彈性力學(xué)簡明教程-第四版習(xí)題詳解

彈性力學(xué)簡明教程（第四版）

習(xí)題解答

第一章

1-1]試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各

向同性體？

分析】均勻的各項(xiàng)異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同

性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足

各向同性假定。

解答】均勻的各項(xiàng)異形體如：竹材，木材。

非均勻的各向同性體如：混凝土。

1-2]一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性

體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？

分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個假定：連續(xù)性,

完全彈性，均勻性，各向同性假定。

解答】一般的混凝土構(gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體；一般

的鋼筋混凝土構(gòu)件和巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體。

1-3）五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么作用？

解答】（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個物

體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。引

用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量就可以看成是

連續(xù)的。因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標(biāo)的連續(xù)

函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。

全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對應(yīng)形變的外力

被去除后，能夠完全恢復(fù)原型而無任何形變。這一假定，還包含

形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關(guān)

系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變服從胡克定律，從而使物

理方程成為線性的方程，其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而

變。

勻性假定：假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的,

引用這一假定后整個物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研

究物體的內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)都是相同的，因而物體的彈性常

數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。

向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個

方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。

變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后

整個物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變

和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時，就

可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物

體的位移與形變的關(guān)系時，它們的二次幕或乘積相對于其本身都

可以略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性的微分

方程。

1-41應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標(biāo)面和負(fù)

坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。

解答】應(yīng)力的符號規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方

向時（即正面時），這個面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）

以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。當(dāng)作用面的

外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時（即負(fù)面時），該面上的應(yīng)力以沿

坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。

力的符號規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時為正，沿坐

標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。

下圖可以看出，正面上應(yīng)力分量與面力分量同號，負(fù)面上應(yīng)力分

量與面力分量符號相反。

正的應(yīng)力

1-5］試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定。

解答】材料力學(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號以使研究對象順時針轉(zhuǎn)動的切

應(yīng)力為正，反之為負(fù)。

性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向

為正，作用于負(fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，反?/p>

為負(fù)。

O(z)

1-6］試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變。

解答】正的應(yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包括正

的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答。

的正應(yīng)力對應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力

為正的應(yīng)力，引起軸向伸長變形，為正的應(yīng)變。

的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變：在如圖所示應(yīng)力狀態(tài)情況下，切應(yīng)

力均為正的切應(yīng)力，引起直角減小，故為正的切應(yīng)變。

1-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向。

解答】

O:

工斗

yJyf〉Jx

正的體力、面力

1-8］試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向。

解答】

1-9］在圖1-3的六面體上，y面上切應(yīng)力％的合力與z面上切

應(yīng)力心的合力是否相等？

解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為廠M廠2,單位為N//。因

此，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如dxX

dyXdz,則y面上切應(yīng)力％的合力為：

r(,dxdz(a)

面上切應(yīng)力％的合力為：

rzydxdy(b)

式(a)(b)可見，兩個切應(yīng)力的合力并不相等。

分析】作用在兩個相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應(yīng)力的

合力不相等，但對某點(diǎn)的合力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。

第二章平面問題的基本理論

2-1】試分析說明,在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中（圖

2-14）其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。

解答】在不受任何面力作用的空間表面附近的薄層中,

可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內(nèi)

所有各點(diǎn)都有2=%=%=。，只存在平面應(yīng)力分量且它們不

沿z方向變化，僅為x,y的函數(shù)?？梢哉J(rèn)為此問題是平面應(yīng)力問題。

2-2］試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切

向面力作用的等厚度薄片中（2-15）,當(dāng)板邊上只受x,

y向的面力或約束，且不沿厚度變化時，其應(yīng)變狀態(tài)接

近于平面應(yīng)變的情況。

解答】板上處處受法向約束時邑=0,且不受切向面力作用，則

乙=3=。（相應(yīng)%=%=。）板邊上只受x,y向的面力或約束，所以僅存

在分4，，%,且不沿厚度變化，僅為x,y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于

平面應(yīng)變的情況。

0x

2-3】在圖2-3的微分體中，若將對形心的T:半B

力矩平很條件ZMc=o改為對角點(diǎn)的力矩

女

y

平衡條件，試問將導(dǎo)出什么形式的方程?

