小學奧數(shù)基礎教程(五年級)

奧數(shù)小學奧數(shù)基礎教程(五年級)小學奧數(shù)基礎教程(五年級)第1講數(shù)字迷（一）第2講數(shù)字謎(二)第3講定義新運算(一)第4講定義新運算(二)第5講數(shù)的整除性(一)第6講數(shù)的整除性(二)第7講奇偶性（一）第8講奇偶性（二）第9講奇偶性（三）第10講質數(shù)與合數(shù)第11講分解質因數(shù)第12講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）第13講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二）第14講余數(shù)問題第15講孫子問題與逐步約束法第16講巧算24第17講位置原則第18講最大最小第19講圖形的分割與拼接第20講多邊形的面積第21講用等量代換求面積第22用割補法求面積第23講列方程解應用題第24講行程問題（一）第25講行程問題（二）第26講行程問題（三）第27講邏輯問題（一）第28講邏輯問題（二）第29講抽屜原理(一)第30講抽屜原理(二)

第1講數(shù)字謎（一）數(shù)字謎的內容在三年級和四年級都講過，同學們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識多，思考性強，所以很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復習鞏固學過的知識外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1把+，-，×，÷四個運算符號，分別填入下面等式的○內，使等式成立（每個運算符號只準使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。分析與解：因為運算結果是整數(shù)，在四則運算中只有除法運算可能出現(xiàn)分數(shù)，所以應首先確定“÷”的位置。當“÷”在第一個○內時，因為除數(shù)是13，要想得到整數(shù)，只有第二個括號內是13的倍數(shù)，此時只有下面一種填法，不合題意。（5÷13-7）×（17+9）。當“÷”在第二或第四個○內時，運算結果不可能是整數(shù)。當“÷”在第三個○內時，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。例2將1～9這九個數(shù)字分別填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。解：將5568質因數(shù)分解為5568=26×3×29。由此容易知道，將5568分解為兩個兩位數(shù)的乘積有兩種：58×96和64×87，分解為一個兩位數(shù)與一個三位數(shù)的乘積有六種：12×464，16×348，24×232，29×192，32×174，48×116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：174×32=58×96=5568。例3在443后面添上一個三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。分析與解：先用443000除以573，通過所得的余數(shù)，可以求出應添的三位數(shù)。由443000÷573=773……71推知，443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以應添502。例4已知六位數(shù)33□□44是89的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。分析與解：因為未知的數(shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從右邊做除法。由被除數(shù)的個位是4，推知商的個位是6；由左下式知，十位相減后的差是1，所以商的十位是9。這時，雖然89×96=8544，但不能認為六位數(shù)中間的兩個□內是85，因為還沒有考慮前面兩位數(shù)。再從左邊做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796或3896。由3796×89=337844，3896×89=346744知，商是3796，所求六位數(shù)是337844。例5在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請你用適當?shù)臄?shù)字代替字母，使加法豎式成立。分析與解：先看豎式的個位。由Y+N+N=Y或Y+10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，那么要向上進位，由豎式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等號兩邊的奇偶性不同，所以N≠5，N=0。此時，由豎式的十位加法T+E+E=T或T+10，E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。豎式千位、萬位的字母與加數(shù)的千位、萬位上的字母不同，說明百位、千位加法都要向上進位。因為N=0，所以I≠0，推知I=1，O=9，說明百位加法向千位進2。再看豎式的百位加法。因為十位加法向百位進1，百位加法向千位進2，且X≠0或1，所以R+T+T+1≥22，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。若T=7，則R=8，X=3，這時只剩下數(shù)字2，4，6沒有用過，而S只比F大1，S，F(xiàn)不可能是2，4，6中的數(shù)，矛盾。若T=8，則R只能取6或7。R=6時，X=3，這時只剩下2，4，7，同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7時，X=4，剩下數(shù)字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。所求豎式見上頁右式。解這類題目，往往要找準突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個數(shù)。這個題目是美國數(shù)學月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個詞分別是40，10，10，60，而40+10+10正好是60，真是巧極了！例6在左下方的減法算式中，每個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請你填上適當?shù)臄?shù)字，使豎式成立。分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。同學們都知道，加、減法互為逆運算，是否可以把減法變成加法來研究呢（見右上式）？不妨試試看。因為百位加法只能向千位進1，所以E=9，A=1，B=0。如果個位加法不向上進位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，與E=9矛盾，所以個位加法向上進1，由1+F+1=10，得到F=8，這時C=7。余下的數(shù)字有2，3，4，5，6，由個位加法知，G比D大2，所以G，D分別可取4，2或5，3或6，4。所求豎式是解這道題啟發(fā)我們，如果做題時遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學的有關概念、法則、定律把原題加以變換，將不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時要考慮解的情況，是否有多個解。

練習11.在一個四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是621819，求原來的四位數(shù)。2.在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請你用適當?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立：3.在下面的算式中填上括號，使得計算結果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。4.在下面的算式中填上若干個（），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。5.將1～9分別填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。6.六位數(shù)391□□□是789的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。7.已知六位數(shù)7□□888是83的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。

