周期問題(含答案)

------------------------------------------------------------------------周期問題(含答案)簡單的周期問題一、填空題1．某年的二月份有五個星期日，這年六月一日是星期_________．2．1989年12月5日是星期二，那么再過十年的12月5日是星期_________．3．按如圖擺法擺80個三角形，有_________個白色的．4．節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈．也就是說，從第一盞白燈起，每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈，小明想第73盞燈是_________燈．5．時針現(xiàn)在表示的時間是14時正，那么分針旋轉(zhuǎn)1991周后，時針表示的時間是_________時．6．把自然數(shù)1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么數(shù)“1992”在_________列．7．把分數(shù)化成小數(shù)后，小數(shù)點第110位上的數(shù)字是_________．8．循環(huán)小數(shù)與．這兩個循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點后第_________位，首次同時出現(xiàn)在該位中的數(shù)字都是7．9．一串數(shù)：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991個數(shù)．（1）其中共有_________個1，_________個9_________個4；（2）這些數(shù)字的總和是_________．10．所得積末位數(shù)是_________．二、解答題（共4小題，滿分0分）11．緊接著1989后面一串數(shù)字，寫下的每個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù)．例如8×9=72，在9后面寫2，9×2=18，在2后面寫8，…得到一串數(shù)字：1989286…這串數(shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字是什么？12．1991個1990相乘所得的積與1990個1991相乘所得的積，再相加的和末兩位數(shù)是多少？n=，那么n的末兩位數(shù)字是多少？14．在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅點，同時自右至左每隔5厘米也染一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？參考答案與試題解析一、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）某年的二月份有五個星期日，這年六月一日是星期二．考點：日期和時間的推算。1665141分析：因為某年二月份有五個星期日，又知4×7=28，所以這年二月份應為29天，而且可知2月1日和2月29日均為星期天．所以3月1日為星期一．到六月一日經(jīng)過了3月、4月、5月，因為3月、5月又1天，4月有30天，所以共有31+30+31+1=93天，每個星期有七天，所以93÷7=13…2，所以6月1日是星期二．解答：解：因為7×4=28，由某年二月份有五個星期日，所以這年二月份應是29天，且2月1日與2月29日均為星期日，3月1日是星期一，所以從這年3月1日起到這年6月1日共經(jīng)過了31+30+31+1=93（天）．93÷7=13…2，所以這年6月1日是星期二．答：這年六月一日是星期二．故答案為：二．點評：本題是推斷若干天、若干月或若干年后某一天為星期幾，解答這類問題主要依據(jù)每周為七天循環(huán)的規(guī)律，運用周期性解答．在計算天數(shù)時，要根據(jù)“四年一閏，整百不閏，四百年才又一閏”的規(guī)定，即公歷年份不是整百數(shù)時，只要是4的倍數(shù)就是閏年，公歷年數(shù)為整百數(shù)時，必須是400的倍數(shù)才是閏年．2．（3分）1989年12月5日是星期二，那么再過十年的12月5日是星期日．考點：日期和時間的推算。1665141分析：先求出這十年有多少天，再求這些天里有多少周，還余幾天；再根據(jù)余數(shù)求出這一天是星期幾．解答：解：這十年中1992年、1996年都是閏年，因此，這十年之中共有365×10+2=3652（天）；3652÷7=521（周）…5（天），5+2=7，所以再過十年的12月5日是星期日．故答案為：日．點評：本題是推斷若干天、若干月或若干年后某一天為星期幾，解答這類問題主要依據(jù)每周為七天循環(huán)的規(guī)律，運用周期性解答．在計算天數(shù)時，要根據(jù)“四年一閏，整百不閏，四百年才又一閏”的規(guī)定，即公歷年份不是整百數(shù)時，只要是4的倍數(shù)就是閏年，公歷年數(shù)為整百數(shù)時，必須是400的倍數(shù)才是閏年．3．（3分）按如圖擺法擺80個三角形，有39個白色的．考點：簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律。1665141分析：從圖中可以看出，三角形按“黑黑白白黑白”的規(guī)律重復排列，也就是這一排列的周期為6，80÷6得出周期數(shù)和余數(shù)，一個周期有3個白色，加上余數(shù)的白色個數(shù)，即可得解．解答：解：80÷6=13…2，余數(shù)2全是黑色，所以，白色的三角形有：13×3=39；答：有39個白色的．故答案為：39．點評：看出規(guī)律，找到周期，是解決這類題的關鍵．4．（3分）節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈．