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目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分AppendixA目前一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點引言

廣義相對論（1915）、理論物理連續(xù)介質(zhì)力學（固體力學、流體力學）現(xiàn)代力學的大部分文獻都采用張量表示主要參考書:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972.黃克智等，張量分析，清華大學出版社，2003.目前二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點張量基本概念標量（零階張量）例如：質(zhì)量，溫度質(zhì)量密度應變能密度等等。其值與坐標系選取無關(guān)。

目前三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點張量基本概念矢量（一階張量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等。目前四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點矢量（一階張量）矢量u在笛卡爾坐標系中分解為其中u1,u2,u3

是u的三個分量，e1,

e2,e3是單位基矢量。張量基本概念目前五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;其分量與坐標系選取有關(guān)，滿足坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系；遵從相應的矢量運算規(guī)則。張量基本概念目前六頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點矢量(可推廣至張量)的三種記法：實體記法：u

分解式記法：分量記法：AppendixA.1張量基本概念目前七頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點AppendixA.1張量基本概念指標符號用法三維空間中任意點P的坐標（x,y,z）可縮寫成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。兩個矢量a和b的分量的點積(或稱數(shù)量積)為：目前八頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點愛因斯坦求和約定如果在表達式的某項中，某指標重復地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復的指標稱為啞指標，簡稱啞標。張量基本概念目前九頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

由于aibi=biai，即矢量點積的順序可以交換：由于啞標i僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交換。例如：只要指標j或m在同項內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和i相同。張量基本概念目前十頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點約定：

如果不標明取值范圍，則拉丁指標i,j,k,…表示三維指標，取值1,2,3；希臘指標,,

,…均為二維指標，取值1,2。張量基本概念目前十一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

拉丁指標

希臘指標張量基本概念目前十二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點二階張量應變，應力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量壓電張量，等。四階張量彈性張量，等。張量基本概念目前十三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點二階（或高階）張量的來源描述一些復雜的物理量需要二階（或高階）張量；低階張量的梯度；低階張量的并積；更高階張量的縮并，等。張量基本概念目前十四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點應力張量張量基本概念目前十五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點張量的三種記法：實體記法：分解式記法：分量記法：張量基本概念目前十六頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點張量基本概念愛因斯坦求和約定目前十七頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點采用指標符號后，線性變換表示為利用愛因斯坦求和約定，寫成：其中j是啞指標，i是自由指標。張量基本概念目前十八頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

例如一點的應力狀態(tài)要用應力張量來表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為

（或）。矢量和標量是特殊的張量，矢量為一階張量，標量為零階張量。AppendixA.1張量基本概念目前十九頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點在表達式或方程中自由指標可以出現(xiàn)多次，但不得在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標。例：若i為自由指標★張量基本概念目前二十頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點自由指標表示：若輪流取該指標范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。例如：表達式在自由指標i取1，2，3時該式始終成立，即有張量基本概念★目前二十一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點同時取值的自由指標必須同名，獨立取值的自由指標應防止重名。自由指標必須整體換名，即把方程或表達式中出現(xiàn)的同名自由指標全部改成同一個新名字。i換成k★★張量基本概念目前二十二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點指標符號也適用于微分和導數(shù)表達式。例如，三維空間中線元長度ds和其分量dxi之間的關(guān)系可簡寫成：場函數(shù)f(x1,x2,x3)的全微分：★張量基本概念23目前二十三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點可用同項內(nèi)出現(xiàn)兩對(或幾對)不同啞指標的方法來表示多重求和。例如：若要對在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標進行遍歷求和，一般應加求和號。如：★★張量基本概念24目前二十四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點一般說不能由等式兩邊消去ai導得但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立?！飶埩炕靖拍?5目前二十五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點小結(jié)通過啞指標可把許多項縮寫成一項，通過自由指標又把許多方程縮寫成一個方程。一般說，在一個用指標符號寫出的方程中，若有k個獨立的自由指標，其取值范圍是1～n，則這個方程代表了nk個分量方程。在方程的某項中若同時出現(xiàn)m對取值范圍為1～n的啞指標，則此項含相互迭加的nm個項。張量基本概念26目前二十六頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分27目前二十七頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點符號ij與erst

ij符號

(Kroneckerdelta)

定義(笛卡爾坐標系)(i,j=1,2,…,n)

特性1.對稱性，由定義可知指標i和j是對稱的，即28目前二十八頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點3.換標符號，具有換標作用。例如：2.ij

