反比例函數(shù)求面積問(wèn)題

------------------------------------------------------------------------反比例函數(shù)求面積問(wèn)題摘要：初中階段共學(xué)習(xí)了三種函數(shù)，而其中反比例函數(shù)是初中函數(shù)部分的重要教學(xué)內(nèi)容,反比例函數(shù)題目里很多題型就是有關(guān)面積問(wèn)題的:有已知,求面積;有面積,求未知;探索型面積問(wèn)題等.這種題型難度相對(duì)較大,需要綜合運(yùn)用知識(shí),并且主要以中高檔題型出現(xiàn)，所以在課堂教學(xué)中,教師要注重方法的傳授,提高學(xué)生解答有關(guān)面積問(wèn)題題目的能力.關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)、面積、轉(zhuǎn)化、初中數(shù)學(xué)中考試卷中的反比例函數(shù)問(wèn)題，許多都是與三角形、四邊形等圖形的面積聯(lián)系在一起的，其中常見(jiàn)的有已知反比例函數(shù)的解析式，求其圖象圍成的某一圖形的面積；或已知某一圖形的面積，求符合條件的反比例函數(shù)的解析式等題型。下面筆者就有關(guān)反比例函數(shù)與圖形面積的題型略加以說(shuō)明。結(jié)論1：過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|

對(duì)于下列三個(gè)圖形中的情形，利用三角形面積的計(jì)算方法和圖形的對(duì)稱性以及上述結(jié)論，可得出對(duì)應(yīng)的面積的結(jié)論為：

結(jié)論2：在直角三角形ABO中，面積S=

結(jié)論3：在直角三角形ACB中，面積為S=2|k|

結(jié)論4：在三角形AMB中，面積為S=|k|

一.反比例函數(shù)與矩形面積例1.（01年山東荷澤）如圖（1），P是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為6，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為（）圖1A. B.C. D.解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則又點(diǎn)P在第四象限，評(píng)析：如圖（2），若A點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，且AB垂直于x軸，垂足為B，AC的垂直于y軸，垂足為C，則矩形面積。圖2例2.（01年福建福州）如圖（3），已知正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)P（m，n）是函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S。（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）略圖3解：（1）依題意，得，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3）依題意易得，又點(diǎn)P在第一象限（2）由題意易得①②聯(lián)立①②解，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，）或（，6）（此種情況的求法與上述方法一樣，在此不再詳解）二.反比例函數(shù)與三角形面積1.反比例函數(shù)與直角三角形面積例3.（04年遼寧錦州）如圖（4），點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，AB垂直于x軸，若，那么這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為_(kāi)____________。圖4解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)A在第二象限，評(píng)析：如圖（5），由上述例題可知，若點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，且AB垂直于x軸（或y軸），垂足為B，則圖5例4.（02年青海）如圖（6），過(guò)反比例函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)OA、OB。設(shè)AC與OB的交點(diǎn)為E，與梯形ECDB的面積分別為S1、S2，比較它們的大小，可得（）A. B.C. D.大小關(guān)系不能確定圖6解：依題意，得即，選B例5.如圖（7），A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AC平行于y軸，BC平行于x軸，的面積為S，則（）A.S＝1 B. C.S＝2 D.圖7解：設(shè)AC交x軸于D點(diǎn)，易得，又，且所以故選取C2.反比例函數(shù)與斜三角形面積例6.（03年重慶市）如圖（8），函數(shù)與的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC垂直于y軸，垂足為點(diǎn)C，則的面積為_(kāi)_________。圖8解：由題意易知，而與以O(shè)C為底時(shí)等高例7.（00年天津市）如圖（9），正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于B，連結(jié)BC，若面積為S，則（）A.S＝1 B.S＝2 C.S＝3 D.S的值不能確定圖9解：此題的解法與例6類似，選A例8.（03年四川）如圖（10），已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)都是－2，求：（1）一次函數(shù)的解析式（2）的面積圖10略解：（1）易得A、B的坐標(biāo)分別為（－2，4），（4，－2）解得所求一次函數(shù)的解析式為（2）易得直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）評(píng)析：反比例函數(shù)與斜三角形面積問(wèn)題和反比例函數(shù)與直角三角形面積類似，解題時(shí)要注意將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)思考。三.反比例函數(shù)與平行四邊形面積例9.如圖（11），正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于B，過(guò)C作x軸的垂線，交x軸于D，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)___________。圖11解：由題意易得，四邊形ABCD為平行四邊形，而，所以四邊形ABCD的面積例10.如圖（12），A、C是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AB垂直y軸于B，CD垂直y軸于D，且四邊形ABCD的面積為6，則這個(gè)函數(shù)的解析式為_(kāi)_______。圖12解：略評(píng)析：此類題的思路是要將平行四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)做。1．已知面積，求反比例函數(shù)的解析式（或比例系數(shù)k）

例1（1）(2008廣東省深圳市)如圖，直線OA與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于A點(diǎn)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，△OAB的面積為2，則k＝．分析：由圖象知,k>0,由結(jié)論及已知條件得∴k=4

（2）（2008甘肅省蘭州市）如圖，已知雙曲線（）經(jīng)過(guò)矩形的邊的中點(diǎn)，且四邊形的面積為2，則

．分析：連結(jié)OB，∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)∴

而

由四邊形OEBF的面積為2得

解得k=2評(píng)注：第①小題中由圖形所在象限可確定k>0，應(yīng)用結(jié)論可直接求k值。第②小題首先應(yīng)用三角形面積的計(jì)算方法分析得出四個(gè)三角形面積相等，列出含k的方程求k值。1勇繼紅;;反比例函數(shù)的基本知識(shí)[J];數(shù)學(xué)大世界(初中版);2011年Z2期2劉志波;;坐診反比例函數(shù)[J];數(shù)學(xué)大世界(初中版);2011年Z2期3周福奎;;淺談初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的幾種數(shù)學(xué)思想[J];學(xué)周刊;2011年22期4劉四偉;;對(duì)于一道初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的理解和運(yùn)用[J];中學(xué)生數(shù)理化(高中版·學(xué)研版);2011年01期5吳坤雄;;2011年中考考點(diǎn)復(fù)習(xí)策略(13)——“函數(shù)的考法分析”[J];數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);2011年03期6駱迎生;;認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)中k的意義[J];中小學(xué)數(shù)學(xué)(初中版);2011年Z1期7李中清;;《9.1反比例函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)[J];學(xué)生之友(初中版);2011年07期8陳亮;;反比例函數(shù)解析式的幾種求法[J];初中生輔導(dǎo);2011年11期9吳丹宇;;HYPERLINK"/Article/CJFDTOTAL-CJYX201107006.htm%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20