初三升高一資料

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

若一元二次方程af+bx+c=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

-b+y/b2-4ac-b-yjb2-4ac

x,=------------------,x,=-------------------,

'2a2a

則有________________

-b+db?-4ac-b-yjb2-4ac-2bb

x,+Xj=-------------------1--------------------------=-------=—；

2a2a2aa

_-h+y/h2-4ac-h-y/h2-4ac_h2-(/?2-4ac)_4ac_c

122a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

bc

如果ax2+〃x+c=0(。羊0)的兩根分別是Xi，x,那么勺+*2=---->xrx=—.這一

2a2a

關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.

特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程f+px+q=O,若X”9是其兩根，由韋

達(dá)定理可知

X]~\~X2=—p,X\'X2~CJf

即P=一(了1+歷)，C]=X\'X2f

所以，方程x2+px+q=0可化為f—(X]+X2)X+X「X2=0,由于X|,尤2是一元二次方程

F+/zr+q=O的兩根，所以，X],必也是一元二次方程f-+x2)x+xrX2=0.因此有

以兩個(gè)數(shù)X”*2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是

2

X—(X|+x2)x+xi-X2=0.

例2已知方程5元2+丘-6=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及k的值.

例3已知關(guān)于x的方程x2+2(m—2)X+W+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方

和比兩個(gè)根的積大21,求m的值.

例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個(gè)數(shù).

例5若兩和應(yīng)分別是一元二次方程2?+5X-3=0的兩根.

(1)求|xi—X2I的值；(2)求——H---r的值；(3)xj+x2'

心

例6若關(guān)于x的一元二次方程X2-X+?-4=0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

練習(xí)

1.選擇題：

(1)方程尤2-2血5+3公=0的根的情況是()

(A)有一個(gè)實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)沒有實(shí)數(shù)根

(2)若關(guān)于x的方程+(2機(jī)+l)x+機(jī)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍是O

(A)(B)m>一，

44

(C)m<.—,且加/)(D)m>——,且

44

2.填空：

(1)若方程f—3x—1=0的兩根分別是為和M，則'+'■=.

玉

(2)方程加/十%—2機(jī)=0(m#0)的根的情況是.

(

3)以-3和1為根的一元二次方程是.

3.已知Ja2+8a+i6+|b—1|=0,當(dāng)k取何值時(shí)，方程太/+辦+匕=。有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根？

4.已知方程f—3x—1=0的兩根為xi和必，求但一3)(M—3)的值.

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)y=a/+〃x+c的圖象和性質(zhì)

情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖

（1）y-X2（2）y=-x2（3）y=x?+2x-3

問題1函數(shù)y=32與），=』的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

為了研究這一問題，我們可以先畫出y=2f,y=；/，y=-2?的圖象，通過這些函數(shù)圖

象與函數(shù)y=f的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)），=以2與丫=/的圖象之間所存在的關(guān)系.

先畫出函藪y=x\y=2f的圖象.

先列表：

X-3-2-10123

X29410149

2x2188202818

從表中7R難看出，要得到2/的值，只要把方目應(yīng)的f的值擴(kuò)大兩倍就可以了.

再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y=Ey=2f的圖象（如圖2—1所示），從圖2—1我們

可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y=2?的圖象可以由函數(shù)>=*2的圖象各點(diǎn)的縱

坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?

同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y=-2f的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)

圖象與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系.

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論:

二次函數(shù)y=af（存0）的圖象可以由j=x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到.在二

次函數(shù)y=a/（a/））中，二次項(xiàng)系數(shù)?決定了圖象的開口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開口的

大小.

問題2函數(shù)y=a（x+h）2+k與的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系.同學(xué)們可以

作出函數(shù)），=2。+1y+1與y=2f的圖象（如圖2—2所示），從函數(shù)的同

學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2?的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平

移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y=2（x+1）2+1的圖象.這兩個(gè)函數(shù)圖象之

間具有“形狀相同，位置不同'’的特點(diǎn).

類似地，還可以通過畫函數(shù)y=-3，，y=-3（x-l）2+l的圖象，研究它們

圖象之間的相互關(guān)系.