第2講數(shù)字謎（二）

這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相分析與解：這道題可以從個位開始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個確定各個（100000+x）×3=10x+1，300000+3x=10x+1，7x=299999，x=42857。這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡潔。我們再看幾個例子。例2在□內填入適當?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。求豎式。例3左下方的除法豎式中只有一個8，請在□內填入適當?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立。解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù)，而與商的百位和個位的積都是四位數(shù)，所以x=112，被除數(shù)為989×112=110768。右上式為所求豎式。代數(shù)解法雖然簡潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。例4在□內填入適當數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見下頁右上方豎式）?？梢钥闯觯龜?shù)與商的后三位數(shù)的乘積是1000=23×53的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個是23=8的倍數(shù)，另一個是53=125的奇數(shù)倍，因為除數(shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。又由豎式特點知a=9，從而除數(shù)應是96的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96，48，32，24和16。因為，c=5，5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是16，進而推知b=6。因為商的后三位數(shù)是125的奇數(shù)倍，只能是125，375，625和875之一，經(jīng)試驗只能取375。至此，已求出除數(shù)為16，商為6.375，故被除數(shù)為6.375×16=102。右式即為所求豎式。求解此類小數(shù)除法豎式題，應先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n個0，則在除數(shù)和商中，一個含有因子2n（不含因子5），另一個含有因子5n（不含因子2），以此為突破口即可求解。例5一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（1），這個五位數(shù)被另一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（2），求這個五位數(shù)。分析與解：由豎式（1）可以看出被除數(shù)為10**0（見豎式（1）'），豎式（1）的除數(shù)為3或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5，而被除數(shù)的后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4，6或8。當豎式（1）的除數(shù)為3時，由豎式（1）'知，a=1或2，所以被除數(shù)為100*0或101*0，再由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為4，被除數(shù)為10020；當豎式（1）的除數(shù)為9時，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應為8。因為豎式（2）的除數(shù)只能是4，6，8，由豎式（2）知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有10080，10260，10440和10620四種可能，最后由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，且十位數(shù)不能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為8，被除數(shù)為10440。所以這個五位數(shù)是10020或10440。

練習21.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的2.用代數(shù)方法求解下列豎式：3.在□內填入適當?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立：

第3講定義新運算（一）我們已經(jīng)學習過加、減、乘、除運算，這些運算，即四則運算是數(shù)學中最基本的運算，它們的意義、符號及運算律已被同學們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些新的運算及其符號，在中、小學課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學習討論這些新運算，對于開拓思路及今后的學習都大有益處。例1對于任意數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。根據(jù)以上的規(guī)定，求10△6的值。3，x>=2，求x的值。分析與解：按照定義的運算，<1，2，3，x>=2，x=6。由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應使用通常的四則運算符號。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運算符號使用“*”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。分析與解：按新運算的定義，符號“⊙”表示求兩個數(shù)的平均數(shù)。四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算。按通常的規(guī)則從左至右進行運算。分析與解：從已知的三式來看，運算“”表示幾個數(shù)相加，每個加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號前面的那個數(shù)，而符號后面的數(shù)是幾，就表示幾個數(shù)之和，其中第1個數(shù)是1位數(shù)，第2個數(shù)是2位數(shù)，第3個數(shù)是3位數(shù)……按此規(guī)定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。從例5知，有時新運算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進行運算。例6對于任意自然數(shù)，定義：n！=1×2×…×n。例如4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的個位數(shù)字是幾？分析與解：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24，5！=1×2×3×4×5=120，6！=1×2×3×4×5×6=720，……由此可推知，從5！開始，以后6！，7！，8！，…，100！的末位數(shù)字都是0。所以，要求1！+2！+3！+…+100！的個位數(shù)字，只要把1！至4！的個位數(shù)字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的個位數(shù)字是3。例7如果m，n表示兩個數(shù)，那么規(guī)定：m¤n=4n-（m+n）÷2。求3¤（4¤6）¤12的值。解：3¤（4¤6）¤12=3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12=3¤19¤12=[4×19-（3+19）÷2]¤12=65¤12=4×12-（65+12）÷2=9.5。練習31.對于任意的兩個數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。2.已知ab表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求134的值。3.已知ab表示（a-b）÷（a+b），試計算：（53）（106）。4.規(guī)定a◎b表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求8◎2的值。5.假定m

n表示m的3倍減去n的2倍，即m

n=3m-2n。（2）已知x

（4

1）=7，求x的值。7.對于任意的兩個數(shù)P，Q，規(guī)定P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。8.定義：a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：（4△3）△（2b）。9.已知：23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，……求（44）÷（33）的值。