解答】將對形心的力矩平衡條件ZMc=O,改為分別對四個角點(diǎn)A、B、

D、E的平衡條件，為計(jì)算方便，在z方向的尺寸取為單位1。

,.dx.dcrx,、7,dy.ST】，dy

(yvdx1—+(q+—dx)dy?1?--(%+dx)dy-\-dx-(yxdy1-

22dx2(a)

/」idx.°工雙,,dyf.dx門

-(cr^—^dy)dx-\~+(T-{--j-dy)dx4-dy+fdxdy-l--fdxdy-1-—=()

xdy2dyYXx2x2

/,dy.-dy)dx?1?力+(cr+~r~dy)dx?l?g

(4+合公)辦」,3+(%+v

dx2Sy(b)

,.dxdydx

-%dy1-dx-cr的，?1?g-crvttn

dx,1,+fxdxdy,1-+fXdxdy,1,—=0

,co、八i、dx,.,,,dy.,,

(cr+--dy)ax-i------T,ay-i-ax+(ydy-i--+Tdx-1-dy

vdy2nx2n

(c)

..dx.d(ydydy...dx

—G,dx,1,-----(CTH-------dx)dy,1,------j￡dxdy,1y-----Fj￡dxdy,1,——()n

x2Vdr2X2X'2

/)1右」］dy,.,,.dx

一(o'、.H------dy)dx,1-----F<ruy?1----FTdx,1,dy+cdx,1------

dy2,v2y■x'x2

(d)

,d<jr,、」,dy,3%,x「ii,dyr、dx門

(<TV+--dx)dy-1■--(TXX+——dx)dy\dx-fdxdy-!-—+fdxdy-1—=0

dx2dxx2v2

去（a）、（b）、（c）、（d）中的三階小量（亦即令/Mv"d2y都趨于0）,并

將各式都除以公辦后合并同類項(xiàng)，分別得到%=%。

分析】由本題可得出結(jié)論：微分體對任一點(diǎn)取力矩平衡得到的結(jié)果都

是驗(yàn)證了切應(yīng)力互等定理。

2-4）在圖2-3和微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布

的，驗(yàn)證將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程？

解答】微分單元體ABCD的邊長火力都是微量，因此可以假設(shè)在各面上

所受的應(yīng)力如圖a所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線性

分布的，如圖（b）所示。為計(jì)算方便，單二兀體在Z方向的尺寸取為一

個單位。

o_________q_____X

rnrfwD

笛*？3"I

去Eiwwik,昌Q

yQ"力

y、'、'

（a）（b）

點(diǎn)正應(yīng)力:

O=%

啊

O=4+dy

Sy

(、3(T

(%)o=b,+.V公

/、Scrdo

(bv)L/+茲公+行。y

點(diǎn)切應(yīng)力:

dr

+―：dy

dy

dr

(?)c=%+粵公+千力

oxdy

微分單元體的平衡條件"；=。，zg=。，得

Ida.}.ocr.d(y.d而a,.」

1。4x1(xKx

卜彳巴.+巴.+丁力\dy+<-+--dx+crx+--dx+--dy\dy-

218J21dx\dx5y7

\

]_+冬^辦+%+d=r.1公+二ST2.1辦fdxdy=0

T+r?+——dx>dx+<x

yvxrAv2IQy?入丫4,"I

2dx/dxSy

--v

1davda,vda,

公>dx+<—cIr+-^-dy+(T+——-dx+——-dy\dx-

1+w2IIvdyVa‘

dx7dx7

]_2?%jII?5r%

dy+^+—dx+以+-dy+—^dx^dy+fcbcdy=0

xyxyxyy

2Sy?8)Sy7

上二式分別展開并約簡,再分別除以公內(nèi)，就得到平面問題中的平衡

微分方程:

dvdcr°%

卷+yx+/=01v++4=0

dxdySydx

分析】由本題可以得出結(jié)論：彈性力學(xué)中的平衡微分方程適用于任意

的應(yīng)力分布形式。

2-5］在導(dǎo)出平面問題的三套基本方程時，分別應(yīng)用了哪些基本假定?