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y=Q（x+%）2+?a#））中,a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向;

h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“正左移，h負(fù)右移”；k決定了

二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“正上移，A負(fù)下移”.

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)）="2+/+?*0）的圖象的方

法：

由于y=ax2+%x+c=a（f+—x）+c=a（x2+—x+—

aa4a-4a

.h、2b2-4ac

U五）十一^

所以，），="+云+?#0）的圖象可以看作是將函數(shù)尸加的圖象作左右平移、上下平移得

到的，于是，二次函藏yjf+bx+c伍翔）具有下列性質(zhì)：

h4〃/、—h~

（1）當(dāng)Q>0時(shí)，函數(shù)）="2+"+。圖象開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（--,—■——）,對(duì)稱

2a4〃

軸為直線工=-2;當(dāng)xV-2時(shí)，y隨著x的增大而減小；當(dāng)x＞-2時(shí)，），隨著x的

2a2a2a

h4ac—

增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值y=.

2a4a

h4〃，、一

（2）當(dāng)〃VO時(shí)，函數(shù)9="2+"+。圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-一,-------）,

2a4〃

hhh

對(duì)稱軸為直線當(dāng)xV-2時(shí)，），隨著X的增大而增大；當(dāng)工＞-2時(shí)，），隨著

2a2a2a

h4dc—b~

x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值y=.

2a4a

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2.2—3和圖2.2—4直觀地表示出來.因此，在

今后解決二次函數(shù)問題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.

例1求二次函數(shù)＞=一3/-6x+l圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值）,

并指出當(dāng)x取何值時(shí)，），隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數(shù)的圖象.

例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y

（件）之間關(guān)系如下表所示:

"元130150165

W件705035

例3把二次函數(shù)yuf+fov+c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y

=工2的圖像，求b,c的值.

例4已知函數(shù)y=x2,-22,其中一2,求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取

最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值.

練習(xí)

1.選擇題：

(1)下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是()

(A)y=2f(B)y=2，-4x+2(C)y=2?-l(D)y^2x2~4x

(2)函數(shù)y=2(x-iy+2是將函數(shù)y=2j()

(A)向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的

(B)向右平移2個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的

(C)向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的

(D)向上平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的

2.填空題

(1)二次函數(shù)y=2/一圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—2),則m=,n—.

(2)已知二次函數(shù)y=』+(機(jī)—2)x—2"i,當(dāng)機(jī)=時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)/n=時(shí)，

函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)，w=時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn).

(3)函數(shù)y=-3(x+2)2+5的圖象的開口向，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)工=時(shí)?，函數(shù)取

最值y=；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減小.

3.求下列拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大(小)值及y隨x的變化情況，并

畫出其圖象.

⑴y=f—2x—3；(2)y=l+6x—

4.已知函數(shù))，=—2x+3,當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最

小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大(小)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：

(1)爛一2；(2)爛2；(3)-2<x<l；(4)0<r<3.

2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式

通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：

1.一般式：j=ax2+Z>x+c(a^O)；

2.頂點(diǎn)式：y=a(x+h)2+k(a^O),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一A,k).

除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示.為了研究另一種表示方式，我們

先來研究二次函數(shù)juaf+bx+cQiO)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)拋物線)=。./+以+。(存0)與x軸相交忖，其函數(shù)值為零，于是有af+bx+c=O.①

并且方程①的解就是拋物線y=ax2+/,x+c(a#))與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為零)，于

是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y=ax2+bx+c(今0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方

程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式有關(guān)，由此可知，拋物線丫=狽2+法

+c(a#))與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式A=62—4ac存在下列關(guān)系：

(1)當(dāng)A>0時(shí)，拋物線y=ar2+〃x+c(a/D與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過來，若拋物線

+"+c(存0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則A>0也成立.

(2)當(dāng)A=0時(shí)，拋物線y=or2+Z>x+c*0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)(拋物線的頂點(diǎn))；反過來，

若拋物線》=—+卮+凌@0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則A=()也成立.

(3)當(dāng)AV0時(shí)，拋物線y=or2+bx+c(a#))與x軸沒有交點(diǎn)；反過來，若拋物線y=ax2

+bx+c("O)與x軸沒有交點(diǎn)，則A<0也成立.

