歷屆高考試題匯編―集合與函數(shù)

第一章集合與函數(shù)

考試內(nèi)容：

集合?子集、交集、并集、補集.

映射.函數(shù)(函數(shù)的記號、定義域、值域).

事函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系.

指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù).換底公式.簡單的指數(shù)方程和對數(shù)方程.

二次函數(shù).

考試要求：

(1)理解集合、子集、交集、并集、補集的概念.了解空集和全集的意義，了解屬于、包含、相等關系的意義，能

掌握有關的術語和符號，能正確地表示一些較簡單的集合.

(2)了解映射的概念，在此基礎匕理解函數(shù)及其有關的概念掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系.

(3)理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，能利用函數(shù)的奇偶性與圖象

的對稱性的關系描繪函數(shù)圖象.

(4)掌握幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的概念及其圖象和性質(zhì)，并會解簡單的指數(shù)方程和對數(shù)方程.

一、選擇題

1.在下面給出的函數(shù)中，哪一個既是區(qū)間(0,，上的增函數(shù)，又是以"為周期的偶函數(shù)(85(3)3分)

A.y=xB.y=sinxC.y=cos2xD.y=esin2x

B

2.函數(shù)y=(0.2)一“+1的反函數(shù)是(86⑵3分)

A.y=logsx+lB.y~~lo^x51C.y=log5（x—1）D.y=logsx—1

C

3.在下列各圖中,y=ax：+bx與y=ax+b的圖象只可能是(86(9)3分)

B

S<zT,T(zS,令萬=507,那么SUX=(87(1)3分)

A.XB.TC.①D.S

D

5.在區(qū)間(一8,0)上為增函數(shù)的是(87(5)3分)

4y=-/ogo.5(-x)C.y=-(x+1)2D.y=l+x2

B

6.集合{1,2,3}的子集總共有(88(3)3分)

47個氏8個C6個D5個

B

7.如果全集/=仿，b,c,d,e}9M={&c,d},N=?d,e}f則如門令=(89(1)3分)

A.。B.nqejpsrC.{a,c}D.{/?,e]

A

8.與函數(shù)y=x有相同圖象的一個函數(shù)是(89(2)3分)

2

A.y=y[xB.y=^(。>0且aWl)Dy=/og/(q>0且〃W1)

D

9.已知/(%)=8+2x—x'，如果g(x)=/(2—x2),那么g(x)(89(11)3分)

4在區(qū)間(一1,0)上是減函數(shù)8.在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)

C在區(qū)間(一2,0)上是增函數(shù)D在區(qū)間(0,2)I二是增函數(shù)

A

10.方程2即』」的解是(90(1)3分)

4

1J3廠

A.X=QC.x=yj^D.x=9

A

11.設全集/={(達y)\x,y^R],M={(x,V)I§=1}，N={(x,y)"Wx+l},則初UW=(90⑼3分)

A.OB.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y=x+l}

B

12.如果實數(shù)x,y滿足等式(x—2尸+丁=3,那么!的最大值是(90(10)3分)

1

4氏CD

2-V3V23

D

13.函數(shù)*x)和g(x)的定義域為R,"/(x)和g(x)均為奇函數(shù)”是"/U)與g(x)的積為偶函數(shù)”的(90上海)

A.必要條件但非充分條件B.充分條件但非必要條件

C.充分必要條件D.非充分條件也非必要條件

B

14.如果/oga2>/ogb2>0，那么(90廣東)

A.l<a<bB.Kb<aC.0<a<h<\D.0<b<a<l

A

15.函數(shù)y=(x+4)2在某區(qū)間上是減函數(shù)，這區(qū)間可以是(90年廣東)

4(—8,—4]B.[—4,+0°)C.[4,+°°)D.(―00,4]

A

16.如果奇函數(shù)/(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值為5,那么/⑺在區(qū)間[—7,—3]上是(91(13)3分)

A.增函數(shù)且最小值為一5B.增函數(shù)且最大值為一5

C.減函數(shù)且最小值為一5D.減函數(shù)且最大值為一5

B

17.設全集為H,/(x)=s油;，g(x)=cosx,M={x|/(x)^0),N={x|g(x)W0},那么集合{x|/(x)g(x)=0}等于(91

年?3分)

A.MCNB.MUNC.MUND.A/UN

D

18.誓1等于(92(1)3分)

lOg26

23

J-B.1C.~D.2

A

19.圖中曲線是幕函數(shù)y=x"在第一象限的圖象，已知〃取±2,四個值，則相應于曲線a,

次是(92(6)3分)