這些方程的適用條件是什么？

解答】（1）在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時應(yīng)用的基本假

設(shè)是：物體的連續(xù)性和小變形假定，這兩個條件同時也是這兩套方程

的適用條件。

2）在導(dǎo)出平面問題的物理方程時應(yīng)用的基本假定是：連續(xù)性，完全彈

性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈性體

的四個假定也是物理方程的使用條件。

思考題】平面問題的三套基本方程推導(dǎo)過程中都用到了哪個假定？

2-6】在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直徑和厚度相同的情況下，在自重作

用下的鋼圓環(huán)（接近平面應(yīng)力問題）總比鋼圓筒（接近平面應(yīng)變問題）

的變形大。試根據(jù)相應(yīng)的物理方程來解釋這種現(xiàn)象。

解答】體力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故

所求的應(yīng)力分量相同。由物理方程可以看出，兩類平面問題的物理方

程主要的區(qū)別在于方程中含彈性常數(shù)的系數(shù)。由于E為GPa級別的量,

而泊松比〃取值一般在（0,0.5）,故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的

系數(shù)項(xiàng)，比較兩類平面問題的系數(shù)項(xiàng)，不難看出平面應(yīng)力問題的系數(shù)

1/E要大于平面應(yīng)變問題的系數(shù)（1—〃2）/E。因此，平面應(yīng)力問題情況下

應(yīng)變要大，故鋼圓環(huán)變形大。

2-7】在常體力，全部為應(yīng)力邊界條件和單連體的條件下，對于不同材

料的問題和兩類平面問題的應(yīng)力分量4,%和%均相同。試問其余的

應(yīng)力，應(yīng)變和位移是否相同？

解答】（1）應(yīng)力分量：兩類平面問題的應(yīng)力分量％,b,和%均相同，但

平面應(yīng)力問題巴=%=%=0,而平面應(yīng)變問題的%=%=0。=〃（q+%）。

2）應(yīng)變分量：已知應(yīng)力分量求應(yīng)變分量需要應(yīng)用物理方程，而兩類平

面問題的物理方程不相同，故應(yīng)變分量乙=%=0,及相同，而加外百不

相同。

3）位移分量：由于位移分量要靠應(yīng)變分量積分來求解，故位移分量對

于兩類平面問題也不同。

2-8）在圖2-16中，試導(dǎo)出無面力作用時AB邊界

上的4,%,%之間的關(guān)系式

9

圖2-16

解答】由題可得:

以上條件代入公式（2T5）,得:

2-9】試列出圖2-17,圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小

邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。

圖2-17圖2-18

分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫

成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15）。

解答】圖2-17：

上（尸0）左（產(chǎn)0）右（產(chǎn)b）

10-11

m-100

工(s)0pg(y+K)一夕g(y+〃J

pg%00

入公式（2-15）得

在主要邊界上x=0,上精確滿足應(yīng)力邊界條件:

(qL=-pg(y+%)，(%L=°；

(4),』=一。8("%)，(%)』=°；

在小邊界y=0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：

(%晨=-陽，(％晨=。

在小邊界,=他上，能精確滿足下列位移邊界條件：

(〃)9=°，3)/=°

兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條

件來代替，當(dāng)板厚冊1時，可求得固定端約束反力分別為：

F,=0,Ev=-pg3M=0

于丁=均為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號，則有：

<_T(bJxdx^O

Jo\/尸生

J/,(r)dx=0

圖2-18

上下主要邊界尸-"2y=h/2上,應(yīng)精確滿足公式(2-15)

m

IZ⑸Ty⑹

y=_g0_1°q

h

y=501-0

（生）尸h/2=-q，（%）y=-h/2=0，（b）f/2=o，（rvx）y=A/2=-qx

在x=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件:

負(fù)面上應(yīng)力與面力符號相反，有

L,2（%L。公=一臬

心/2

rh/2

*I-r"t/2）=。必'=.M

在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件"I=0,%=0這兩個位移邊界

條件也可改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替。

先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所

示，列平衡方程求反力：

ZK=O,￡V+先=卯=冗=1/-外

ZG=QE+K+q/=0n《=—。一八

±M,'=0,M+M，+Fsl+gql2—;qM=G=M=專一M—F$l—程

于X=/為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故

h/2

LC/29）=4'=《=如一’V

￡（4）日ydy=M，=華一M一F$l-與

fh!2

\hl,^x.\=ldy=Fs=-ql-Fs

M

2-10］試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示

的兩個問題中0A邊上的三個積分的應(yīng)力邊界

條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效？

解答】由于。/,0A為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個積

分的應(yīng)力邊界條件：

a）上端面0A面上面力工=0/=為

b

于0A面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有

J：（%）尸。公T：子聲泊號

J（“產(chǎn)T；小d姆卜筆（對0A中點(diǎn)取矩）

b）應(yīng)用圣維南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號

相反，面力主矢y向?yàn)檎?，主矩為?fù)，則

『（cr）dx^-F=

Jo\>v/y=ON2

<xdx--M-^―

JOV>）y=0]2

1（%）dr=0

Jo\/.y=0

上所述，在小邊界0A上，兩個問題的三個積分的應(yīng)力邊界條件相同，

故這兩個問題是靜力等效的。

2-11]檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？

解答】（1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（2T8）；

2）在%上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式（2-19）；

3）在s“上的位移邊界條件式（2T4）；

于平面應(yīng)變問題，需將￡、〃作相應(yīng)的變換。

分析】此問題同時也是按位移求解平面應(yīng)力問題時，位移分量必須滿

足的條件。

2-12）檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？

解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)的平衡微分方程式（2-2）；

2）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）；

3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件式（2T5）,其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力

邊界條件的問題；

4）對于多連體，還需滿足位移單值條件。

分析】此問題同時也是按應(yīng)力求解平面問題時，應(yīng)力分量必須滿足的

條件。

補(bǔ)題】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什么？

解答】用應(yīng)變表示的相容方程式（2-20）

2-13］檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？

解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式（2-25）；

2）在邊界S上的應(yīng)力邊界條件式（2T5）,假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件;

3）若為多連體，還需滿足位移單值條件。

分析】此問題同時也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件。

2-14］檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答:

2-20圖2-21

2

a）圖2-20,$<=方4,%=%=0。

解答】在單連體中檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足:

（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21）；（3）

應(yīng)力邊界條件（2-15）。

1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且人=力=。

—da+―dr=0八

dxdy最+M。顯然滿足

2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21）,有

等式左二（皋+*9"'）寸二°=右

力分量不滿足相容方程。

此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。

b）圖2-21,由材料力學(xué)公式，%=白，％=萼（取梁的厚度b=l）,

/bl

得出所示問題的解答：?=必興，%一手樂（〃2_獷）。又根據(jù)平衡微

lh4lh'

分方程和邊界條件得出：%=￥充-2“米-35。試導(dǎo)出上述公式，并

2InIn2I

檢驗(yàn)解答的正確性。

解答】（1）推導(dǎo)公式

分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1,高為h的

矩形，其對中性軸（Z軸）的慣性矩/=/，應(yīng)用截面法可求出任意截

12

面的彎矩方程和剪力方程M（x）=磊尤"（力=考。

以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：

據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計(jì)）。

dadr

―^+^^=0

dydx

得：

據(jù)邊界條件（%）9,2=。

得

故

72lh'//?'2

應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2）

一式：

22

左=一6。^>+6<7^^=。=右滿足

二式自然滿足

將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）

左=（9親）D-12嘿T2喟。0=右

力分量不滿足相容方程。

,該分量組分量不是圖示問題的解答。

2-15］試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等

于兩個主應(yīng)力的平均值。

解答】（1）確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置

意斜面上的切應(yīng)力為q=加（43用關(guān)系式/+川=1消去皿，得

T,,=+M-/2一d）=±42-/4（/_bj=±^1/4-（1/2-/2）"（4_bj

上式可見當(dāng)卜心。時，即、士舊時,/為最大或最小,為

9）3=±『。因此，切應(yīng)力的最大，最小值發(fā)生在與彳軸及y軸（即

min2

應(yīng)力主向）成45°的斜面上。

2）求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力e,的值

一斜面上的正應(yīng)力為

（。|一。2）+。2

大、最小切應(yīng)力作用面上/=±&萬，帶入上式，得

5,=與0-%)+%=萬(0+%)

畢。

2-16］設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求1，%，?