第4講定義新運算（二）例1已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9，b=2代入新運算式，即可算出結果。但是，根據(jù)四則運算的法則，我們可以先把新運算“※”化簡，再求結果。a※b=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。所以，9※2=2×2=4。由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。例2定義運算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。（1）已知5⊙2=73。問：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？（2）當k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新運算“⊙”符合交換律？分析與解：（1）首先應當確定新運算中的常數(shù)k。因為5⊙2=3×5+5×5×2+k×2=65+2k，所以由已知5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運算是：a⊙b=3a+5ab+4b。8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。因為244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。（2）要使a⊙b=b⊙a，由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。對于兩個任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。當新運算是a⊙b=3a+5ab+3b時，具有交換律，即a⊙b=b⊙a。例3對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么10☆14=70-2=68。（1）求12☆21的值；（2）已知6☆x=27，求x的值。分析與解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；（2）因為定義的新運算“☆”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數(shù)代入表達式求x，只能用推理的方法。因為6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)[6，x]只能是28，29，30，33。這四個數(shù)中只有30是6的倍數(shù)，所以6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因為a×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。例4a表示順時針旋轉90°，b表示順時針旋轉180°，c表示逆時針旋轉90°，d表示不轉。定義運算“◎”表示“接著做”。求：a◎b；b◎c；c◎分析與解：a◎b表示先順時針轉90°，再順時針轉180°，等于順時針轉270°，也等于逆時針轉90°，所以a◎b=c。b◎c表示先順時針轉180°，再逆時針轉90°，等于順時針轉90°，所以b◎c=a。c◎a表示先逆時針轉90°，再順時針轉90°，等于沒轉動，所以c◎a=d。對于a，b，c，d四種運動，可以做一個關于“◎”的運算表（見下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是c◎b的結果。因為運算◎符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結果。例5對任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。解：（1）f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；（2）f（g（2））+g（f（2））=f（2×2）+g（2×2+1）=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。練習42.定義兩種運算“※”和“△”如下：a※b表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，a△b表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。計算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。4.設m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。試確定常數(shù)A，并計算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內所作的旋轉運動：a表示順時針旋轉240°，b表示順時針旋轉120°，c表示不旋轉。運算“∨”表示“接著做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。6.對任意兩個不同的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）計算：19982000，（519）19，5（195）；（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。7.對于任意的自然數(shù)a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；（2）已知f（g（x））=8，求x的值。第5講數(shù)的整除性（一）三、四年級已經(jīng)學習了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數(shù)的特征，也學習了一些整除的性質。這兩講我們系統(tǒng)地復習一下數(shù)的整除性質，并利用這些性質解答一些問題。數(shù)的整除性質主要有：（1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（2）如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。（3）如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質的自然數(shù)的乘積整除。（4）如果一個質數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。（5）幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。靈活運用以上整除性質，能解決許多有關整除的問題。例1在□里填上適當?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)□7358□□能分別被9，25和8整除。分析與解：分別由能被9，25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個七位數(shù)。因為9，25，8兩兩互質，由整除的性質（3）知，七位數(shù)能被9×25×8=1800整除，所以七位數(shù)的個位，十位都是0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應填4。這個七位數(shù)是4735800。例2由2000個1組成的數(shù)111…11能否被41和271這兩個質數(shù)整除？分析與解：因為41×271=11111，所以由每5個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“11111”把2000個1每五位分成一節(jié)，2000÷5=400，就有400節(jié)，因為2000個1組成的數(shù)11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整除的性質（1）可知，由2000個1組成的數(shù)111…11能被41和271整除。例3現(xiàn)有四個數(shù)：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據(jù)有關整除的性質，先把12分成兩數(shù)之積：12=12×1=6×2=3×4。要從已知的四個數(shù)中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：（1）找出一個數(shù)能被12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除；（2）找出一個數(shù)能被6整除，另一個數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；（3）找出一個數(shù)能被4整除，另一個數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個數(shù)都不能被12整除，所以第（1）種情況不存在。對于第（2）種情況，四個數(shù)中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數(shù)，所以可以選76554和76550，76554和76552。對于第（3）種情況，四個數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554，76552和76554，76551和76552。例4在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設的條件分析，對所求五位數(shù)有兩個要求：①各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43；②能被11整除。因為能被11整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應選擇①為突破口。有兩種情況：（1）五位數(shù)由一個7和四個9組成；（2）五位數(shù)由兩個8和三個9組成。上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)位數(shù)字之和是16，那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是：97999，99979，98989。例5能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？分析與解：10個數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。假設題目的要求能實現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被3整除，推知1～10的和也應能被3整除。實際上，1～10的和等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設不成立，所以題目的要求不能實現(xiàn)。

練習51.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？2.如果兩個數(shù)的和是64，這兩個數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差是多少？3.173□是個四位數(shù)。數(shù)學老師說：“我在這個□中先后填入3個數(shù)字，所得到的3個四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除。”問：數(shù)學老師先后填入的3個數(shù)字之和是多少？班有多少名學生？6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？

第6講數(shù)的整除性（二）我們先看一個特殊的數(shù)——1001。因為1001=7×11×13，所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被7，11和13整除。能被7，11和13整除的數(shù)的特征：如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被7或11或13整除，那么數(shù)A能被7或11或13整除。否則，數(shù)A就不能被7或11或13整除。例2判斷306371能否被7整除？能否被13整除？解：因為371-306=65，65是13的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371能被13整除，不能被7整除。例3已知10□8971能被13整除，求□中的數(shù)。解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。上式的個位數(shù)是7，若是13的倍數(shù)，則必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的數(shù)是8。2位數(shù)進行改寫。根據(jù)十進制數(shù)的意義，有因為100010001各數(shù)位上數(shù)字之和是3，能夠被3整除，所以這個12位數(shù)能被3整除。根據(jù)能被7（或13）整除的數(shù)的特征，100010001與（100010-1=）100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。同理，100009與（100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。因為91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知這個12位數(shù)能被7和13整除。分析與解：根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，555555與999999都能被7因為上式中等號左邊的數(shù)與等號右邊第一個數(shù)都能被7整除，所以等號右邊第二個數(shù)也能被7整除，推知55□99能被7整除。根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，□99-55=□44也應能被7整除。由□44能被7整除，易知□內應是6。下面再告訴大家兩個判斷整除性的小竅門。判斷一個數(shù)能否被27或37整除的方法：對于任何一個自然數(shù)，從個位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么這個數(shù)一定能被27（或37）整除；否則，這個數(shù)就不能被27（或37）整除。例6判斷下列各數(shù)能否被27或37整除：（1）2673135；（2）8990615496。解：（1）2673135=2，673，135，2+673+135=810。因為810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。2，109大于三位數(shù)，可以再對2，109的各節(jié)求和，2+109=111。因為111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，進一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。由上例看出，若各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，則可以再連續(xù)對和的各節(jié)求和。判斷一個數(shù)能否被個位是9的數(shù)整除的方法：為了敘述方便，將個位是9的數(shù)記為k9（=10k+9），其中k為自然數(shù)。對于任意一個自然數(shù)，去掉這個數(shù)的個位數(shù)后，再加上個位數(shù)的（k+1）倍。連續(xù)進行這一變換。如果最終所得的結果等于k9，那么這個數(shù)能被k9整除；否則，這個數(shù)就不能被k9整除。例7（1）判斷18937能否被29整除；（2）判斷296416與37289能否被59整除。解：（1）上述變換可以表示為：由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除。一般地，每進行一次變換，被判斷的數(shù)的位數(shù)就將減少一位。當被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時，即可停止變換，得出不能整除的結論。