1

1111C---2

A.-2,--2B.2,-5，—222,

yc\

111

8

-D亍---

22,2,2

x-X

20.函數(shù)了=得乙的反函數(shù)(92(16)3分)4是奇函數(shù)，它

在(0,+8)上是減函數(shù)8.是偶函數(shù)，它在(0,+8)上是減函數(shù)

C.是奇函數(shù)，它在(0,+8)上是增函數(shù)D是偶函數(shù)，它在(0,+8)上是增函數(shù)

C

21.如果函數(shù)/(x)=f+bx+c對任意實數(shù)t都有/(2+。=/(2一/),那么(92(17)3分)

A./'(2)</(1)</(4)5./U)<7(2)</(4)

C./(2)</(4)</(l)D/(4)S/■⑵</(i)

A

23.設全集/=A,集合M={x|，？>2},N=\logx7>logi7},那么MCI?=(92年三南)

A.{x|x<_2)8.{x|x<—2或x23}C.{x|x23}D.{x|—2^x<3}

B

24.對于定義域為R的任何奇函數(shù)/(x)都有(92年三南)

A.f{x)一/(—x)>0(x￡R)—/(—x)W0(x￡7?)

C.fMf(-x)WO(xeR)D/(x)/(—x)>0(xe/?)

C

2

25.F(x)=[l+-]/(x),(xWO)是偶函數(shù)，且/(x)不恒等于0,則/(x)(93(8)3分)

4是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)

C.可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)D不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

A

26.設a,b,c都是正數(shù),且3a=心=6°,那么（93（16）3分）

11,122112.2

A.一=一+工C=+

cabBqF-cab

B

27.函數(shù)與y=/og^的圖象可能是（93年上海）

28.集合M={x|x=,+￡,k^Z},N={x|x=牛k^Z},則(93年三南)

A.M=NB.NuMC.M3D.MCN=9

C

29.設全集/={0,1,2,3,4},集合4={0,1,2,3},集合8={2,3,4},則才U5=(94(l)4分)

A.{0}B.{0,1}C.{0,1,4}D.{0,1,2,3,4}

C

30.設函數(shù)/(x)=1-VW(-1WxWO),則函數(shù)(x)的圖象是(94(12)5分)

31.定義在R上的任意函數(shù)/(x)都可以表示成一個奇函數(shù)g(x)與一個偶函數(shù)〃(x)之和，如果/(x)=/g(10v+l),x

WR,那么(94(15)5分)

4g(x)=x,依)=恁(1。、+10.、+1)B.g(x)」g*D+x,

C.g(x)=$h(x)=/g(10v+l)—Dg(x)=一參"(x)=/W」

33.設/是全集，集合P,。滿足PuQ,則下面結(jié)論中錯誤的是(94年上海)

4PUQ=0B.KUQ=IC.PC?=(pD.PQQ^P

D

34.如果0Va<l,那么下列不等式中正確的是(94上海)

3-1

4(1—。)*>(1—q)2B.log(i-a)(1+a)>0C.(1—a)>(1+<7)D.(1—d)1

A

35.已知/為全集，集合MNul,若MCN=N,則(95⑴4分)

A.M^NB.M^NC.而仁耳D.M^N

C

36.函數(shù)y=一士的圖象是(95(2)4分)

Jx+1

A.yB.yC.yD.y

O1X-ioxO1X-1o

B

37.已知y=/og〃(2一妝)在[0,1]上是上的減函數(shù)，則。的取值范圍是(95(11)5分)

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+8)

B

38.如果P={x[(x-l)(2x—5)V0},Q={x0<x<10},那么(95年上海)

A.PC\Q=(pB.PuQC.Q^PD.PUQ=R

B

39.已知全集集合4={%|x=2〃,n^N},3={x|x=4〃,nGN},則(96(1)4分)

A.I=AUBB.1=AUBC.I=AUD.