的分量集合對應于單位矩陣。例如在三維空間即：如果符號的兩個指標中，有一個和同項中其它因子的指標相重，則可以把該因子的那個重指標換成的另一個指標，而自動消失。符號ij與erst

29目前二十九頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

類似地有符號ij與erst

30目前三十頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點erst符號(排列符號或置換符號，Eddington)

定義(笛卡爾坐標系)當r,s,t為正序排列時當r,s,t為逆序排列時當r,s,t中兩個指標值相同時(1,2,3)及其輪流換位得到的(2,3,1)和(3,1,2)稱為正序排列。(3,2,1)及其輪流換位得到的(2,1,3)和(1,3,2)稱為逆序排列?；蚍杋j與erst

31目前三十一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

特性共有27個元素，其中三個元素為1，三個元素為-1，其余的元素都是0對其任何兩個指標都是反對稱的，即當三個指標輪流換位時(相當于指標連續(xù)對換兩次)，erst的值不變

符號ij與erst

32目前三十二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

常用實例三個相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標準化基。它具有如下重要性質(zhì)：每個基矢量的模為1，即eiej＝1(當i＝j(luò)時)

不同基矢量互相正交，即eiej＝0

(當i≠j時)

上述兩個性質(zhì)可以用ij表示統(tǒng)一形式：eiej＝ij符號ij與erst

33目前三十三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

當三個基矢量ei,ej,ek構(gòu)成右手系時，有

而對于左手系，有：

符號ij與erst

34目前三十四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點2.矢量的點積：3.矢量的叉積(或稱矢量積)：

如果沒有特殊說明，我們一般默認為右手系。符號ij與erst

35目前三十五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點叉積的幾何意義是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b構(gòu)成的平行四邊形面積，方向沿該面元的法線方向。★符號ij與erst

36目前三十六頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點★★★符號ij與erst

37目前三十七頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點三個矢量a,b,c的混合積是一個標量，其定義為：符號ij與erst

★若交換混合積中相鄰兩個矢量的順序，混合積的值反號。當a,b,c構(gòu)成右手系時，混合積表示這三個矢量所構(gòu)成的平行六面體體積。若構(gòu)成左手系，則為體積的負值。38目前三十八頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點由此可見符號ij和erst分別與矢量代數(shù)中的點積和叉積有關(guān)。利用(1)和(2)式有符號ij與erst

39目前三十九頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點4.三階行列式的值符號ij與erst

40目前四十頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點符號ij與erst

4.三階行列式的值41目前四十一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點符號ij與erst

4.三階行列式的值42目前四十二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點5.e-

恒等式，其一般形式為：即退化形式為：符號ij與erst

43目前四十三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點1.平衡方程：如何用張量改寫彈性力學基本方程？xyz44目前四十四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點2.幾何方程：如何用張量改寫彈性力學基本方程？45目前四十五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點3.本構(gòu)方程（各向同性材料）：如何用張量改寫彈性力學基本方程？提示：可以用到σkk和δij

γij=2εij

G=E/[2(1+ν)]46目前四十六頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點4.變形協(xié)調(diào)方程（平面應變）：如何用張量改寫彈性力學基本方程？提示：二維指標為希臘字母,,,…，取值1,2。47目前四十七頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分48目前四十八頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點坐標與坐標轉(zhuǎn)換笛卡爾坐標系(單位直角坐標系)49目前四十九頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

笛卡爾坐標系(單位直角坐標系)坐標變化時，矢徑的變化為

坐標與坐標轉(zhuǎn)換50目前五十頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

任意坐標系坐標變化時，矢徑的變化為

坐標與坐標轉(zhuǎn)換51目前五十一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

概念坐標線當一個坐標任意變化而另兩個坐標保持不變時，空間點的軌跡，過每個空間點有三根坐標線?；噶渴笍綄ψ鴺说钠珜?shù)定義的三個基矢量gi

坐標與坐標轉(zhuǎn)換52目前五十二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點參考架空間每點處有三個基矢量，它們組成一個參考架或稱坐標架。任何具有方向性的物理量都可以對其相應作用點處的參考架分解。對笛卡爾坐標系：坐標與坐標轉(zhuǎn)換53目前五十三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點三個相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成正交標準化基坐標與坐標轉(zhuǎn)換54目前五十四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點歐氏空間中的一般坐標系現(xiàn)在的坐標線可能不再正交；不同點處的坐標線可能不再平行；基矢量的大小和方向都可能隨點而異；各點處的參考架不再是正交標準化基。

