元素法定積分在幾何學上的應用

第一講元素法定積分在幾何學上的應用元素法定積分在幾何學上的應用一、元素法二、定積分在幾何學上的應用元素法定積分在幾何學上的應用一、元素法二、定積分在幾何學上的應用元素法應用定積分解決實際問題的常用方法用定積分解決的問題的特點:所求量聯(lián)系著一個基本區(qū)間所求量對區(qū)間具有可加性元素法的主要步驟:選取積分變量,確定積分區(qū)間求出所求量對應于一個小區(qū)間的元素寫出所求量積分表達式元素的求法:在微小的局部以直代曲以不變代變元素法定積分在幾何學上的應用一、元素法二、定積分在幾何學上的應用元素法定積分在幾何學上的應用一、元素法二、定積分在幾何學上的應用二、定積分在幾何學上的應用（一）平面圖形的面積（二）體積（三）平面曲線的弧長二、定積分在幾何學上的應用（一）平面圖形的面積（二）體積（三）平面曲線的弧長曲線與直線及x

軸所圍曲邊梯形面積定積分幾何意義元素法:積分變量:x積分區(qū)間:[a,b]面積元素:所求面積:微小的局部“以直代曲”例1計算由兩條拋物線：y2=x、y=x2所圍成的圖形的面積xoy1xx+dx積分變量:x分析:積分區(qū)間:[0,1]面積元素:所求面積:例2計算由拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積xoyyy+dy積分變量:y分析:積分區(qū)間:[-2，4]面積元素:所求面積:-24法一例2計算由拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積.xoy積分變量:y分析:積分區(qū)間:[-2，4]面積元素:所求面積:28法一積分變量:x積分區(qū)間:[0,8]面積元素:所求面積:法二較繁！例3求橢圓所圍圖形的面積.xoy利用對稱性,有利用橢圓的參數(shù)方程應用定積分換元法得分析二、定積分在幾何學上的應用（一）平面圖形的面積（二）體積（三）平面曲線的弧長(二)體積1．旋轉(zhuǎn)體的體積2．平行截面面積已知的立體體積(二)體積1．旋轉(zhuǎn)體的體積2．平行截面面積已知的立體體積求由連續(xù)曲線段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積.連續(xù)曲線段繞

y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積.元素法:積分變量:x積分區(qū)間:[a,b]體積元素:所求體積:微小的局部“以不變代變”類似地:計算由橢圓所圍圖形繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.利用直角坐標方程法一(利用對稱性)例8分析利用參數(shù)方程法二計算擺線的一拱與

y＝0所圍成的圖形分別繞

x

軸,y

軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為例9分析繞y

軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注柱面面積柱殼體積(二)體積1．旋轉(zhuǎn)體的體積2．平行截面面積已知的立體體積(二)體積1．旋轉(zhuǎn)體的體積2．平行截面面積已知的立體體積設所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),

A(x)在[a,b]上連續(xù),求立體的體積

元素法:積分變量:x積分區(qū)間:[a,b]體積元素:所求體積:微小的局部“以不變代變”例10一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,與底面交成角,計算該平面截圓柱體所得立體的體積.垂直于x

軸的截面是直角三角形其面積為分析二、定積分在幾何學上的應用（一）平面圖形的面積（二）體積（三）平面曲線的弧長二、定積分在幾何學上的應用（一）平面圖形的面積（二）體積（三）平面曲線的弧長即并稱此曲線弧為可求長的.定理定義當折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限,則稱此極限為曲線弧AB若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,的弧長.任意光滑曲線弧都是可求長的.計算(1)參數(shù)方程情形曲線弧:和在[α,β]上具有連續(xù)導數(shù)積分變量:t積分區(qū)間:[α,β]弧長元素:所求弧長:計算擺線一拱的弧長.例11(2)直角坐標方程情形曲線弧:弧長元素:所求弧長:例12兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,下垂成懸鏈線.求這一段弧長.懸鏈線方程為例13求連續(xù)曲線段的弧長.(3)極坐標方程情形曲線弧:參數(shù)方程:弧長元素:所求弧長:例14求阿基米德螺線相應于0≤≤2一段的弧長.1.平面圖形的面積邊