也就是說，從第一盞白燈起，每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈，小明想第73盞燈是白燈．考點：簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律。1665141分析：每四盞燈為一個周期，白燈、紅燈、黃燈、綠燈，以此類推，73是多少個周期余數(shù)是幾，排一下就知道了．解答：解：73÷4=18…1，所以是白燈；答：小明想第73盞燈是白燈．故答案為：白．點評：此題考查了簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律．5．（3分）時針現(xiàn)在表示的時間是14時正，那么分針旋轉(zhuǎn)1991周后，時針表示的時間是13時．考點：時間與鐘面。1665141分析：分針旋轉(zhuǎn)一周為1小時，旋轉(zhuǎn)1991周為1991小時；一天24小時，1991÷24=82（天）…23（小時），1991小時共82天又23小時；現(xiàn)在是14時正，經(jīng)過82天仍然是14時正，再過23小時，正好是13時．解答：解：1991÷24=82天…23小時，1991小時共82天又23小時．14+23﹣24=13小時，答：時針表示的時間是13時．故答案為：13．點評：考查了時間與鐘面，在圓面上，沿著圓周把1到12的整數(shù)等距排成一個圈，再加上一根長針和一根短針，就組成了我們天天見到的鐘面．鐘面雖然是那么的簡單平常，但在鐘面上卻包含著十分有趣的數(shù)學問題，周期現(xiàn)象就是其中的一個重要方面．6．（3分）把自然數(shù)1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么數(shù)“1992”在第三列．考點：數(shù)表中的規(guī)律。1665141分析：9個數(shù)一個循環(huán)，這9個數(shù)不變的排列是第一列、第二列、第三列、第四列、第五列、第五列、第四列、第三列、第二列；那么求出1992是多少個循環(huán)，得出余數(shù)，即可得解．解答：解：1992÷9=221…3；所以，1992在第三列．故答案為：第三．點評：此題考查了數(shù)表中的規(guī)律，認真分析得出結(jié)論．7．（3分）把分數(shù)化成小數(shù)后，小數(shù)點第110位上的數(shù)字是7．考點：簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律；循環(huán)小數(shù)與分數(shù)。1665141分析：先把化成小數(shù)：0.0.571428571428571428，是一個循環(huán)小數(shù)，它的循環(huán)周期是6，六個數(shù)字依次是：5，7，1，4，2，8．因為110÷6=18…2，所以第110位上的數(shù)是一周期的第二個數(shù)即7．解答：解：因為=0.571428571428，是個循環(huán)小數(shù)，它的循環(huán)周期是6，具體地六個數(shù)字依次是5，7，1，4，2，8；110÷6=18…2，所以第110個數(shù)字是上面列出的六個數(shù)中的第2個，就是7．故答案為：7．點評：做這類題先把分數(shù)化為小數(shù)，（一般為循環(huán)小數(shù)），周初他的循環(huán)周期及循環(huán)的數(shù)列，求第幾位上的數(shù)字，就用這個數(shù)字除以循環(huán)周期，余幾就是一個循環(huán)周期的第幾個數(shù)字．8．（3分）循環(huán)小數(shù)與．這兩個循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點后第35位，首次同時出現(xiàn)在該位中的數(shù)字都是7．考點：循環(huán)小數(shù)及其分類；公約數(shù)與公倍數(shù)問題。1665141分析：根據(jù)已知條件可知，這兩個小數(shù)的循環(huán)節(jié)分別是7位數(shù)和5位數(shù)，求出5和7的最小公倍數(shù)即可．解答：解：因為0.1992517的循環(huán)節(jié)是7位數(shù)，0.34567的循環(huán)節(jié)是5位數(shù)，又5和7的最小公倍數(shù)是35，所以兩個循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點后第35位，首次同時出現(xiàn)在該位上的數(shù)字都是7．故答案為：35．點評：此題答解答主要根據(jù)求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)解答．9．（3分）一串數(shù)：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991個數(shù)．（1）其中共有853個1，570個9568個4；（2）這些數(shù)字的總和是8255．考點：數(shù)字串問題；數(shù)字和問題。1665141分析：不難看出，這串數(shù)每7個數(shù)即1，9，9，1，4，1，4為一個循環(huán)，即周期為7，且每個周期中有3個1，2個9，2個4．因為1991÷7=284…3，所以這串數(shù)中有284個周期，加上第285個周期中的前三個數(shù)1，9，9．其中1的個數(shù)是：3×284+1=853（個），9的個數(shù)是2×284+2=570（個），4的個數(shù)是2×284=568（個）．這些數(shù)字的總和為1×853+9×570+4×568=8255．解答：解：（1）這串數(shù)每7個數(shù)即1，9，9，1，4，1，4為一個循環(huán)，且每個周期中有3個1，2個9，2個4．因為1991÷7=284…3，所以這串數(shù)中有284個周期，加上第285個周期中的前三個數(shù)1，9，9．