練習61.下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205，167128，250894，396500，675696，796842，805532，75778885。2.六位數(shù)175□62是13的倍數(shù)?！踔械臄?shù)字是幾？7.九位數(shù)8765□4321能被21整除，求中間□中的數(shù)。8.在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026，1884924，2175683，2560437，11159126，131313555，266117778。9.在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119，55537，62899，71258，186637，872231，5381717。

第7講奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0，2，4，6，8，10，12，14，16，…（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，…整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質：（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。因為（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+…+1997+1998。分析與解：本題當然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關，與加數(shù)中的偶數(shù)無關。1～1998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。例2能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。分析與解：等號左端共有9個數(shù)參加加、減運算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。例3任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999？分析與解：假設這兩個五位數(shù)的和等于99999，則有下式：其中組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同。因為兩個個位數(shù)相加，和不會大于9+9=18，豎式中和的個位數(shù)是9，所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和等于9+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。另一方面，因為組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和，等于組成第一個加數(shù)的5個數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。奇數(shù)≠偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設這兩個五位數(shù)的和等于99999，所以假設不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于99999。例4在一次校友聚會上，久別重逢的老同學互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。把聚會的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因為所有人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因為“奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結論矛盾，所以B類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。例5五（2）班部分學生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解：本題要求出這部分學生的總成績是不可能的，所以應從每個人得分的情況入手分析。因為每道題無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50道題，50個奇數(shù)相加減，結果是偶數(shù)，所以每個人的得分都是偶數(shù)。因為任意個偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這部分學生的總分必是偶數(shù)。練習71.能否從四個3、三個5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22？2.任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三位數(shù)，一位同學將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學的計算有沒有錯？3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將獲勝。4.某班學生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.A市舉辦五年級小學生“春暉杯”數(shù)學競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。7.紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場電影。有兩所學校各有1999名學生包場看這兩場電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐的是兩所不同學校的學生，為什么？