⑷2=100,%=50,%=10同；S)%=200,4=0,%=T00;

(c)。,=-2000,%=1000,rn,=-400;(d”,=—1000,4=-1500,&,=500.

解答】由公式（2-6）

(T,-(T0-％

0tana\=—1-------r

>=及得ai=arctan

%%

100+50150

a)=<

20

150—100

=arctan=35°16'

10750

5200+0512

b)='-312

%2

^-2000+1000

0-2000+100021052

C）±(-400)=<

2-2052

0—1000—1500+'-1000+1500_-691

+5002

d)--1809

2-17】設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不

計(jì)，在全部邊界上(包括孔口邊界上)受有均勻壓

力q。試證sLsv=-q及4=0能滿足平衡微分方程、

相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條

件，因而就是正確的解答。

解答】(1)將應(yīng)力分量q=(7V=-夕,％=0,和體力分量/=/v=0分別性入

平衡微分方程、相容方程

+工=。

dxdy

也+也+.f=0

dydxy

▽2(q+bv)=o(b)

然滿足(a)(b)

2)對于微小的三角板A,dx,力都為正值，斜邊上的方向余弦

I=cos(/I,x),m=cos(?,y),將o;=aY=4%=0，代入平面問題的應(yīng)力邊界條

件的表達(dá)式(2-15),且工=-qcos("㈤=qcos(〃,y),則有

(TVcos(〃,x)=-qcos(n,x),aYcos(〃,y)=-gcos(/?,y)

以/=—q,crv=—q<>

于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。

3)對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。

題為平面應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程(2T2),得形變

分量,

(-//-1)(〃-1)「

E/外=%及,=0(d)

(d)式中形變分量代入幾何方程(2-8),得

du(〃T)dv(〃-1)dvdu

r(e)

oxEdyEoxdy

兩式積分得到

(//-l)(〃-1),,、

〃=丁"+"班片〒也力⑴(f)

中工(y)式(%)分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出,

將式(f)代入式(e)的第三式，得

df}(y)_df2(x)

dydx

式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊

都等于同一個常數(shù)。，于是有

皿…皿

dydx

分后得/（y）=-燈+%,.力（％）=的+%

入式（f）得位移分量

〃=史二紗+小

E（g）

y=—（A-—l）^.y+?x+v

IE0

中〃°,為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得

式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件。因而,

應(yīng)力分量是正確的解答。

2-18］設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F（圖2-22）,

體力可以不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力％=。，然后證明這

些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達(dá)式是否就表

示正確的解答。

6h/2；X

解答】（1）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任以巴上-----------

T14

y

意橫截面上的彎矩方程M(尤)=-&,橫截面對中性軸的慣性矩為

?用根據(jù)材料力學(xué)公式

由力M(x)12F

回■刀q=——y=---xy;

截面上的剪力為月(x)=-尸，剪應(yīng)力為

%管=卷仔+FF+，卜艱a,

擠壓應(yīng)力＜7V=0

2)將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗(yàn)

12F12F八

一式:左一尸）'+乃'=°右

二式：左=0+0=0=右

應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。

3)將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程

滿足相容方程

4)考察邊界條件

在主要邊界k土力/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2T5)

1m至工

h

"、上0-100

y=4上0100

入公式(2T5),得

(bji=0,(%),1,2=°；(%)日“2=0'(%)g"2=。

在次要邊界X=O上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主

矢主矩

J股,(。)=0辦'=。=響面力主矢

rh/2...、心一

{J,,,3)=0ydy=0=面力主矩

*-ni2

O，=°dy=￡小爺弓一戶辦=-尸=跑面力主矢

足應(yīng)力邊界條件任)”

在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面

力的主矢、主矩，F(xiàn)『6FS=_F,M=_F1

次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷是否與面力主矢與

主矩等效：

eh/2h/2\2F

Ln(b)=，6=一c工小方力力=°=“

rh/2r/?/212尸7,

「小巴晨ydy=-Li萬僅dy=-Fl=M

p/i/2rh/2

J(rj/y=--y2dy=~F=F

J-hi2JJ-hl2s

足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。

2-19］試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分

量可以表示為八=-善/=-獸，其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用

oxdy

應(yīng)力函數(shù)表示成為區(qū)=粵+匕5=等+v,%=-曾，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容