41.設/(x)是(-8,+8)上的奇函數(shù)，/(x+2)=—/(x),當04Wl,/(x)=x,則/(7.5)=(96(15)5分)

A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5

B

42.如果/oga3>/ogb3>0,那么a、b間的關系為(96上海)

A.0<a<b<lB.l<a<bC.O<b<a<lD.\<h<a

B

43.在下列圖像中，二次函數(shù)歹=衣2+公與指數(shù)函數(shù)y=g)、的圖像只可能是(96上海)

r?/X

A

44.設集合〃={x[0Wx<2},集合N=>卜?一以一3VO},集合MA<=(97(1)4分)

4{x|0WxVl}B.U|0^x<2)C.{xIOWxWl}D{x|0WxW2}

B

45.將y=2’的圖象

A.先向左平行移動1個單位B.先向右平行移動1個單位

C.先向上平行移動1個單位。先向下平行移動1個單位

再作關于直線y=x對稱的圖象，可得到函數(shù)尸=/?？?》+1)的圖象.(97(7)4分)

D

46.定義在區(qū)間(一8+8)的奇函數(shù)/(X)為增函數(shù)；偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,+8)的圖象與/(X)重合.設

>0,給出下列不等式：

①lf(b)>g(a)—g(—b)@f(b)<g(a)—g(—b)

@f{a)>g(b)—g(—a)@f(a)-f(-b')<g(b)—g(—a)

其中成立的是(97(13)5分)

A.①與④B.②與③C.①與③D.②與④

47.三個數(shù)6°',0.7',/og°.￡的大小關系為(97上海)

fi07607

A.O.7</ogo.r6<6B.0.7<6</og0,76

076

C./ogo,76<6<0.7D.log076Vo.76<6°,

D

48.函數(shù)〉=。、(〃>1)的圖像是(98(2)4分)

49.函數(shù)/(x)=；(xW0)的反函數(shù)f'(x)=(98(5)4分)

1/、C.—x(xHO)D.一§(xH0)

4x(x#0)8.1(xW0)

B

50.如果實數(shù)心V滿足f+/=i,那么(1一個)(1+中)有(98年廣東)

13

A.最小值］和最大值1B.最大值1和最小值疝

3

C.最小值a而沒有最大值D.最大值1而沒有最小值

B

51.如圖，/是全集，M、P、S是/的3個子集，則陰影部分所表示的集合是A.(MAP)nsB.

C.(A/np)n5D(MAP)uX(99(1)4分)C

52.已知映射其中集合4={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合8中的元素都是

A中的元素在映射/下的象，且對任意的在B中和它對應的元素是。，則集合B中的元素的個數(shù)是

(99(2)4分)

A.4B.5C.6D.7

A

53.若函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)是y=g(x),/(a)=b,HWO,則g(Z>)=(99(3)4分)

A.aB,a—1C.hD.b—1

A

54.設集合2和8都是自然數(shù)集合N,映射f8把集合Z中的元素〃映射到集合8中的元素2"十〃，則在映

射/下，象20的原象是(2000(1)5分)

A.28.3C.4D.5

C

55.《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800

元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表分別累進計算.

全月應納稅所得額稅率

不超過500元的部分5%

超過500元至2000元的部分10%

超過2000元至5000元的部分15%

??????

某人一月份應交納此項稅款26.78元，則他的當月工資、薪金所得介于(2000⑹5分)

A.800-900元B.900~1200元C.1200~1500元D.1500~2800元

C

56.設全集/=仿,b,c,d,e},集合M={a,c,d},N={h,d,e},那么而CR是(2000春京、皖(2)4分)

A.0B.{4}C.{a,c}D.{b,e}

A

57.已知/(父)=log4,那么/(8)等于(2000春京、皖)

41

B.8C.18D.-

D

58.函數(shù)y=/g|x|(2000春京、皖(7)4分)

4是偶函數(shù)，在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增

8.是偶函數(shù)，在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減

C是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

。.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減

B

59.已知函數(shù)/tOnaf+bf+cx+d的圖象如右圖，則(2000春京、皖(14)5分)

A.be(-8,o)B.b^(0,1)C.be(1,2)D.(2,+=°)

A

60.若集合S={y|y=3',x^R},T=[y\y=x2-l,xGR},則SCI7是(2000上海(15)4分)

A.SB.TC.0D.有限集

A

61.已知集合[={1,2,3,4},那么N的真子集的個數(shù)是(2000廣東)

A.15B.16C.3￡).4

A

62.設集合4和8都是坐標平面上的點集{(x,j)\x^R,ye/?),映射8把集合Z中的元素(x,y)映射成集

合8中的元素(x+y,x—y),則在映射/下，象(2,1)的原象是(2000年江西、天津(1)5分)

3131

A.(3,1)B,C.(-,—5)D(1,3)