第8講奇偶性（二）例1用0～9這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是奇數(shù)，那么這五個兩位數(shù)的和最大是多少？分析與解：有時題目的要求比較多，可先考慮滿足部分要求，然后再調整，使最后結果達到全部要求。這道題的幾個要求中，滿足“和最大”是最容易的。暫時不考慮這五個數(shù)的和是奇數(shù)的要求。要使組成的五個兩位數(shù)的和最大，應該把十個數(shù)碼中最大的五個分別放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而個位上放0，1，2，3，4。根據(jù)奇數(shù)的定義，這樣組成的五個兩位數(shù)中，有兩個是奇數(shù)，即個位是1和3的兩個兩位數(shù)。要滿足這五個兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運算規(guī)律，這五個數(shù)中應有奇數(shù)個奇數(shù)?，F(xiàn)有兩個奇數(shù)，即個位數(shù)是1，3的兩位數(shù)。所以五個數(shù)的和是偶數(shù)，不合要求，必須調整。調整的方法是交換十位與個位上的數(shù)字。要使五個數(shù)有奇數(shù)個奇數(shù)，并且五個數(shù)的和盡可能最大，只要將個位和十位上的一個奇數(shù)與一個偶數(shù)交換，并且交換的兩個的數(shù)碼之差盡可能小，由此得到交換5與4的位置。滿足題設要求的五個兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是4，6，7，8，9，個位上的數(shù)碼是0，1，2，3，5，所求這五個數(shù)的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。例27只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉其中的2只杯子。能否經(jīng)過若干次翻轉，使得7只杯子全部杯口朝下？分析與解：盲目的試驗，可能總也找不到要領。如果我們分析一下每次翻轉后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉，因為只能翻轉兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。例3有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過若干次翻轉，能使杯口全部朝上嗎？分析與解：當m是奇數(shù)時，（m-1）是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉偶數(shù)只杯子，那么無論經(jīng)過多少次翻轉，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉（m-1）即偶數(shù)只杯子。無論翻轉多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能全部朝上。當m是偶數(shù)時，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m=4的情形入手觀察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻轉3只杯子，保持不動的杯子用*號標記。翻轉情況如下：由上表看出，只要翻轉4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動，就可達到要求。一般來說，對于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于m只杯子，當m是偶數(shù)時，因為（m-1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點，只需要翻轉m次，并且依次保持第1，2，…，m只杯子不動，這樣在m次翻轉中，每只杯子都有一次沒有翻轉，即都翻轉了（m-1）次。綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉（m-1）只。當m是奇數(shù)時，無論翻轉多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當m是偶數(shù)時，翻轉m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。例4一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1，2，3，…，15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼的最多有幾篇？分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時的規(guī)律。一篇有奇數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相同的，即排版奇數(shù)頁的文章，第一面是奇數(shù)頁碼，最后一面也是奇數(shù)頁碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數(shù)頁碼上。一篇有偶數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的，即排版偶數(shù)頁的文章，第一面是奇（偶）數(shù)頁碼，最后一面應是偶（奇）數(shù)頁碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）數(shù)頁碼上。以上說明本題的解答主要是根據(jù)奇偶特點來處理。題目要求第一面排在奇數(shù)頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數(shù)頁的文章，只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上（如第1頁），那么接著每一篇有偶數(shù)頁的文章都會是第一面排在奇數(shù)頁碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數(shù)頁的文章，第一篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，第二篇的第一面就會排在偶數(shù)頁碼上，第三篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，如此等等。在8篇奇數(shù)頁的文章中，有4篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上。例5有大、小兩個盒子，其中大盒內裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內取一枚黑棋子放入大盒內；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內。問：從大盒內摸了1999次棋子后，大盒內還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？分析與解：大盒內裝有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。因為每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，還剩2001-1999=2（枚）棋子。從大盒內每次摸2枚棋子有以下兩種情況：（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內取一枚黑棋子放入大盒內。當所摸兩枚棋子同是黑色，這時大盒內少了一枚黑棋子；當所摸兩枚棋子同是白色，這時大盒內多了一枚黑棋子。（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內少了一枚黑棋子。綜合（1）（2），每摸一次，大盒內的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數(shù)的奇偶性。原來大盒內有1000枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數(shù)枚黑棋子。因為大盒內只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。例6一串數(shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…到這串數(shù)的第1000個數(shù)為止，共有多少個偶數(shù)？分析與解：首先分析這串數(shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況。1+1=2，2+3=5，3+5=8，5+8=13，…這串數(shù)的規(guī)律是，從第三項起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。根據(jù)奇偶數(shù)的加法性質，可以得出這串數(shù)的奇偶性：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……容易看出，這串數(shù)是按“奇，奇，偶”每三個數(shù)為一組周期變化的。1000÷3=333……1，這串數(shù)的前1000個數(shù)有333組又1個數(shù)，每組的三個數(shù)中有1個偶數(shù)，并且是第3個數(shù)，所以這串數(shù)到第1000個數(shù)時，共有333個偶數(shù)。練習81.在11，111，1111，11111，…這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不會是某一個自然數(shù)的平方。這樣說對嗎？2.一本書由17個故事組成，各個故事的篇幅分別是1，2，3，…，17頁。這17個故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正文都從第1頁開始，以后每一個故事都從新一頁碼開始。如果要求安排在奇數(shù)頁碼開始的故事盡量少，那么最少有多少個故事是從奇數(shù)頁碼開始的？3.桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉5只杯子，那么至少翻轉多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？4.70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數(shù)的和，這一行數(shù)的最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，…問：最右邊的一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.學校組織運動會，小明領回自己的運動員號碼后，小玲問他：“今天發(fā)放的運動員號碼加起來是奇數(shù)還是偶數(shù)？”小明說：“除開我的號碼，把今天發(fā)的其它號碼加起來，再減去我的號碼，恰好是100?！苯裉彀l(fā)放的運動員號碼加起來，到底是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.在黑板上寫出三個整數(shù)，然后擦去一個換成所剩兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到88，66，99。問：原來寫的三個整數(shù)能否是1，3，5？7.將888件禮品分給若干個小朋友。問：分到奇數(shù)件禮品的小朋友是奇數(shù)還是偶數(shù)？

