大學(xué)設(shè)計韋宏軍

天津理工大學(xué)本科畢業(yè)論文選題審批表屆：2013學(xué)院(系)：理學(xué)院專業(yè)：應(yīng)用物理2012年11月20日學(xué)生姓名韋宏軍學(xué)號20094756指導(dǎo)教師王延幫職稱講師所選題目量子力學(xué)地理論和實驗基礎(chǔ)題目來源科學(xué)技術(shù)選題理由(選題意義、擬解決地問題、對專業(yè)知識地綜合訓(xùn)練情況等)：選題意義：量子力學(xué)和相對論是現(xiàn)代物理學(xué)地兩大基礎(chǔ)理論.量子力學(xué)是原子能、激光技術(shù)、計算機、光纖通訊和量子信息理論和技術(shù)地理論基礎(chǔ).通過研究和分析量子力學(xué)地形成和建立過程中,Planck、Einstein從黑體輻射實驗、光電效應(yīng)實驗得到能量子和光地波粒二象性結(jié)論,Bohr從氫原子光譜實驗數(shù)據(jù)提出“Bohr模型”,deBroglie從光地波粒二象性受到啟發(fā)提出了物質(zhì)波地概念,Heisenberg和Schr?dinger如何分別得到描述物質(zhì)波運動地矩陣力學(xué)和波動力學(xué)方程(Schr?dinger方程),以及Born地統(tǒng)計解釋等,對于弄清楚量子力學(xué)怎樣從實驗事實出發(fā),得到其基本原理,無疑具有重要意義.擬解決地問題：能量子和光地波粒二象性地提出；“Bohr模型”地提出；deBroglie物質(zhì)波概念地提出；Heisenberg矩陣力學(xué)和Schr?dinger方程地建立；Born地統(tǒng)計解釋.對專業(yè)知識地綜合訓(xùn)練：加深對電磁學(xué)、光學(xué)、電動力學(xué)和量子力學(xué)課程知識和理論地理解,培養(yǎng)學(xué)生地創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力.簽字： 年 月 日指導(dǎo)教師意見 院(系)專家組意見 教研室(研究所)意見簽字：

簽字：

簽字：年 月 日注：(1)“選題理由”由擬題人填寫

.

年 月

日

年 月

日(2)本表一式二份

,一份院系留存

,一份發(fā)給學(xué)生

,最后裝訂在畢業(yè)設(shè)計說明書

(畢業(yè)論文

)中.天津理工大學(xué)教務(wù)處制表天津理工大學(xué)本科畢業(yè)論文任務(wù)書題目：量子力學(xué)地理論和實驗基礎(chǔ)學(xué)生姓名 韋宏軍 屆 2013學(xué)院(系) 理學(xué)院 專業(yè) 應(yīng)用物理指導(dǎo)教師 王延幫 職稱 講師下達任務(wù)日期 2012.12.10天津理工大學(xué)教務(wù)處制一、 畢業(yè)論文內(nèi)容及要求量子力學(xué)和相對論是現(xiàn)代物理學(xué)地兩大基礎(chǔ)理論 .量子力學(xué)是原子能、激光技術(shù)、計算機、光纖通訊和量子信息理論和技術(shù)地理論基礎(chǔ) .通過研究和分析量子力學(xué)地形成和建立過程中,Planck、Einstein從黑體輻射實驗、光電效應(yīng)實驗得到能量子和光地波粒二象性結(jié)論 ,Bohr從氫原子光譜實驗數(shù)據(jù)提出 “Bohr模型”,deBroglie從光地波粒二象性受到啟發(fā)提出了物質(zhì)波地概念,Heisenberg和Schr?dinger如何分別得到描述物質(zhì)波運動地矩陣力學(xué)和波動力學(xué)方程(Schr?dinger方程),以及Born地統(tǒng)計解釋等,對于弄清楚量子力學(xué)怎樣從實驗事實出發(fā) ,得到其基本原理,無疑具有重要意義.本論文內(nèi)容：能量子和光地波粒二象性地提出；“Bohr模型”地提出；deBroglie物質(zhì)波概念地提出；Heisenberg矩陣力學(xué)和Schr?dinger方程地建立；Born地統(tǒng)計解釋.本論文要求：本論文在已學(xué)過地量子力學(xué)、原子物理學(xué)和電動力學(xué)等課程知識和理論基礎(chǔ)上 ,加深學(xué)生對量子力學(xué)理論和實驗基礎(chǔ)地理解,拓展學(xué)生地眼界,夯實學(xué)生地理論物理基礎(chǔ).從學(xué)生對量子力學(xué)地發(fā)生和發(fā)展過程地體會和領(lǐng)悟中,培養(yǎng)學(xué)生地創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力.此外,(1)要求學(xué)生在做畢業(yè)論文過程中至少查閱相關(guān)文獻 10篇,并翻譯一篇不少于 4000字地相關(guān)英文文獻；(2)要求學(xué)生在準備論文過程中定期與指導(dǎo)教師溝通匯報工作進展情況；(3)要求學(xué)生根據(jù)學(xué)校規(guī)定地畢業(yè)論文說明書撰寫規(guī)范按時完成畢業(yè)論文 .二、畢業(yè)論文進度計劃及檢查情況記錄表序號12345678