乙乙乙乙

B

63.集合M={1,2,3,4,5}的子集個數(shù)是(2001年春京、皖、蒙(1)5分)

A.32B.31C.16D.15

A

64.函數(shù)/(x)=/(a>0且aWl)對于任意的實數(shù)x、y都有(2001春京、皖、蒙(2)5分)

4/(盯)=/(x)/(y)B.f{xy)=/(x)+f[y)

C./(x+y)=/(x)/(y)D.f(x+y)=/(x)+/(y)

C

65.函數(shù)夕=一后彳的反函數(shù)是(2001春京、皖、蒙(4)5分)

A.y=x1—\(—l^x^O)

Cy=l—f(xWO)Dy=lT(0WxWl)

C

66.已知/(f)=/ogM,那么/(8)等于(2001春京、皖、蒙(7)5分)

41

A.-B.8C.18D.~

o

D

67.若定義在區(qū)間(-1,0)內(nèi)的函數(shù)八公二上空式丫+口滿足/⑺〉。，則。的取值范圍是(2001年(4)5分)

A.(1,+°°)B.(0,C.(0,1)D.(0,+8)

C

68.設/(x)、g(x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個命題：(2001年(10)5分)

①若/(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則/(x)—g(x)單調(diào)遞增；

②若/W單調(diào)遞增，g(X)單調(diào)遞減，則/(x)-g(x)單調(diào)遞增；

③若/(X)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，則/(x)-g(x)單調(diào)遞減；

④若/W單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減，貝U/(x)—g6)單調(diào)遞減；

其中，正確的命題是

A.(2X3)B.①④C.①③D.②④

A

69.滿足條件MU{1}={1,2,3}的集合M的個數(shù)是（2002年北京（1）5分）

A.15.2C.3D.4

B

70.下列四個函數(shù)中，以兀為最小正周期，且在區(qū)間（手兀）上為減函數(shù)的是（2002年北京（3）5分）

A.y—cos2xB.y—2\sinx\C.y=（3"""D.y——cotx

B

71.如圖所示，f（x）（i=l,2,3,4）是定義在［0,1］上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對［0,1］中任意的M和

X2,任意入G［0,1］,_/Uxi+（l—九）X2］Wy（?）+（l—九）/（&）恒成立”的只有（2002年北京（12）5分）

72.一般地，家庭用電量（千瓦時）與氣溫（°C）有一定的關系，用圖（1）表示某年12個月中每月的平均氣溫，圖（2）

表示某家庭在這年12個月中每月的用電量，根據(jù)這些信息，以下關于該家庭用電量與氣溫間關系的敘述中，

正確的是（2002年上海（16）4分）

B.后

D當氣溫小于某-值時，用電量隨氣溫降低而增加

C

t1k1

73.集合{x|x=5+a，aez},N—k^Z},貝U(2002年全國(5)、廣東(5)、天津(6)5分)

A.M=NB.MczNC.NuMD.MCN=9

B

74.函數(shù)/(x)^x\x+a\+b是奇函數(shù)的充要條件是(2002年廣東(7)5分)

A.ab=OB.a+b=QC.a=bD.a+b1^

D

75.函數(shù)y=l一占'(2002年廣東(9)5分)

4在(-1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增8.在(-1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減

C.在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增。.在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減

C

76.函數(shù)^=/+人+。(》6[0,+8))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(2002年全國(9)、天津(8)5分)

4b20B.bWQC.b>0D.b<0

A

77.據(jù)2002年3月9日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到95933億元，比上年

增長7.3%”,如果“十?五”期間(2001年——2005年)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長,那么到

“十?五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為(2002年全國(12)、廣東(12)、天津(12)5分)

A.115000億元B.120000億元C.127000億元D.135000億元

C

78.函數(shù)y=l一占的圖像是(2002年全國(10)5分)

B

79.若集合河=&歷=2-力，P={y\y=y[^=l],則A/C尸=（2003年春北京⑴5分）

A.B.{y|yel}C.{y|y>0}D.{y|y20}

C

x-1

80.若/(x),則方程/(?)=x的根是(2003年春北京(2)5分)

11

4&C22

2_-2--

/

81.關于函數(shù)/G)=(s加X)-(令、+1,有下面四個結(jié)論:

(l)/(x)是奇函數(shù)(2)當x>2003時，/(x)恒成立

⑶心)的最大值是楙3(4)/(x)的最小值是一51

其中正確結(jié)論的個數(shù)為(2003年春上海(16)4分)