第9講奇偶性（三）利用奇、偶數(shù)的性質，上兩講已經(jīng)解決了許多有關奇偶性的問題。本講將繼續(xù)利用奇偶性研究一些表面上似乎與奇偶性無關的問題。例1在7×7的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對角線為軸對稱地放置棋子，要求每個方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則在這條對角線上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？分析與解：題目說在指定的這條對角線上的格子里必定至少放有一枚棋子，假設這個說法不對，即對角線上沒放棋子。如下圖所示，因為題目要求擺放的棋子以MN為對稱軸，所以對于MN左下方的任意一格A，總有MN右上方的一格A＇，A與A＇關于MN對稱，所以A與A＇要么都放有棋子，要么都沒放棋子。由此推知方格表中放置棋子的總枚數(shù)應是偶數(shù)。而題設每行放3枚棋子，7行共放棋子3×7=21（枚），21是奇數(shù)，與上面的推論矛盾。所以假設不成立，即在指定的對角線上的格子中必定至少有一枚棋子。例2對于左下表，每次使其中的任意兩個數(shù)減去或加上同一個數(shù)，能否經(jīng)過若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)橛蚁卤恚繛槭裁?？分析與解：因為每次有兩個數(shù)同時被加上或減去同一個數(shù)，所以表中九個數(shù)碼的總和經(jīng)過變化后，等于原來的總和加上或減去那個數(shù)的2倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個數(shù)的總和為1+2+…+9=45，是奇數(shù)，經(jīng)過若干次變化后，總和仍應是奇數(shù)，與右上表九個數(shù)的總和是4矛盾。所以不可能變成右上表。例3左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個房間都有通向任何一個鄰室的門。有人想從某個房間開始，依次不重復地走遍每一個房間，他的想法能實現(xiàn)嗎？分析與解：如右上圖所示，將相鄰的房間黑、白相間染色。無論從哪個房間開始走，因為總是黑白相間地走過各房間，所以走過的黑、白房間數(shù)最多相差1。而右上圖有7黑5白，所以不可能不重復地走遍每一個房間。例4左下圖是由14個大小相同的方格組成的圖形。試問能不能剪裁成7個由相鄰兩方格組成的長方形？分析與解：將這14個小方格黑白相間染色（見右上圖），有8個黑格，6個白格。相鄰兩個方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7個小長方形，那么14個格應當是黑、白各7個，與實際情況不符，所以不能剪裁成7個由相鄰兩個方格組成的長方形。例5在右圖的每個○中填入一個自然數(shù)（可以相同），使得任意兩個相鄰的○中的數(shù)字之差（大數(shù)減小數(shù)）恰好等于它們之間所標的數(shù)字。能否辦到？為什么？分析與解：假定圖中5與1之間的○中的數(shù)是奇數(shù)，按順時針加上或減去標出的數(shù)字，依次得到各個○中的數(shù)的奇偶性如下：因為上圖兩端是同一個○中的數(shù)，不可能既是奇數(shù)又是偶數(shù)，所以5與1之間的○中的數(shù)不是奇數(shù)。同理，假定5與1之間的○中的數(shù)是偶數(shù)，也將推出矛盾。所以，題目的要求辦不到。例6下頁上圖是半張中國象棋盤，棋盤上已放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請問：這只馬能否不重復地走遍這半張棋盤上的每一個點，然后回到出發(fā)點？分析與解：馬走“日”字，在中國象棋盤上走有什么規(guī)律呢？為方便研究規(guī)律，如下圖所示，先在棋盤各交點處相間標上○和●，圖中共有22個○和23個●。因為馬走“日”字，每步只能從○跳到●，或由●跳到○，所以馬從某點跳到同色的點（指○或●），要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點，要跳奇數(shù)步?，F(xiàn)在馬在○點，要跳回這一點，應跳偶數(shù)步，可是棋盤上共有23+22=45（個）點，不可能做到不重復地走遍所有的點后回到出發(fā)點。討論：如果馬的出發(fā)點不是在○點上而是在●點上，那么這只馬能不能不重復地走遍這半張棋盤上的每個點，最后回到出發(fā)點上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回到出發(fā)點”的要求，那么情況就不一樣了。從某點出發(fā)，跳遍半張棋盤上除起點以外的其它44點，要跳44步，44是偶數(shù)，所以起點和終點應是同色的點（指○或●）。因為44步跳過的點○與點●各22個，所以起點必是●，終點也是●。也就說是，當不要求回到出發(fā)點時，只要從●出發(fā)，就可以不重復地走遍半張棋盤上的所有點。練習91.教室里有5排椅子，每排5張，每張椅子上坐一個學生。一周后，每個學生都必須和他相鄰（前、后、左、右）的某一同學交換座位。問：能不能換成？為什么？2.房間里有5盞燈，全部關著。每次拉兩盞燈的開關，這樣做若干次后，有沒有可能使5盞燈全部是亮的？3.左下圖是由40個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個相同的長方形？4.一個正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見右上圖）。守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹，不重復也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋。可以做到嗎？5.紅光小學五年級一次乒乓球賽，共有男女學生17人報名參加。為節(jié)省時間不打循環(huán)賽，而采取以下方式：每人只打5場比賽，每兩人之間用抽簽的方法決定只打一場或不賽。然后根據(jù)每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否可行？6.如下圖所示，將1～12順次排成一圈。如果報出一個數(shù)a（在1～12之間），那么就從數(shù)a的位置順時針走a個數(shù)的位置。例如a=3，就從3的位置順時針走3個數(shù)的位置到達6的位置；a=11，就從11的位置順時針走11個數(shù)的位置到達10的位置。問：a是多少時，可以走到7的位置？