于是，若拋物線)，=以2+法+。(存0)與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)4卬0),8(X2,0),則X1，X2是方程

ax2-]~hx+c=0的兩根，所以

bchc

X]+12=---，X]X2=—，即一=一(Xi-F%2)9—=X\X2?

aaaa

一o2bC2

所以，y=ax+bx+c=a(xH—x-\—)=a[x—(x\+x2)x+x\X2]=a(x—x\)(x—X2)?

aa

由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論：

若拋物線y=ax2+8x+c(a#))與x軸交于A(x”0),B(x2,0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可

以表示為j=a(x—X|)(x—x2)(a^O).

這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：

3.交點(diǎn)式：y=a(x—xi)(x—*2)(日第)，其中x”省是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、

交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來解題.

例1已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點(diǎn)在直線y=x+l上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,

-1),求二次函數(shù)的解析式.

例2已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(-3,0),(1,0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2,求此二次函

數(shù)的表達(dá)式.

例3已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(一1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

練習(xí)

1.選擇題：

(1)函數(shù)y=-f+x—1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)無法確定

(2)函數(shù)y=-^(x+iy+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(-1,-2)

2.填空：

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(diǎn)(-1,0)和(2,0),則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)

為y=a(a加).

(2)二次函數(shù))，=一/+24x+1的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為.

3.根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.

(1)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),(0,—3),(-1,-6)；

(2)當(dāng)x=3時(shí);函數(shù)有最小值5,且經(jīng)過點(diǎn)(1,11)；

(3)函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1-?啦，0)和(1+&,0),并與)，軸交于(0,-2).

2.2.3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用

一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換

1.平移變換

問題1在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來研

究二次函數(shù)的圖象平移？

我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象

的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象

的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可.

例1求把二次函數(shù)y=f—4x+3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)

解析式：

（1）向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；

（2）向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位.

2.3.1二元二次方程組、簡單的二元二次方程組的解法

一、知識(shí)概述

1、二元二次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫二元二次方程.

關(guān)于x、y的二元二次方程的一一般形式為ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0（a、b、c至少有

一個(gè)不為0），其中ax2、bxy、cy2叫做二次項(xiàng)，a、b、c分別是二次項(xiàng)的系數(shù)；dx、ey叫做

一次項(xiàng)，d、e分別是一次項(xiàng)的系數(shù)；f叫做常數(shù)項(xiàng).

例，xy=l,x2—y=0,x—y—2xy=-3都是二元二次方程；x—y=l,x2y=0都不是二元

二次方程.

2、二元二次方程組

由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組組成的方程組,或者由兩個(gè)二元二次方程組

成的方程組叫二元二次方程組.

3、解二元二次方程組的思想和方法

解二元二次方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，將二元轉(zhuǎn)化為一元，將二次轉(zhuǎn)化為一次，轉(zhuǎn)化

的基本方法是“消元”和"降次因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方

程組的關(guān)鍵.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)突破

1、由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的解法（簡稱“二型方程組）

（1）代入消元法（即代入法）

代入法是解"二?一''型方程組的一般方法，具體步驟是：

①先將方程組中的二元一次方程變形，用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)；

②把所得的代數(shù)式代入另一個(gè)方程中，使其轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程或一元一次方程;

③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；

④把所求的未知數(shù)的值代入第一步所得的關(guān)系中求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

⑤寫出方程組的解.

（2）逆用根與系數(shù)關(guān)系定理法

x+-

對(duì)，，二.一，，型二元二次方程組成的形如{的方程組,可以根據(jù)一元二次方程根與

系數(shù)的關(guān)系，把x、y看成一元二次方程z2-az+b=0的兩個(gè)根，解這個(gè)方程，求得的zl和

z2的值，就是x,y的值，當(dāng)xl=zl時(shí)，yl=z2；當(dāng)x2=z2時(shí)，y2=zl,所以原方程組的解是

兩組“對(duì)稱解”.

2、對(duì)“二?一”型的二元二次方程組的解的情況的判別

“二.一,，型的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解有三種情況：有一解、兩解和沒有解.把一元?