41個8.2個C3個D4個

A

二、填空題

1.設函數(shù)/(%)的定義域是［0,1］，則函數(shù)/(?)的定義域為.(85(10)4分)

答：［-1,1］

2.已知圓的方程為一+3—2)2=9,用平行于x軸的直線把圓分成上下兩個半圓，則以上半圓(包括端點)為圖像

的函數(shù)表達式為(85廣東)

答：尸2+如彳

3.方程"25*m=:的解是.(86(11)4分)

4.方程9r—2-3-，=27的解是.(88(17)4分)

答：x=-2

ex-l

5.函數(shù)的反函數(shù)的定義域是—.(89(15)4分)

答：(-1,1)

6.函數(shù)。=、卜一49的值域為(89廣東)

答：

7.函數(shù)的定義域是(90上海)

答：［—4,一2)U(—2,+8)

8.設函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=l對稱，若當xWl時，y=f+l,則當x>l時，y=(91年上海)

答：(X-2)2+1

9.設函數(shù)/(x)=f+x+T的定義域是［〃，〃+1］(〃是自然數(shù))，那么在/(x)的值域中共有個整數(shù)(91年三

南)

答:2n+2

1—3”

10.方程中7=3的解是.(92(19)3分)

答：x=-1

11.設含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S,其中由3個元素組成的子集數(shù)為T,則5的值為

.(92(21)3分)

12.已知函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)為r'(x)=而一l(x2O),那么函數(shù)/(x)的定義域為(92上海)

答：x2一1

13.設/(x)=4A-2r+1(xNO),f'(0)=.(93(23)3分)

答：1

注:原題中無條件x，0,此時/(x)不存在反函數(shù).

14.函數(shù)y=f—2x+3的最小值是(93年上海)

答：2

15.在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得〃次測量分別得到外，久，…外,共〃個數(shù)據(jù)，我們

規(guī)定所測物理量的“最佳近似值”。是這樣一個量:與其它近似值比較，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小，依此

規(guī)定，從⑶，G,…?！巴瞥龅?。=.(94(20)4分)

次、qi+a2d---

16.函數(shù)尸/切10'—2的定義域是——(95上海)

答：(值2,+8)

17.1992年底世界人口達到54.8億，若人口的年平均增長率為牖，2000年底世界人口數(shù)為近億)，那么y與x

的關系式為(96上海)

答:y=54.8(l+x%)s

18.方程/ogiO^-5)=/og2(3*—2)+2的解是x=(96匕海)

答：1

19.函數(shù)y=-/)的定義域為_____________(96上海)

logo,a(.2—X)

答：(1,2)

20./g20+/ogioo25=(98上海)

答：2

21.函數(shù)/(x)=，(a>0,。#1)在區(qū)間［1,2］上的最大值比最小值大導則。=(98上海)

答：萬或5

[2x+3(xWO)

22.函數(shù)y=*+3(0<xWl)的最大值是___________(98年上海)

【一x+5(x>l)

答：4

9r—1

23.函數(shù)y=/og2.的定義域為(2000上海(2)4分)

oX

答：63)

24.已知/(x)=2'+b的反函數(shù)為y=1'(x),若y=「(x)的圖像經(jīng)過點0(5,2),則6=(2000上海(5)4

分)

答：1

25.根據(jù)上海市人大H??一屆三次會議上的市政府工作報告，1999年上海市完成GOP(GDP是值國內(nèi)生產(chǎn)總值)4035

億元，2000年上海市G。尸預期增長9%,市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增長率將控制在0.08%,

若GDP與人口均按這樣的速度增長，則要使本市人均GDP達到或超過1999年的2倍，至少需要—

年(2000上海⑹4分)

(按：1999年本市常住人口總數(shù)約1300萬)

答：9

的圖像為如

分)

海⑴4分)

28.關于x的函數(shù)/(x)=si〃(x+9)有以下命題：(2001年春上海(11)4分)

(1)對任意的3,7(x)都是非奇非偶函數(shù)；

(2)不存在外使/(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

(3)存在夕，使/U)是奇函數(shù)；

(4)對任意的a/G)都不是偶函數(shù)。

其中一個假命題的序號是。因為當曠時，該命題的結(jié)論不成立。

答：(1),奴Gtez)；⑴，余既々GZ)；(4),1+kMkwZ)等。(兩個空格全填對時才能得分，其中k也可以

寫成任何整數(shù))