22

dy>dx沖dxdy

方程。

解答】（1）將人/帶入平衡微分方程（2-2）

Sr

dox1Sr》davvdV八

+￡=o_i,"—n

dxdydx辦dx

--r*<

d(r5rdadrdV

Yivv4.中xv-Q

+4=0[⑦

dydxdxSy

（a）式變換為

(b)

了滿足式(b),可以取

,,於①於①02①

(J—V=--,CT—V=------,T=---------

dy2ydx2dxdy

企①今①

4羽+“'%+匕%

dx2dxdy

2)對體力、應(yīng)力分量求偏導(dǎo)數(shù)，得

22

dfx=dVdfy^dV

dxdx25dydy1

d2cy_d4Od2Vd2a_a40)d2V

xx(c)

dx2dx2dy2dx2'dy2dyAdy1

222

dcry_dV況—濟(jì)①dV

dx2dx4+dx2'dy2dx2dy2+dy2

(c)式代入公式(2-21)得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程

―+幻2+⑷修+劄(2-21)

a4Od2V①d2V於①a2y炭①82V(a2Vd2v}

西+京+歹+歹+嬴+/+說+7=(”)目+羽)

理得：

也+24+迎=_(1一/文+文](d)

dx4dx2dy2dy4[dx2dy2J

平面應(yīng)力問題中的相容方程為

力①=_(1_刈52丫

(c)式代入公式(2-22)或?qū)?d)式中的替換為上的平面應(yīng)變

1一」

情況下的相容方程：

拼①c濟(jì)①①22

l-2u(dvdv}(e)

422421

dxdxdy>dy\-/Jfirdy?

V4O=-^^V2Vo

1一〃

畢。

平面問題的直角坐標(biāo)解答

3-1］為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式

（2-15）,而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件

（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個積分的應(yīng)力

邊界條件代替式（2-15）,將會發(fā)生什么問題？

解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完

全得到滿足，往往比較困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)

力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同,

但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對遠(yuǎn)處

的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個積

分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件（公式2T5）,就會影響大部

分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的解答精度不足。

3-2］如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個小邊界條件，平衡微分方程和

其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個小邊界上，三個積分

的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核。

解答】區(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實(shí)質(zhì)上是邊

界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件。研

究對象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么

在最后的這個次要邊界上，三個積分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的，因而可

以不必校核。

3-3］如果某一應(yīng)力邊界問題中有m個主要邊界和n個小邊界，試問在主要

邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個條件？

解答】在m個主要邊界上，每個邊界應(yīng)有2個精確的應(yīng)力邊界條件，公式

(2-15),共2m個；在n個次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，

則有2n個；如果不能滿足公式(2-15)的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三

個靜力等效的積分邊界條件來代替2個精確應(yīng)力邊界條件，共3n個。

圖3-8

3-4)試考察應(yīng)力函數(shù)①=緲3在圖3-8所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么

問題(體力不計(jì))？|

解答】⑴相容條件：

論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)①總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式

(2-25)?

求應(yīng)力分量

體力不計(jì)時，將應(yīng)力函數(shù)中代入公式(2-24),得

2=6砂,%=0,%=%=°

考察邊界條件

下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.