次方程代入二元二次方程，消去?個(gè)未知數(shù)之后，得到?個(gè)一元二次方程.由根的判別式可

知，解的情況可能是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解或無實(shí)數(shù)解，這樣的二元二

次方程組的解也就相應(yīng)地有三種情況.簡言之，有一個(gè)二元一次方程的二元二次方程組的實(shí)

數(shù)解的情況，一般可通過一元二次方程的根的判別式來判斷.

3、“二?二”型方程組的解法

解，，二.二，，型方程組的基本思想仍是，，轉(zhuǎn)化，，，轉(zhuǎn)化的方法是“降次”、“消元”.它的一般解

法是：

(1)當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二

元一次方程分別與原方程組中的另?個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二?型方程組，解這兩個(gè)

“二.一,，型方程組，所得的解都是原方程組的解.

(2)當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次

方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程分別與第二個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元

一次方程組成方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都

是原方程組的解.

4、“二?二”型方程組的解的情況

若卜蛇。■卜■。產(chǎn)一。產(chǎn)勺制劃砌"

[OD-O[<7-O-[D-0[a-0[D-

山同一個(gè)二元二次方程化成的兩個(gè)二元一次方程一般不能組成方程組.

值得注意的是“二?一''型方程組最多有兩個(gè)解；"二?二''型方程組最多有四個(gè)解.解方程組

時(shí)，既不要漏解，也不要增解.

三、解題方法技巧點(diǎn)撥

1、“二?一”型二元二次方程組的解

=0(D

例1、解方程組+4V*?！鯥?

『-/-I

2(D

例3、解方程組1gtyJ-畢-那-3=Q

②

例4、解方程組11+4。+爐.[②

練習(xí)

解方程組

⑴卜J2盯一y2=o

07)2-30-m_18=0；

x2+2xy+y2=4

⑵(x-y),+5x-5y=6

2.3.2一元二次不等式的解法

1、一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系.

2、一元二次不等式的解法步驟.

一一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax?+bx+c<0（?去0）的解集：

設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax?+8x+c=0（。H0）的兩根為X]、￡且為《々，A=Z?2-4ac,

則不等式的解的各種情況如下表:

A>0A=0A<0

y=ax2+/?x+cy=ax2+bx+cy=ax2+"+c

二次函數(shù)

廿”uu

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

----X

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+〃x+c=0b

X]5x2（x]<x2）…二一五無實(shí)根

(a>0明根

2

ax+bx+c>0b

{x|x<$或X>X2}<xx----J

(a>0)的解集[2aR

ax2+bx+c<0

卜卜<X<x

2}0

(。>0)的解集0

例1解不等式：

(1)X2+2X—3<0；(2)x—X2+6<0；

(3)4X2+4X+1>0；(4)6X+9W0；

(5)-4+x-?<0.

例2解關(guān)于x的不等式Y(jié)一》一。僅一1）〉0

例3已知不等式公2+"+，<0（。。0）的解是尤<2,或x>3求不等式以2+公+，〉0的

解.

練習(xí)

1.解下列不等式：

(1)3x2—%-4>0；(2)X2—X—12<0；

(3)X2+3X-4>0：(4)16-8X+X2<0.

2.解關(guān)于x的不等式X2+2X+1-/a（a為常數(shù)）.

作業(yè)：

1.若O<a<l,則不等式（x—a）（x—工）<0的解是（）

a

A.a<x<—B.—<jt<d

aa

C.x>—或x<aD.x<—或x>a

aa

2.如果方程af+bx+匕=0中，aVO,它的兩根的,冗2滿足修〈才2，那么不等式”之+必+辦

<0的解是.

3.解下列不等式：

(1)3X2-2X+1<0；(2)3?-4<0；

(3)2X-X2>~1；(4)4-X2<0.

(5)4+3X-2X2>0;(6)9X2-12X>-4;

4.解關(guān)于x的不等式，一（1+“加+。<0（“為常數(shù)）.

5.關(guān)于x的不等式a/+bx+c<0的解為x<-2或x>-■求關(guān)于x的不等式

2

ax2-bx+c>0的解.

§1.1.1集合的含義與表示（1）

卷學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系；

2.能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受

集合語言的意義和作用；

3.掌握集合的表示方法、常用數(shù)集及其記法、集合元素的三個(gè)特征.