其中1的個數(shù)是：3×284+1=853（個），9的個數(shù)是2×284+2=570（個），4的個數(shù)是2×284=568（個）．（2）這些數(shù)字的總和為：1×853+9×570+4×568=8255．故答案為：853，570，568；8255．點評：在做題時應首先觀察規(guī)律：7個數(shù)即1，9，9，1，4，1，4為一個循環(huán)．10．（3分）所得積末位數(shù)是9．考點：乘積的個位數(shù)。1665141分析：當7的個數(shù)是1時，末位是7；當7的個數(shù)是2時，末位是9；當7的個數(shù)是3時，末位是3；當7的個數(shù)是4時，末位是1；當7的個數(shù)是5時，末位又是7；由此發(fā)現(xiàn)積的末尾依次出現(xiàn)7、9、3、1；依此規(guī)律解答即可．解答：解：先找出積的末位數(shù)的變化規(guī)律：71末位數(shù)為7，72末位數(shù)為9，73末位數(shù)為3，74末位數(shù)1；75=74+1末位數(shù)為7，76=74+2末位數(shù)為9，77=74+3末位數(shù)為3，78=74×2末位數(shù)為1；由此可見，積的末位依次為7，9，3，1，7，9，3，1，以4為周期循環(huán)出現(xiàn)．因為50÷4=12…2，即750=74×12+2，所以750與72末位數(shù)相同，也就是積的末位數(shù)是9．故答案為：9點評：此題考查的目的是：通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，依照規(guī)律解答這類問題．二、解答題（共4小題，滿分0分）11．緊接著1989后面一串數(shù)字，寫下的每個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù)．例如8×9=72，在9后面寫2，9×2=18，在2后面寫8，…得到一串數(shù)字：1989286…這串數(shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字是什么？考點：數(shù)字串問題。1665141分析：依照題述規(guī)則多寫幾個數(shù)字：1989286884286884…可見1989后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復出現(xiàn)286884，每6個一組，即循環(huán)周期為6．因為（1989﹣4）÷6=3305，正好除盡，286884所以所求數(shù)字是8．解答：解：依照題述規(guī)則多寫幾個數(shù)字得到：1989286884286884286884…可見1989后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復出現(xiàn)286884，每6個一組，即循環(huán)周期為6．因為（1989﹣4）÷6=3305，所以286884的第四個數(shù)字為8，所求數(shù)字是8．點評：此題屬于數(shù)字串問題，解答此題的關鍵是要找出規(guī)律：1989后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復出現(xiàn)286884．12．1991個1990相乘所得的積與1990個1991相乘所得的積，再相加的和末兩位數(shù)是多少？考點：簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律。1665141分析：本題問的是兩積相加的和末兩位數(shù)是多少，所以不必求出兩個積，求出兩個積的末尾兩位數(shù)即可．可知1991個1990相乘所得的積末尾兩位是00；1個1991末兩位數(shù)是91，2個1991相乘的積末兩位數(shù)是81，3個1991相乘的積末兩位數(shù)是71，4個至10個1991相乘的積的末兩位數(shù)分別是61，51，41，31，21，11，01，11個1991相乘積的末兩位數(shù)字是91，由此可見，每10個1991相乘的末兩位數(shù)字重復出現(xiàn)，即周期為10．因為1990÷10=199，所以1990個1991相乘積的末兩位數(shù)是01．即可得答案．解答：解：因為1991個1990相乘所得的積末兩位是0．1個1991末兩位數(shù)是91，2個1991相乘的積末兩位數(shù)是81，3個1991相乘的積末兩位數(shù)是71，4個至10個1991相乘的積的末兩位數(shù)分別是61，51，41，31，21，11，01，11個1991相乘積的末兩位數(shù)字是91，可知每10個1991相乘的末兩位數(shù)字重復出現(xiàn)，周期為10．因為1990÷10=199，所以1990個1991相乘積的末兩位數(shù)是01．所以兩個積相加的和末兩位是01．答：再相加的和末兩位是01．點評：做此題不能被龐大的數(shù)字所迷惑，要看清問的是什么．要求兩積相加和的末兩位數(shù)，只要知道每個積的末兩位數(shù)，然后相加即可，不用算出兩積的具體得數(shù)．1991個1990相乘所得的積的末尾兩位數(shù)很顯然是00，求1990個1991相乘所得的積的末尾兩位數(shù)，要靠推算，找出其中的規(guī)律，通過計算可知末尾兩位數(shù)是呈周期循環(huán)出現(xiàn)的．再根據(jù)循環(huán)現(xiàn)象求1990個1991相乘所得積的末尾兩位數(shù)即可．13．n=，那么n的末兩位數(shù)字是多少？考點：周期性問題。1665141分析：此題可用列表法尋找規(guī)律．n是1991個2的連乘積，即n=21991．首先從2的較低次冪入手尋找規(guī)律，列表如下：nn的十位數(shù)字n的個位數(shù)字nn的十位數(shù)字n的個位數(shù)字21022129622042139223082148424162156825322163626642177227282184428562198