坐標與坐標轉(zhuǎn)換55目前五十五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

坐標轉(zhuǎn)換坐標與坐標轉(zhuǎn)換56目前五十六頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點將新基對老基

分解：轉(zhuǎn)換系數(shù)：反之：

坐標與坐標轉(zhuǎn)換57目前五十七頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點向新坐標軸

投影，即用點乘上式兩邊，則左邊：右邊：坐標與坐標轉(zhuǎn)換58目前五十八頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點由上述兩式可得新坐標用老坐標表示的表達式

經(jīng)過類似推導可得老坐標用新坐標表示的表達式

坐標與坐標轉(zhuǎn)換59目前五十九頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點坐標轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老坐標原點重合)

坐標與坐標轉(zhuǎn)換60目前六十頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

坐標轉(zhuǎn)換的一般定義設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個新、老坐標系，和是同一空間點P的新、老坐標值，則方程組定義了由老坐標到新坐標的坐標轉(zhuǎn)換，稱正轉(zhuǎn)換。其逆變換為對(*)式微分(*)坐標與坐標轉(zhuǎn)換61目前六十一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點處處不為零，則存在相應的逆變換，即可反過來用唯一確定其系數(shù)行列式(雅克比行列式)坐標與坐標轉(zhuǎn)換62目前六十二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點容許轉(zhuǎn)換由單值、一階偏導數(shù)連續(xù)、且J處處不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實現(xiàn)的坐標轉(zhuǎn)換正常轉(zhuǎn)換J

處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系反常轉(zhuǎn)換J

處處為負，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系坐標與坐標轉(zhuǎn)換63目前六十三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分64目前六十四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量，都不會因人為選擇不同參考坐標系而改變其固有性質(zhì)，然而其分量的值則與坐標選擇密切相關(guān)。所以，張量的分量在坐標轉(zhuǎn)換時應滿足一定的規(guī)律，以保證其坐標不變性。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律65目前六十五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

標量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律設(shè)一個標量在新、老坐標系中的值為t和t’，則矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律66目前六十六頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律以三維空間的二階張量為例，其分解式是：其中，Tij

為張量分量，eiej稱為基矢量，就是把兩個基矢量并寫在一起，不作任何運算，成為構(gòu)成矢量的基。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量表示法張量的實體表示法（并矢表示法）67目前六十七頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律即張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律68目前六十八頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律69目前六十九頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點注：在一個表示全部張量分量集合的指標符號中，自由指標的數(shù)目等于張量的階數(shù)K，每個自由指標的取值范圍等于張量的維數(shù)n，各指標在其取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的一個分量，所以n維K階張量共有nK個分量。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律70目前七十頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

張量方程

定義每項都由張量組成的方程稱為張量方程。特性具有與坐標選擇無關(guān)的重要性質(zhì)，可用于描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律71目前七十一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分72目前七十二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點張量代數(shù)&商判則

相等若兩個張量和相等則對應分量相等若兩個張量在某個坐標系中的對應分量相等，則它們在任何其他坐標系中對應分量也相等。73目前七十三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

和、差兩個同階張量與之和(或差)是另一個同階張量其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則74目前七十四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

數(shù)積張量A和一個數(shù)(或標量函數(shù))相乘得另一同維同階張量T其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則75目前七十五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

并積兩個同維不同階（或同階）張量A和B的并積T是一個階數(shù)等于A、B階數(shù)之和的高階張量。設(shè)則其分量關(guān)系為注意：張量代數(shù)&商判則76目前七十六頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

縮并若對基張量中的任意兩個基矢量求點積，在張量將縮并為低二階的新張量。

其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則77目前七十七頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點若在基張量中取不同基矢量的點積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若張量代數(shù)&商判則

縮并78目前七十八頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

內(nèi)積并積加縮并運算稱為內(nèi)積。例如和

的一種內(nèi)積是其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則79目前七十九頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

點積前張量A的最后基矢量與后張量B的第一基矢量縮并的結(jié)果，記為，是最常用的一種內(nèi)積。兩個二階張量的點積相當于矩陣乘法。張量代數(shù)&商判則80目前八十頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點對前、后張量中兩對近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點積，共有兩種：并雙點積串雙點積張量代數(shù)&商判則