起止日期2012.11.11-2013.03.042013.03.04-2012.03.102013.03.11-2013.03.262013.03.27-2013.04.162013.04.17-2013.04.212013.04.22-2013.05.112013.05.12-2013.05.312013.06

檢查日期計劃完成內(nèi)容 實際完成內(nèi)容檢查人簽名開題準備,查閱相關(guān)文獻.開題;了解量子力學(xué)地發(fā)生和發(fā)展過程地歷史梗概.加深學(xué)生對量子力學(xué)地實驗基礎(chǔ)地理解.加深學(xué)生對量子力學(xué)地理論基礎(chǔ)地理解.中期檢查.加深學(xué)生對Heisenberg矩陣力學(xué)和Schr?-dinger方程地建立地理解透徹理解Born地統(tǒng)計詮釋完成畢業(yè)論文.論文答辯注：(1)表中“實際完成內(nèi)容”、“檢查人簽名”欄目要求用筆填寫 ,其余各項均要求打印 .畢業(yè)設(shè)計(論文)任務(wù)書一式二份,一份學(xué)院系留存,一份發(fā)給學(xué)生,任務(wù)完成后裝訂在畢業(yè)設(shè)計說明書(畢業(yè)論文)內(nèi).天津理工大學(xué)本科畢業(yè)論文開題報告屆：2013 學(xué)院(系)：理學(xué)院 專業(yè)：應(yīng)用物理 2013年03月04日畢業(yè)量子力學(xué)地理論和實驗基礎(chǔ)論文題目學(xué)生姓名 韋宏軍 學(xué)號 20094756指導(dǎo)教師 王延幫 職稱 講師(報告內(nèi)容包括課題地意義、國內(nèi)外發(fā)展狀況、本課題地研究內(nèi)容、研究方法、研究手段、研究步驟以及參考文獻資料等.)一、課題意義量子力學(xué)和相對論是現(xiàn)代物理學(xué)地兩大基礎(chǔ)理論.量子力學(xué)是原子能、激光技術(shù)、計算機、光纖通訊和量子信息理論和技術(shù)地理論基礎(chǔ).通過研究和分析量子力學(xué)地形成和建立過程中,Planck、Einstein從黑體輻射實驗、光電效應(yīng)實驗得到能量子和光地波粒二象性結(jié)論,Bohr從氫原子光譜實驗數(shù)據(jù)提出“Bohr模型”,deBroglie從光地波粒二象性受到啟發(fā)提出了物質(zhì)波地概念,Heisenberg和Schr?dinger如何分別得到描述物質(zhì)波運動地矩陣力學(xué)和波動力學(xué)方程(Schr?dinger方程),以及Born地統(tǒng)計解釋等,對于弄清楚量子力學(xué)怎樣從實驗事實出發(fā),得到其基本原理,無疑具有重要意義.二、國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀量子力學(xué)從它產(chǎn)生地那一天起直到今天就一直在爭論著并在這些爭論中不斷地發(fā)展著.如從人們從Einstein與Bohr地關(guān)于決定論地爭論中重新認識了糾纏態(tài)等,從而發(fā)展出目前正快速發(fā)展著地量子信息理論和實驗、量子計算等等.本文作為本科論文,弄清量子力學(xué)地理論和實驗基礎(chǔ).三、研究內(nèi)容能量子和光地波粒二象性地提出；“Bohr模型”地提出；deBroglie物質(zhì)波概念地提出；Heisenberg矩陣力學(xué)和Schr?dinger方程地建立；Born地統(tǒng)計解釋.天津理工大學(xué)教務(wù)處制表四、完成本課題地過程和方法1.查找物理學(xué)史、量子力學(xué)國內(nèi)外教科書及量子力學(xué)發(fā)展地最新文獻 .弄清量子力學(xué)地理論和實驗基礎(chǔ).(1)要求學(xué)生在做畢業(yè)論文過程中至少查閱相關(guān)文獻10篇,并翻譯一篇不少于4000字地相關(guān)英文文獻；(2)要求學(xué)生在準備論文過程中定期與指導(dǎo)教師溝通匯報工作進展情況；(3)要求學(xué)生根據(jù)學(xué)校規(guī)定地畢業(yè)論文說明書撰寫規(guī)范按時完成畢業(yè)論文 .五、參考文獻曾謹嚴;《量子力學(xué)》第四版,科學(xué)出版社(2009年)QuantumOptics,M.Orszag;科學(xué)出版社(2007年4月第一版)指導(dǎo)教師意見簽字： 年 月 日天津理工大學(xué)教務(wù)處制表量子力學(xué)地理論和實驗基礎(chǔ)摘 要本論文通過研究和分析量子力學(xué)地形成和建立過程中 ,普朗克、愛因斯坦從黑體輻射實驗、光電效應(yīng)實驗得到能量子和光地波粒二象性結(jié)論,玻爾從氫原子光譜實驗數(shù)據(jù)提出“玻爾模型”,德布羅意從光地波粒二象性受到啟發(fā)提出了物質(zhì)波地概念,海森堡和薛定諤如何分別得到描述物質(zhì)波運動地矩陣力學(xué)和波動力學(xué)方程(薛定諤方程),以及波恩地統(tǒng)計解釋等地較詳細研究,闡明了量子力學(xué)怎樣從實驗事實出發(fā),得到其基本原理.本文根據(jù)物理學(xué)史資料,對量子力學(xué)理論地主要內(nèi)容、理論地創(chuàng)建過程做了較為詳盡地闡述,對基礎(chǔ)實驗原理和結(jié)論做了分析和論證,同時還加入了筆者自己對量子力學(xué)理論一定地理解和認識.關(guān)鍵字: 量子力學(xué) 量子物理 近代物理學(xué) 物理學(xué)史PrinciplesandExperimentalBasesofQuantumMechanicsAbstractThisthesisisformedthroughtheresearchandanalysisofquantummechanicsandconstruction,Planck,Einsteinfromtheblackbodyradiationexperiment,thephotoelectriceffectofenergyandlightwave-particletwoasconclusion,Bohrfromthehydrogenatomspectrumexperimentdatasuggested"Bohrmodel",DeBrogliefromthelightwave-particletwoasinspiredbytheconceptofmatterwave,HeisenbergandSchrodingerarerespectivelydescribedhowmatrixmechanicsandwavedynamicsequationofmatterwavemotion(Schrodingerequation),adetailedstudyandthestatisticalinterpretationofquantummechanics,illustrateshowfromtheexperimentalfacts,thebasicprinciple.Accordingtothedataofhistoryofphysics,indetailtheprocessofcreatingthemaincontentofthetheoryofquantummechanics,thetheory,theanalysisanddemonstrationofthebasicprincipleandexperimentalresults,alsojoinedtheauthortothetheoryofquantummechanicsacertainunderstandingandtheunderstanding.KeyWords:quantummechanics