右邊界上；

a〉0時，考察?分布情況，注意到、=0,故y向無面力

端：/=0=0=64(0<y<h)[=(%)皿=°

端：1(q)i=6ay(0<y</i)￡=(%,)i=0

力分布如圖所示，當(dāng)/?/?時應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主

矢，主矩

矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。

紅

Prp

心'星巨e：

為在A點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b,集中荷載p的偏心距e：

理可知，當(dāng)時，可以解決偏心壓縮問題。

A/2

力/2

3-5］取滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為：⑴①=加y,⑵中=22,⑶①試求出

應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫出圖3-9所示彈性體邊界上的面力分布，并在小

邊界上表示出面力的主矢量和主矩。

解答】（1）由應(yīng)力函數(shù)①得應(yīng)力分量表達(dá)式

%=0,%=2ay,%=%=-2ax

察邊界條件，由公式（2T5）卜伍+.，）=4"）

、（呼+/%）.,=/vG）

主要邊界，上邊界尸上上，面力為

2

—h—h

工（y=_1）=2以fy（y=--）=ah

主要邊界，下邊界y=g,面力為

了人y=g=_2ax,“y=g=ah

次要邊界，左邊界X=0上，面力的主矢，主矩為

向主矢：工=-9）=。辦=°

向主矢：Fy=-j：；（%屋0辦=0

矩：M=C'L。ydy=0

要邊界，右邊界x=/上，面力的主矢，主矩為

向主矢：F；=J：：9)/)'=0

向主矢：F；=(%).1dy=『：,(一a2l)dy=-2alh

矩：M=i'y(7^^ydy=0

性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示

<^=bxy2

應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24),得應(yīng)力分量表達(dá)式

<yx△=2bx,cyrv=0，T-V=rvx=-2by

察應(yīng)力邊界條件，主要邊界，由公式(2-15)得

y=-￡主要邊界，上邊界上，面力為人b=-2)=劭/y==o

y=g,卜邊界上,面力為工卜=2)=-麻,￡,卜=3)=0

次要邊界上，分布面力可按(2T5)計(jì)算，面里的主矢、主矩可通過三個積

分邊界條件求得：

左邊界x=0,面力分布為fG=O)=O,1v(x=O)=期

力的主矢、主矩為

向主矢:巴=-3=o

2

向主矢：Fy=-國％Ldy=-「(-2"心力=0

22

矩；M=一J］：9、X。=0

右邊界x=/上，面力分布為

力的主矢、主矩為

向主矢：F；=dy=R產(chǎn)如=2blh

向主矢：Fy'=R；(%匕dy=J：：(-2助力=0

矩：M'=￡(，),=，ydy=i'L2blydy=°

性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示

3）①=cxy,3

應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式

q=6竺,%=0,%=%=-3cy2

察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式(2-15)

上邊界y=上，面力為

hh\

y=―一=o

Zy2*2)

下邊界y=：上，面力為

二加，小告=0

4

要邊界上，分布面力可按(2-15)計(jì)算，面力的主矢、主矩可通過三個積

分邊界求得：

③左邊界x=0上，面力分布為

2

Z(X=0)=0,7v(x=0)=3cy

面力的主矢、主矩為

/1/2.、

4

響主矢：K=43%),二。辦=一匕(一3捫力=：加

ph/2

主矩：M=-19)=0必=0

④右邊界./上，面力分布為

2

￡(%=/)=6c儀,fy^x=l)=-3cy

面力的主矢、主矩為

X向主矢月'=￡-=J：；6"心=°

y向主矢：耳=￡(%)//=匕(-3勺2)辦=一凈

主矩：W2=lZ6c/y2（/y=加

彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示

y

圖3-9

3-6］試考察應(yīng)力函數(shù)①=親孫（3"-4>2）,能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分

量（不計(jì)體力），畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫

出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題。

解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）

舞+2黑+罌=0,顯然滿足

dxdxdydy

2）將中代入式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式

_12夫?qū)O___4y2

區(qū)=-工-巴=n°f二一五”鏟）

3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力:

在主要邊界上（上下邊界）上，y=±g,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15）,

應(yīng)力（bJwnnOGJ,』。二。

此，在主要邊界尸土^上，無任何面力，即小=±撲0,『,（尸±撲0

在x=0,的次要邊界上，面力分別為：

此，各邊界上的面力分布如圖所示

4-

在x=0,的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式:

二0上x-1上

此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖:

a)(b)

此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。

3-7試證

八等㈠方+3》D+常（2步令能滿

方程,并考察它在圖3-9所示矩形板

系中能解決什么問題（設(shè)矩形板的長度為1,

深度為力，體力不計(jì)）。

解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)中代入式（2-25）

炭①用①24分3"①2,一盤。__24qy

=0，2

dx4dx2dy2A3h3

入（2-25）,可知應(yīng)力函數(shù)中滿足相容方程。

2）將中代入公式（2-24）,求應(yīng)力分量表達(dá)式:

於①6qx2y4<yj33qy

i.i十h35h

①_/>=幺（_空+包T）

32lh3h）

瞪①

yx

3）考察邊界條件，由應(yīng)力分量及邊界形狀反推面力:

在主要邊界y=g(上面)，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界