第10講質數(shù)與合數(shù)自然數(shù)按照能被多少個不同的自然數(shù)整除可以分為三類：第一類：只能被一個自然數(shù)整除的自然數(shù)，這類數(shù)只有一個，就是1。第二類：只能被兩個不同的自然數(shù)整除的自然數(shù)。因為任何自然數(shù)都能被1和它本身整除，所以這類自然數(shù)的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。這類自然數(shù)叫質數(shù)（或素數(shù)）。例如，2，3，5，7，…第三類：能被兩個以上的自然數(shù)整除的自然數(shù)。這類自然數(shù)的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，還能被其它一些自然數(shù)整除。這類自然數(shù)叫合數(shù)。例如，4，6，8，9，15，…上面的分類方法將自然數(shù)分為質數(shù)、合數(shù)和1，1既不是質數(shù)也不是合數(shù)。例11～100這100個自然數(shù)中有哪些是質數(shù)？分析與解：先把前100個自然數(shù)寫出來，得下表：1既不是質數(shù)也不是合數(shù)。2是質數(shù)，留下來，后面凡能被2整除的數(shù)都是合數(shù)，都劃去；3是質數(shù)，留下來，后面凡能被3整除的數(shù)都是合數(shù)，都劃去；類似地，把5留下來，后面凡是5的倍數(shù)的數(shù)都劃去；把7留下來，后面凡是7的倍數(shù)的數(shù)都劃去。經(jīng)過以上的篩選，劃去的都是合數(shù)，余下26個數(shù)，除1外，剩下的25個都是質數(shù)。這樣，我們便得到了100以內的質數(shù)表：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。這些質數(shù)同學們應當熟記！細心的同學可能會注意到，以上只劃到7的倍數(shù)，為什么不繼續(xù)劃去11，13，…的倍數(shù)呢？事實上，這些倍數(shù)已包含在已劃去的倍數(shù)中。例如，100以內11的倍數(shù)應該是11×A≤100（其中A為整數(shù)），顯然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因為4=22，6=2×3，8=23，9=32，所以A必是2，3，5，7之一的倍數(shù)。由此推知，11的倍數(shù)已全部包含在2，3，5，7的倍數(shù)中，已在前面劃去了。要判斷一個數(shù)N是質數(shù)還是合數(shù)，根據(jù)合數(shù)的定義，只要用從小到大的自然數(shù)2，3，4，5，6，7，8，…，N-1去除N，其中只要有一個自然數(shù)能整除N，N就是合數(shù)，否則就是質數(shù)。但這樣太麻煩，因為除數(shù)太多。能不能使試除的數(shù)少一點呢？由例1知，只要用從小到大的質數(shù)去除N就可以了。例2給出的判別方法，可以使試除的數(shù)進一步減少。例2判斷269，437兩個數(shù)是合數(shù)還是質數(shù)。分析與解：對于一個不太大的數(shù)N，要判斷它是質數(shù)還是合數(shù)，可以先找出一個大于N且最接近N的平方數(shù)K2，再寫出K以內的所有質數(shù)。如果這些質數(shù)都不能整除N，那么N是質數(shù)；如果這些質數(shù)中有一個能整除N，那么N是合數(shù)。因為269＜172=289。17以內質數(shù)有2，3，5，7，11，13。根據(jù)能被某些數(shù)整除的數(shù)的特征，個位數(shù)是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。經(jīng)逐一判斷或試除知，這6個質數(shù)都不能整除269，所以269是質數(shù)。因為437＜212=441。21以內的質數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判斷437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19試除437，得到437÷19=23，所以437是合數(shù)。對比一下幾種判別質數(shù)與合數(shù)的方法，可以看出例2的方法的優(yōu)越性。判別269，用2～268中所有的數(shù)試除，要除267個數(shù)；用2～268中的質數(shù)試除，要除41個數(shù)；而用例2的方法，只要除6個數(shù)。例3判斷數(shù)1111112111111是質數(shù)還是合數(shù)？分析與解：按照例2的方法判別這個13位數(shù)是質數(shù)還是合數(shù)，當然是很麻煩的事，能不能想出別的辦法呢？根據(jù)合數(shù)的意義，如果一個數(shù)能夠寫成兩個大于1的整數(shù)的乘積，那么這個數(shù)是合數(shù)。根據(jù)整數(shù)的意義，這個13位數(shù)可以寫成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111×（1000000+1）=1111111×1000001。由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合數(shù)。這道例題又給我們提供了一種判別一個數(shù)是質數(shù)還是合數(shù)的方法。例4判定298+1和298+3是質數(shù)還是合數(shù)？分析與解：這道題要判別的數(shù)很大，不能直接用例1、例2的方法。我們在四年級學過an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某自然數(shù)的余數(shù)的變化規(guī)律。2n的個位數(shù)隨著n的從小到大，按照2，4，8，6每4個一組循環(huán)出現(xiàn)，98÷4=24……2，所以298的個位數(shù)是4，（298+1）的個位數(shù)是5，能被5整除，說明（298+1）是合數(shù)。（298+3）是奇數(shù)，不能被2整除；298不能被3整除，所以（298+3）也不能被3整除；（298+1）能被5整除，（298+3）比（298+1）大2，所以（298+3）不能被5整除。再判斷（298+3）能否被7整除。首先看看2n÷7的余數(shù)的變化規(guī)律：因為98÷3的余數(shù)是2，從上表可知298除以7的余數(shù)是4，（298+3）除以7的余數(shù)是4+3=7，7能被7整除，即（298+3）能被7整除，所以（298+3）是合數(shù)。例5已知A是質數(shù)，（A+10）和（A+14）也是質數(shù)，求質數(shù)A。分析與解：從最小的質數(shù)開始試算。A=2時，A+10=12，12是合數(shù)不是質數(shù)，所以A≠2。A=3時，A+10=13，是質數(shù)；A+14=17也是質數(shù)，所以A等于3是所求的質數(shù)。A除了等于3外，還可以是別的質數(shù)嗎？因為質數(shù)有無窮多個，所以不可能一一去試，必須采用其它方法。A，（A+1），（A+2）除以3的余數(shù)各不相同，而（A+1）與（A+10）除以3的余數(shù)相同，（A+2）與（A+14）除以3的余數(shù)相同，所以A，（A+10），（A+14）除以3的余數(shù)各不相同。因為任何自然數(shù)除以3只有整除、余1、余2三種情況，所以在A，（A+10），（A+14）中必有一個能被3整除。能被3整除的質數(shù)只有3，因為（A+10），（A+14）都大于3，所以A=3。也就是說，本題唯一的解是A=3。練習101.現(xiàn)有1，3，5，7四個數(shù)字。（1）用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質數(shù)（數(shù)字可以重復使用）？（2）用它們可以組成哪些各位數(shù)字不相同的三位質數(shù)？2.a，b，c都是質數(shù)，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。3.A是一個質數(shù)，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是質數(shù)。試求出所有滿足要求的質數(shù)A。5.試說明：兩個以上的連續(xù)自然數(shù)之和必是合數(shù)。6.判斷266+388是不是質數(shù)。7.把一個一位數(shù)的質數(shù)a寫在另一個兩位數(shù)的質數(shù)b后邊，得到一個三位數(shù)，這個三位數(shù)是a的87倍，求a和b。