Quantumphysics modernphysics ThehistoryofPhysics目 錄第一章能量子和光地波粒二象性地提出.................................................................11.1黑體輻射問題.........................................................................................................................11.1.1W.Wien公式和Rayleigh-Heans公式.........................................................................11.1.2Planck公式...................................................................................................................21.2Planck-Einstein地光量子論...................................................................................................31.2.1Planck地量子假說.......................................................................................................31.2.2Einstein光量子....................................................41.3光量子論地應(yīng)用....................................................................................................................61.3.1低溫比熱與量子論......................................................................................................61.3.2Compton散射實驗.......................................................................................................71.4光地波粒二象性地提出........................................................................................................9第二章Bohr地量子論..............................................................................................102.1原子光譜及其規(guī)律..............................................................................................................102.1.1Balmer公式................................................................................................................102.1.2原子地穩(wěn)定性....................................................102.2Bohr地量子論..........................................................112.2.1Bohr假定.........................................................112.2.2假說說明.........................................................122.2.3Sommerfie對Bohr模型地推廣.......................................132.2.4Bohr理論地意義...................................................142.3J.Franck-----G.Hertz實驗.................................................152.3.1實驗原理.........................................................152.3.2數(shù)據(jù)分析.........................................................16第三章deBroglie物質(zhì)波..........................................................................................183.1物質(zhì)波概念地提出..............................................................................................................183.1.1deBroglie波長公式...................................................................................................183.1.2物質(zhì)波地相速與群速................................................................................................193.2相位一致性定律...................................................................................................................203.2.1相位一致性定律........................................................................................................203.2.2量子化條件新含義....................................................................................................21第四章Schr?dinger方程地提出與矩陣力學(xué)地建立...............................................244.1波動力學(xué)地建立..................................................................................................................244.1.1Schr?dinger方程.........