29.方程歷g式1—2-3、)=2r+1的解x=.(2002年上海(3)4分)

答：T

30.已知函數(shù)y=/(x)(定義域為，值域為⑷有反函數(shù)了=尸(》)，則方程/(x)=0有解x=q,且/(x)>x(xG。)

的充要條件是⑺滿足(2002年上海(12)4分)

答：/'(0)=。且,(x)<x(xe/)；v=〃(x)的圖像在直線y=x的下方，且與y軸的交點為(0,a)；……

2x

31.函數(shù)y=H(xd(—1,+8))圖象與其反函數(shù)圖象的交點坐標為。(2002年天津(13)4分)

1+x

答：(0,0),(1,1)

32.函數(shù)y="在［0,1］上的最大值和最小值之和為3,則。=(2002年全國(13)4分)

答：2

33.已知函數(shù)/G)=低？那么/⑴+/⑵+/(1)+/(3)+/《)+/(4)+/(；)=(2002年全國(16)、廣東

(16)、天津(16)4分)

較口..-2

34.若存在常數(shù)p>0,使得函數(shù)/(x)滿足f(px)=f(px—與(xGR),則/(%)的一個正周期為.(2003年春

北京(16)4分)

答：會填5的任何,個正整數(shù)倍均可)

35.已知函數(shù)/(x)=W+l，則/'(3)=.(2003年春上海(1)4分)

答：4

36.已知集合2=仕||x|W2,xG/?},8=以以》廿且“討，則實數(shù)。的取值范圍是.(2003年春上

海⑸4分)

答：(一8,-2)

37.若函數(shù)y=x2+(a+2)x+3,xd切的圖象關于直線x=1對稱，則6=,(2003年春上海(11)4

分)

答：6

三、解答題

1.解方程/ogi(3—x)+/ogo.25(3+x)=log\{1—x)+/ogo.25(2x+l).(85(11)7分)

解：由原對數(shù)方程有意義，可得x的取值范圍是一0.5<%<1,

..、，3—X1—Xrr3-X1-X

l

原力程化為°g^c=/。%+1即在「x+l

解這個方程得羽=0,X2=7.

其中沏=0d(一,D是原方程的解，M=7隹(一"1),應舍去.

2.設a,方是兩個實數(shù)，4={(x,y)\x=n,y=na-\-b9〃是整數(shù)},B={(x,y)\x=m,y=3加'+15,相是整數(shù)},

C={(x,y)|f+，wi44}是皿y平面內(nèi)的集合，討論是否存在。和6使得①4A8W0,②(m6)￡C同時成

立.(85(17)12分)

解法一:如果存在實數(shù)。和6使得①式成立，則存在整數(shù)機和〃使得

(〃，na+b)=(w,3/7?'+15)

即〃=加，〃。+6=3m2+15

:.+6=3〃~+15

這個等式表明點尸(。，6)在直線/:〃x+y=3〃2+15上

micki田山13w'+15|3(M'+5)n14

原點O至1)直線/的E巨離d—/”-=-1,-3(?.,-4~I)

、""+1y/rf+lyjn~+1\M'+1

：.d^l2,當且僅當一=3時取等號，而“ez,...“2W3,故只有d>12

二點P到原點的距離|PO|=y]a+h">d>12,即a2+62>144.

而②成立要求，+ywi44.

由此可知，同時滿足①②的°,6不存在.

解法二:如果存在實數(shù)a,b能同時滿足①②，

同解法一，由①成立知，存在整數(shù)"使得〃a+b=3/+15,即6=3/—〃a+15,(*)

由②成立得4+6W144

將(*)式代入上式，并按a整理得關于a的二次不等式

(1+w')a'-2n(3/+15)a+(3M2+15)2—144^0

它的判別式△=4〃2(3"'+15),—4(1+〃-)[(3?"+15)'—144]=—36(〃'-3)

V?eZ,/.n-3^0,于是△<()

又因1+〃2>0,故這個關于a的不等式不可能有實數(shù)解

即是說不存在實數(shù)a，b,使得①②同時成立.