第11講分解質因數(shù)自然數(shù)中任何一個合數(shù)都可以表示成若干個質因數(shù)乘積的形式，如果不考慮因數(shù)的順序，那么這個表示形式是唯一的。把合數(shù)表示為質因數(shù)乘積的形式叫做分解質因數(shù)。例如，60=22×3×5，1998=2×33×37。例1一個正方體的體積是13824厘米3，它的表面積是多少？分析與解：正方體的體積是“棱長×棱長×棱長”，現(xiàn)在已知正方體的體積是13824厘米3，若能把13824寫成三個相同的數(shù)相乘，則可求出棱長。為此，我們先將13824分解質因數(shù)：把這些因數(shù)分成三組，使每組因數(shù)之積相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），于是，得到棱長是23×3=24（厘米）。所求表面積是24×24×6=3456（厘米2）。例2學區(qū)舉行團體操表演，有1430名學生參加，分成人數(shù)相等的若干隊，要求每隊人數(shù)在100至200之間，共有幾種分法？分析與解：按題意，每隊人數(shù)×隊數(shù)=1430，每隊人數(shù)在100至200之間，所以問題相當于求1430有多少個在100至200之間的約數(shù)。為此，先把1430分解質因數(shù)，得1430＝2×5×11×13。從這四個質數(shù)中選若干個，使其乘積在100到200之間，這是每隊人數(shù)，其余的質因數(shù)之積便是隊數(shù)。2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。所以共有三種分法，即分成13隊，每隊110人；分成11隊，每隊130人；分成10隊，每隊143人。例31×2×3×…×40能否被90909整除？分析與解：首先將90909分解質因數(shù)，得90909=33×7×13×37。因為33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整除。例4求72有多少個不同的約數(shù)。分析與解：將72分解質因數(shù)得到72=23×32。根據(jù)72的約數(shù)含有2和3的個數(shù)，可將72的約數(shù)列表如下：上表中，第三、四行的數(shù)字分別是第二行對應數(shù)字乘以3和32，第三、四、五列的數(shù)字分別是第二列對應數(shù)字乘以2，22和23。對比72=23×32，72的任何一個約數(shù)至多有兩個不同質因數(shù)：2和3。因為72有3個質因數(shù)2，所以在某一個約數(shù)的質因數(shù)中，2可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次、出現(xiàn)3次，這就有4種情況；同理，因為72有兩個質因數(shù)3，所以3可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次，共有3種情況。根據(jù)乘法原理，72的不同約數(shù)共有4×3=12（個）。從例4可以歸納出求自然數(shù)N的所有不同約數(shù)的個數(shù)的方法：一個大于1的自然數(shù)N的約數(shù)個數(shù)，等于它的質因數(shù)分解式中每個質因數(shù)的個數(shù)加1的連乘積。例如，2352=24×3×72，因為2352的質因數(shù)分解式中有4個2，1個3，2個7，所以2352的不同約數(shù)有（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（個）；又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的約數(shù)有（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（個）。例5試求不大于50的所有約數(shù)個數(shù)為6的自然數(shù)。分析與解：這是求一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)的逆問題，因此解題方法正好與例4相反。因為這個數(shù)有六個約數(shù)，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，當這個數(shù)只有一個質因數(shù)a時，這個數(shù)是a5；當這個數(shù)有兩個質因數(shù)a和b時，這個數(shù)是a2×b。因為這個數(shù)不大于50，所以對于a5，只有a=2，即25=32；對于a2×b，經(jīng)試算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32×5=45，52×2=50。所以滿足題意的數(shù)有八個：32，12，20，28，44，18，45，50。練習111.一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209分米2，如果它的長、寬、高都是質數(shù)，那么這個長方體的體積是多少立方分米？2.爺孫兩人今年的年齡的乘積是693，4年前他們的年齡都是質數(shù)。爺孫兩人今年的年齡各是多少歲？3.某車間有216個零件，如果平均分成若干份，分的份數(shù)在5至20之間，那么有多少種分法？4.小英參加小學數(shù)學競賽，她說：“我得的成績和我的歲數(shù)以及我得的名次乘起來是3916，滿分是100分?！蹦芊裰佬∮⒌哪挲g、考試成績及名次？5.舉例回答下面各問題：（1）兩個質數(shù)的和仍是質數(shù)嗎？（2）兩個質數(shù)的積能是質數(shù)嗎？（3）兩個合數(shù)的和仍是合數(shù)嗎？（4）兩個合數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）仍是合數(shù)嗎？（5）一個質數(shù)與一個合數(shù)的和是質數(shù)還是合數(shù)？6.求不大于100的約數(shù)最多的自然數(shù)。7.同學們去射箭，規(guī)定每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶）或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩同學各射5箭，每人得到的總環(huán)數(shù)之積剛好都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總環(huán)數(shù)。第12講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。自然數(shù)a1，a2，…，an的最大公約數(shù)通常用符號（a1，a2，…，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a1，a2，…，an的最小公倍數(shù)通常用符號[a1，a2，…，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。常用的求最大公約數(shù)和最