雙點積81目前八十一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

并矢把K個獨立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積是一個K階張量。矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任意調(diào)換。張量代數(shù)&商判則82目前八十二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點和任意矢量的內(nèi)積（包括點積）為K-1階張量的量一定是個K階張量。一個K階張量連續(xù)地和n個任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果是一個K-n階張量。張量代數(shù)&商判則

商判則83目前八十三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點OperationNumberoforder并積差乘-1點乘-2雙點乘-4張量乘法運算和結(jié)果的階數(shù)84目前八十四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分85目前八十五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點特殊張量，主方向與主分量

常用特殊張量零張量則：

86目前八十六頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

單位張量

笛卡爾坐標系中分量為ij的二階張量I，即單位張量和任意張量的點積就等于該張量本身：I·a＝a，I·A＝A特殊張量，主方向與主分量87目前八十七頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點特殊張量，主方向與主分量

球形張量主對角分量為，其余分量為零的二階張量。它是數(shù)

與單位張量的數(shù)積。即88目前八十八頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

轉(zhuǎn)置張量對于二階張量，由對換分量指標而基矢量順序保持不變所得到的新張量稱為張量T的轉(zhuǎn)置張量。特殊張量，主方向與主分量89目前八十九頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

對稱張量

反對稱張量特殊張量，主方向與主分量90目前九十頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點轉(zhuǎn)置張量等于其負張量的張量。即滿足反對稱張量的主對角張量均為零。三維二階反對稱張量的獨立分量只有三個。n維二階對稱張量有

個獨立分量。特殊張量，主方向與主分量

反對稱張量91目前九十一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點任意二階張量T均可分解為對稱張量S和反對稱張量A之和：特殊張量，主方向與主分量

加法分解92目前九十二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點任意二階對稱張量S均可分解為球形張量P和偏斜張量D之和：其中特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

93目前九十三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點偏斜張量為偏斜張量三個對角分量之和為零：特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

94目前九十四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱排列張量特殊張量，主方向與主分量

置換張量95目前九十五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點所有分量均不因坐標轉(zhuǎn)換而改變的張量。例如：單位張量I、球形張量、置換張量等。標量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向同性的。特殊張量，主方向與主分量

各向同性張量96目前九十六頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

主方向與主分量二階張量可定義為一種由矢量a到矢量b的線性變換，即一般說，矢量a與b并不同向。對于給定的任意二階張量T能否找到某個矢量，它在線性變換后能保持方向不變，即或特殊張量，主方向與主分量97目前九十七頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點其中是標量。上式是求j

的線性齊次代數(shù)方程組，存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零特殊張量，主方向與主分量98目前九十八頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點這是關(guān)于的特征方程；其中是[Tij]的主對角分量之和，稱為張量T的跡，記作trT是矩陣[Tij]的二階主子式之和。

特殊張量，主方向與主分量99目前九十九頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點是矩陣的行列式，記作detT。特征方程的三個特征根稱為張量T的主分量。當T是實對稱張量時，存在三個實特征根

特殊張量，主方向與主分量100目前一百頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點由特征方程求特征根：由每個(k)

分別求特征方向：方向矢量j(k)特殊張量，主方向與主分量101目前一百零一頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點由上述方法求得的三個單位矢量(k)＝j(luò)(k)ej稱為張量T的主方向。注：若(1),(2),(3)互不相等，則(1),(2),(3)互相垂直。對于二重根情況，例如(1)＝(2)，則垂直于(3)的任何方向都是主方向，可任選其中兩個互相垂直方向作為(1)和(2)。對于三重根情況，例如(1)＝(2)＝(3)，則任何方向都是主方向，可任選三個互相垂直的方向作為(1),(2)和(3)。特殊張量，主方向與主分量102目前一百零二頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點

主坐標系沿主方向(1),

(2),(3)的正交坐標系稱為張量T的主坐標系。在主坐標系中，有當T為應力張量時，(k)就是三個主應力1,2和3特殊張量，主方向與主分量103目前一百零三頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點特征方程是一個與坐標選擇無關(guān)的普遍方程，它的三個系數(shù)I1,I2和I3分別稱為張量T的第一、第二和第三不變量。

特征方程的根(k)也是三個不變量，相應的主方向(k)也與坐標無關(guān)。特殊張量，主方向與主分量

不變量104目前一百零四頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分105目前一百零五頁\總數(shù)一百一十七頁\編于十三點張量函數(shù)及其微積分在空間所論域內(nèi),每點定義的同階張量,構(gòu)成了張量場。一般張量場中被考察的張量隨位置而變化