解法三:如果存在實數(shù)a,6能同時滿足①②，同解法一,由①成立知，存在整數(shù)〃使得

3〃"一an-(b-15)=0(*)

于是它的判別式應非負，即△=4+126—18020(**)

由此得12b—1802一a

由②成立知，+/W144,(***)

即一4*一144

因此有126—180)/一144

即(6一6)2近0

只有b=6

將6=6代入判別式(**)得出，2108

但將6=6代入(***)式得出"W108

于是只有。'=108,此時從(*)式解出〃=合=±小￡2

所以不存在實數(shù)a,b,使得①②同時成立.

3.已知集合Z和集合8各含有12個元素，4r18含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù):

①Cu4U8,且C中含有3個元素，②Cn/W0(0表示空集)(86(20)10分)

解法一：以為48各含有12個元素，4C8含有4個元素，因此4UB的元素個數(shù)是12+12—4=20個，所以

滿足條件①的集合個數(shù)是C；。，在上面集合中，還滿足ZCC=。的集合C的個數(shù)是C；,因此所求集合C的

個數(shù)為q0-C；=1084.

解法二：由題目條件可知，屬于8而不屬于4的元素個數(shù)是12—4=8,因此，在/UB中只含/中1個元素的

所求集合C的個數(shù)為Che；；同理，含/中2個元素和3個元素的集合C的個數(shù)分別為和C》總數(shù)為

C；C+C2+&=1O84.

4.給定實數(shù)a,aWO且aWl,設函數(shù)(xd及且xW、),證明：

①經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸；

②這個函數(shù)的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形.(88(24)12分)

證法一:①設M3,力)，MAX2,*)是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點，則》之檢，且

X2~1X|-1ar/2—X2一辦1+1—(冰優(yōu)2一第一公2+1)

■'辦2—1ax\~l(ax2-1)(axi-1)

(乃一X2)(a—1)

(ar?-1)(g—1)

V67^=1且XiW、2,，產(chǎn)一yWO

從而直線M跖的斜率左=#0,因此直線M監(jiān)不平行于x軸.

X2~Xl

②設點尸3，H)是這個函數(shù)的圖象上任意一點，則為工々1且6=X會\—三1(/)

易知點尸國，N)關于直線y=x的對稱點乃的坐標為M，即)

由G)式得y\(axi-1)=xi—1

變形得x\(tzyi-1)=^i—l(zz)

假如華—1=0,則yWj代入⑺得￡=if=a=l

這與已知oWl矛盾，，吶一40

于是由(")式得箝力號這說明點P(y,X)也在己知函數(shù)的圖象上

因此這個函數(shù)的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形.

證法二:①設M3,辦)，跖(必產(chǎn)),是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點，則MWM

假如直線M胚平行于x軸，那么即二二]=三二

ax\—\ax2~1

去分母整理得aUi—X2)=X\—X2f

VXi^X2,所以4=1,這與已知矛盾，因此以旅不平行于x軸.

②先求所給函數(shù)的反函數(shù).

由y=-_7(x￡&且xW,)

Jax-1a

得y(ax—l)=x-1即x{ay—1)—y~1

假如政一1=0,則y=[,代入所給函數(shù)的解析式，得%

即辦一4=OY—1所以4=1,這與已知矛盾，故即一1W0

于是苫=導34

所以原函數(shù)的反函數(shù)為與原函數(shù)相同.

由于函數(shù)y=f（x）的圖象和它的反函數(shù)（X）的圖象關于y=x對稱,

x—11

所以函數(shù)夕=募與（xdR且xN￡）的圖象關于y=x對稱.

證法三:①任取一條與x軸平行的直線/,設其方程為y=c（c為常數(shù)）

下面考慮/與所給函數(shù)的圖象是否相交，以及交點個數(shù)的情況：

x-1

將y=c代入y=晟』

整理得（co-l）x=c-l

若ca—1=0,即c=>時，上式變?yōu)?=c—1,即c=l=>a—1

這與已知矛盾，故此時/與函數(shù)圖象無交點；

c—1

當CQ—1X0時，得工=-----

ac—1

c—1

這說明原方程只有一個解，從而直線/與函數(shù)圖象只有一個交點（——r，c）,

綜上所述，平行于x軸的直線/不可能同時經(jīng)過所給函數(shù)圖象上的兩個不同點，

因此，經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩點的直線不平行于X軸.

5.已知a>0且。工1,試求使方程log^x-ah=/喈〃（/一1）有解的k的取值范圍.（89（22）12分）

解法一：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，原方程的解x應滿足

（.x—a!c）'—x'—a①

?x-ak>0②

X2—<72>0