心學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

（預(yù)習(xí)教材/TR,找出疑惑之處）

討論：軍訓(xùn)前學(xué)校通知：8月15日上午8點(diǎn)，高一年級(jí)在體育館集合進(jìn)行軍訓(xùn)動(dòng)員.試問

這個(gè)通知的對(duì)象是全體的高一學(xué)生還是個(gè)別學(xué)生？

引入：在這里，集合是我們常用的一個(gè)詞語，我們感興趣的是問題中某些特定(是高一而不

是高二、高三)對(duì)象的總體，而不是個(gè)別的對(duì)象，為此，我們將學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念——集合，

即是一些研究對(duì)象的總體.

集合是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一，許多重要的數(shù)學(xué)分支都建立在集合理論的基礎(chǔ)上,

它還滲透到自然科學(xué)的許多領(lǐng)域，其術(shù)語的科技文章和科普讀物中比比皆是，學(xué)習(xí)它可為參

閱一般科技讀物和以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)備必要的條件.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X探索新知

探究1：考察幾組對(duì)象：

①1?20以內(nèi)所有的質(zhì)數(shù)；

②到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)；

③所有的銳角三角形；

(4)x2,3x+2,5y3-x,x2+y2；

⑤東升高中高一級(jí)全體學(xué)生；

⑥方程/+3x=0的所有實(shí)數(shù)根；

⑦隆成日用品廠2008年8月生產(chǎn)的所有童車；

⑧2008年8月，廣東所有出生嬰兒.

試回答：

各組對(duì)象分別是一些什么？有多少個(gè)對(duì)象？

新知1：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素(element)，把一些元素組成的總體叫做集合

(set).

試試1：探究1中①?⑧都能組成集合嗎，元素分別是什么？

探究2：“好心的人”與“1,2,1”是否構(gòu)成集合？

新知2：集合元素的特征

對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，是互異的，是無序的，即集合元素三特征.

確定性：某一個(gè)具體對(duì)象，它或者是一個(gè)給定的集合的元素，或者不是該集合的元素，兩

種情況必有一種且只有一種成立.

互異性：同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.

無序性：集合中的元素沒有順序.

只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們稱這兩個(gè)集合.

試試2：分析下列對(duì)象，能否構(gòu)成集合，并指出元素：

①不等式x-3>0的解；

②3的倍數(shù)；

③方程*2-2x+l=0的解；

④a,b,c,x,y,z；

⑤最小的整數(shù)；

@周長為10面的三角形；

⑦中國古代四大發(fā)明；

⑧全班每個(gè)學(xué)生的年齡；

⑨地球上的四大洋；

⑩地球的小河流.

探究3：實(shí)數(shù)能用字母表示，集合又如何表示呢？

新知3：集合的字母表示

集合通常用大寫的拉丁字母表示，集合的元素用小寫的拉丁字母表示.

如果a是集合力的元素，就說a屬于(belongto)集合4記作：aG4；

如果a不是集合4的元素，就說a不屬于(notbelongto)集合/,記作：ae4

試試3：設(shè)8表示“5以內(nèi)的自然數(shù)”組成的集合，則580.58,OB,-1B.

探究4：常見的數(shù)集有哪些，又如何表示呢？

新知4：常見數(shù)集的表示

非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)：全體非負(fù)整數(shù)組成的集合，記作N；

正整數(shù)集：所有正整數(shù)的集合，記作N*或N；

整數(shù)集：全體整數(shù)的集合，記作Z；

有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合，記作Q；

實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合，記作R.

試試4：填G或6：ON,OR,3.7N,3.7Z,一石Q,73-72R.

探究5：探究1中①?⑧分別組成的集合，以及常見數(shù)集的語言表示等例子，都是用自然語

言來描述一個(gè)集合.這種方法語言文字上較為繁瑣，能否找到一種簡單的方法呢？

新知5：列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來，這種表示集合的方法叫做列舉

法.

注意：不必考慮順序，“，”隔開；a與{a}不同.

試試5：試試2中，哪些對(duì)象組成的集合能用列舉法表示出來，試寫出其表示.

