dx

2021/5/927§5.5離散余弦變換存在如下變換對f(x)Re(u)

f(x)cos(2ux)dxN－1N－1N－1N－1 N－1N－1 N－100對圖像進行褶翻操作產生對稱場N－1002021/5/928§5.5離散余弦變換■ 二維正變換：??

?

???

cos?N1N1x0y02N2N?

(2y1)v??

(2x1)u?Gc(u,v)

(u)

(v)

f(x,y)cos????

???

cos?N1N1u0v02N2N?

(2y1)v??

(2x