派典型例題

例1用列舉法表示下列集合：

①15以內(nèi)質(zhì)數(shù)的集合；

②方程式/-1)=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

③一次函數(shù)y=x與y=2x7的圖象的交點(diǎn)組成的集合.

變式：用列舉法表示“一次函數(shù)y=x的圖象與二次函數(shù)y=Y的圖象的交點(diǎn)”組成的集合.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

①概念：集合與元素；屬于與不屬于；②集合中元素三特征；③常見數(shù)集及表示；④列舉

法.

X知識(shí)拓展

集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.1874年康托爾提出“集合”的概念：

把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個(gè)整體，就稱為一

個(gè)集合,其中各事物稱為該集合的元素.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中

最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生II.

卷學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.下列說法正確的是（）.

A.某個(gè)村子里的高個(gè)子組成一個(gè)集合

B.所有小正數(shù)組成一個(gè)集合

C.集合｛1,2,3,4,5｝和｛5,4,3,2,1｝表示同一個(gè)集合

D.1,0.5,3￡這六個(gè)數(shù)能組成一個(gè)集合

224V4

2.給出下列關(guān)系：

①g=R;②也史Q;③卜3|eM；④卜叫e。.

其中正確的個(gè)數(shù)為（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.直線y=2x+l與y軸的交點(diǎn)所組成的集合為（）.

A.｛0,1｝B.｛（0,1）｝

c.｛-|,0｝D.｛（-1,0）｝

4.設(shè)力表示“中國所有省會(huì)城市”組成的集合，則：

深圳小廣州4（填G或名）

5.“方程V-3x=0的所有實(shí)數(shù)根”組成的集合用列舉法表示為.

0課后作業(yè)

1.用列舉法表示下列集合：

（1）由小于10的所有質(zhì)數(shù)組成的集合;

(2)10的所有正約數(shù)組成的集合；

(3)方程x2-10x=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合.

2.設(shè)xGR,集合A=｛3,x,--2x｝.

(1)求元素x所應(yīng)滿足的條件；

(2)若-2eA,求實(shí)數(shù)x.

§1.1.1集合的含義與表示(2)

4學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系；

2.能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受

集合語言的意義和作用.

3.掌握集合的表示方』、常用數(shù)集及其記法、集合元素的三個(gè)特征.

心學(xué)習(xí)過程

?例箭準(zhǔn)入

(薪習(xí)教材月~&找出疑惑之處)

復(fù)習(xí)1:一般地，指定的某些對(duì)象的全體稱為.其中的每個(gè)對(duì)象叫作.

集合中的元素具備、、特征.

集合與元素的關(guān)系有、.

復(fù)習(xí)2：集合4=，+2》+1｝的元素是，若164則產(chǎn).

復(fù)習(xí)3：集合｛1,2｝、｛(1,2)｝、｛(2,1)｝、｛2,1｝的元素分別是什么？四個(gè)集合有何關(guān)系？

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

思考：

①你能用自然語言描述集合{2,4,6,8}嗎？

②你能用列舉法表示不等式戈-1<3的解集嗎？

探究：比較如下表示法

①{方程Y-1=0的根}:

②{-1,1}；

③{xeR\x2-1=0}.

新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法，一般形式為{xwA|P},其

中x代表元素，尸是確定條件.

試試：方程工2-3=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合，用描述法表示為.

X典型例題

例1試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

(1)方程1)=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.

練習(xí)：用描述法表示下列集合.

(1)方程V+4x=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;

(2)所有奇數(shù)組成的集合.

小結(jié)：

用描述法表示集合時(shí)，如果從上下文關(guān)系來看，xeR,xeZ明確忖可省略，例如

{x\x=2k-1,keZ},{x|x>0}.

例2試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

(1)拋物線y=V-i上的所有點(diǎn)組成的集合;

3x+2y=2

(2)方程組解集.

2x+3y=27

變式：以下三個(gè)集合有什么區(qū)別.

(1)｛(x,y)|>'=x2-l｝；

(2)｛y\y=x2-\｝；

(3)｛x|y=x2-l｝.

反思與小結(jié)：

①描述法表示集合時(shí),應(yīng)特別注意集合的代表元素,如｛(x,y)|y=x2-l｝與3y=/一1｝不

同.

②只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如｛x|x>l｝,｛x|x=3k,keZ｝.

③集合的｛｝已包含“所有”的意思，例如：｛整數(shù)｝,即代表整數(shù)集Z,所以不必寫｛全體

整數(shù)｝.下列寫法｛實(shí)數(shù)集｝,｛R｝也是錯(cuò)誤的.

④列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，?般集合

中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法.

X動(dòng)手試試

練1.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯希捍笥?的所有奇數(shù).

練2.已知集合4="|-3<*<3/€2｝,集合8=｛(“，)|)，=丁+1戶”｝.試用列舉法分別

表示集合4、B.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.集合的三種表示方法（自然語言、列舉法、描述法）；

2.會(huì)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯希?/p>

X知識(shí)拓展

1.描述法表示時(shí)代表元素十分重要.例如：

（1）所有直角三角形的集合可以表示為：｛x|x是直角三角形｝,也可以寫成：｛直角三角形｝;

（2）集合｛（x,y）\y=x12+li與集合｛y\y=x2+l］是同一個(gè)集合嗎？

2.我們還可以用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個(gè)集合，即：文氏圖，或稱癡〃圖.

卷學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.設(shè)4=｛xeN|14x<6｝,則下列正確的是（）.

A.6"B.0"

C.3e4D.3.5gA

2.下列說法正確的是（）.

A.不等式2x-5<3的解集表示為｛x<4｝

B.所有偶數(shù)的集合表示為｛x|x=2k｝

C.全體自然數(shù)的集合可表示為｛自然數(shù)｝

D.方程X?-4=0實(shí)數(shù)根的集合表示為｛（-2,2）｝

3.一次函數(shù)y=x-3與y=-2x的圖象的交點(diǎn)組成的集合是（）.

A.｛1,-2｝B.｛x=1,y=—2｝

C.｛（-2,1）｝D.｛（',）,）『=：3｝

4.用列舉法表示集合4=｛x￡Z|5Wx<10｝為

5.集合力=｛x：產(chǎn)2〃且〃￡N｝,B=｛X|X2-6X+5=0｝,用￡或任填空：

4J,4854,5B.

卷課后作業(yè)

1.（1）設(shè)集合4=｛（五》）|元+〉=6,/￡8丁￡可｝,試用列舉法表示集合4

（2）設(shè)力=｛x|x=2〃，〃￡N,且〃C10｝,3=｛3的倍數(shù)｝,求屬于力且屬于6的元素所組成

的集合.

2.若集合A={-1,3},B={x\x2+ax+b=0},且4=5,求實(shí)數(shù)a、b.

§1.1.2集合間的基本關(guān)系

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；

2理解子集、真子集的概念?

3.能利用〃圖表達(dá)集畜J的關(guān)系，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用;

4.了解空集的含義.

卷學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材只~打，找出疑惑之處)

復(fù)習(xí)1：集合的表示方法有、、

.請(qǐng)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)10以內(nèi)3的倍數(shù)：(2)1000以內(nèi)3的倍數(shù).

復(fù)習(xí)2：用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空.

(1)ON：V2Q；-1.5R.

(2)設(shè)集合A={X|(X-1)2(X-3)=0},B=,則14bB；{1,3}A

思考：類比實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，如5<7,2W2,試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢？

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究：比較下面兒個(gè)例子，試發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合之間的關(guān)系:

A={3,6,9}與B={x\x=3k,keN*且k4333}；

C={東升高中學(xué)生}與。={東升高中高一學(xué)生}；

E={x|x(x-l)(x-2)=0}與尸={0,1,2}.

新知：子集、相等、真子集、空集的概念.

①如果集合4的任意一個(gè)元素都是集合8的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合

/是集合6的子集(subset),記作：或B2A),讀作：4包含于(iscontainedin)

B,或6包含(contains)4

當(dāng)集合力不包含于集合6時(shí)，記作A08.

②在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為"圖.用Venn

圖表示兩個(gè)集合間的“包含”關(guān)系為：

Ac8(或B2A).-------、

③集合相等：若力=8且8=A,則4=B中的元素是一樣的，因此A=B.

④真子集：若集合4三8,存在元素xeB且xeA,則稱集合力是集合6的真子集(proper

subset),記作：后6(或屏4),讀作：4真包含于6(或8真包含力).

⑤空集：不含有任何元素的集合稱為空集(emptyset),記作：0.并規(guī)定：空集是任何

集合的子集，是任何非空集合的真子集.

試試：用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空.

(1){a,b}{a,b,c},a{a,b,c};

(2)0{x\x2+3=0},0R；

(3)N{0,l},QN：

(4){0}{x|x2-x=0}.

反思：思考下列問題.

(1)符號(hào)“a€A”與"{a}=4”有什么區(qū)別？試舉例說明.

(2)任何一個(gè)集合是它本身的子集嗎？任何一個(gè)集合是它本身的真子集嗎？試用符號(hào)表示

結(jié)論.

(3)類比下列實(shí)數(shù)中的結(jié)論，你能在集合中得出什么結(jié)論？

①若a2b,且b>a,則a=b；

②若。2萬,且貝必*c.

派典型例題

例1寫出集合{“為?的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

變式：寫出集合［0,1,2}的所有真子集組成的集合.

例2判斷下列集合間的關(guān)系：

(1)A={x|x-3>2}^B={x|2%-5>0}；

(2)設(shè)集合f{0,1},集合B={x|xuA},則4與6的關(guān)系如何?

變式：若集合A={x|x>0,B={^|2x-5>0},且滿足4=8,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

X動(dòng)手試試

練1.已知集合A={x，-3x+2=0},Q{1,2},C={x[x<8,xeN},用適當(dāng)符號(hào)填空:

AB,AC,{2}C,2C.

練2.已知集合4={）:<;<:<5},B={x\x>2},且滿足則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.子集、真子集、空集、相等的概念及符號(hào)；Venn圖圖示；一些結(jié)論.

2.兩個(gè)集合間的基本關(guān)系只有“包含”與“相等”兩種，可類比兩個(gè)實(shí)數(shù)間的大小關(guān)系,

特別要注意區(qū)別“屬于”與“包含”兩種關(guān)系及其表示方法.

X知識(shí)拓展

如果一個(gè)集合含有〃個(gè)元素，那么它的子集有2"個(gè)，真子集有2"-1個(gè).

卷學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.下列結(jié)論正確的是（）.

A.。呈4B.0€{0}

C.{1,2}cZD.{0}e{0,l}

2.設(shè)4=卜卜>1},8=門卜>。},且A=8,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）.

A.a<\B.a<\

C.a>\D.a>\

3.若{1,2}="|/+云+。=0},則（）.

A.b=-3,c=2B.=3,c=-2

C.b=-2,c=3D.=2,c=-3

4.滿足{a,3}QAu{a,仇c,4}的集合力有個(gè).

5.設(shè)集合4={四邊形},B={平行四邊形},C={矩形},。={正方形},則它們之間的關(guān)系是,

并用Venn圖表示.

卷課后作業(yè)

1.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在質(zhì)量和長度上都合格時(shí)，該產(chǎn)品才合格.若用力表示合格產(chǎn)品的集

合，6表示質(zhì)量合格的產(chǎn)品的集合，。表示長度合格的產(chǎn)品的集合.則下列包含關(guān)系哪些成

立？

AQC.CQA

試用作圖表示這三個(gè)集合的關(guān)系.

2.已知A={x|x2+px+g=0},B={x|*-3x+2=0}且8,求實(shí)數(shù)A、q所滿足的條件.

§1.1.3集合的基本運(yùn)算（1）

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解交集與并集的概念，掌握交集與并集的區(qū)別與聯(lián)系；

2.會(huì)求兩個(gè)已知集合的交集和并集，并能正確應(yīng)用它們解決一些簡單問題；

3.能使用胸〃圖表達(dá)集合的運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.

?學(xué)習(xí)過程

一■；里前港冬

（新習(xí)教材&找出疑惑之處）

復(fù)習(xí)1：用適當(dāng)符號(hào)填空.

0{0}；00；0{x|x2+l=0,A-SR）；

{0}{x|水3且x>5}；{x|x>—3}{*|x>2}；

{x|x>6}{x|A<—2或x>5}.

復(fù)習(xí)2：已知片{1,