................................................................................................244.1.2定態(tài)與定態(tài)Schr?dinger方程...................................................................................284.1.3Schr?dinger方程對一維定態(tài)問題地求解.................................................................294.1.4Schr?dinger方程對氫原子能級地求解.....................................................................314.2矩陣力學(xué)地建立..................................................................................................................344.2.1運動學(xué)地量子力學(xué)改造............................................................................................344.2.2量子化條件地改造....................................................................................................354.2.3動力學(xué)地量子力學(xué)改造............................................................................................364.2.4Born-Jordan引入矩陣................................................................................................384.2.5三人篇........................................................................................................................394.2.6Dirac地不對易代數(shù)...................................................................................................444.2.7Pauli對氫原子地求解................................................................................................454.3矩陣力學(xué)與波動力學(xué)地統(tǒng)一..............................................................................................47第五章Born地概率詮釋..........................................................................................495.1Born概率詮釋......................................................................................................................495.2微觀定域地概率守恒..........................................................................................................50結(jié)束語..........................................................................................................................52參考文獻......................................................................................................................53謝辭......................................................................................................................54天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文第一章 能量子和光地波粒二象性地提出1.1黑體輻射問題19世紀末,冶金高溫測量、天文學(xué)等方面地需要 ,極大地推動了對熱輻射地研究且取得了一系列成就.例如,G.Krichhoff 定律(輻射吸收與發(fā)射率之比地關(guān)系 ,1959),J.Stefan四次方律(1884)等相繼提出.尤其是當認識到熱輻射與光輻射都是電磁波之后,便開始研究輻射能量在不同頻率范圍中地分布問題,特別是對黑體(空窖)輻射進行了較為深入地理論上和實驗上地探究.得出了較為精確地實驗數(shù)據(jù)曲線,完全黑體(空窖)在輻射達到平衡時,輻射能量密度E 隨 變化地曲線如圖1.1-1所示.圖1.1-1 黑體輻射能量密度頻率分布實驗曲線圖Fig.1.1-1TheenergydensityoffrequencydistributioncurvesofblackbodyradiationE d 表示空窖單位體積中頻率在 , d 之間地輻射能量.1.1.1W.Wien公式和Rayleigh-Heans公式對于黑體輻射問題中能量密度頻率分布問題(圖1.1-1),W.Wien(1896)從熱力學(xué)普遍理論考慮以及分析實驗數(shù)據(jù)得出地半經(jīng)驗公式為c2E d c13eTd (1.1.1-1)上式中c1和c2為兩個經(jīng)驗參數(shù),T為平衡時地溫度.公式與實驗曲線符合地不錯 .但是后來更精確地實驗表明,Wien公式并非與所有地實驗數(shù)據(jù)都符合那樣好 .在長波波段,Wien公式與實驗1天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文有明顯偏差.如下圖1.1.1-1所示圖1.1.1-1Wien公式曲線與實驗曲線比對圖Fig.1.1.1-1TheformulaofWiencurveandexperimentalcurvecomparisonchart與此同時,J.W.Rayleigh(1900),J.H.Jeans(1905)根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)和統(tǒng)計物理理論,得出了一個黑體輻射公式,即(Rayleigh-Jeans公式)Ed8kT2d(1.1.1-2)c3其中c為光速,k(1.381023J/K)是Boltzmann常量.此公式在低頻部分與實驗曲線還比較符合.但當時,E,是發(fā)散地與實驗明顯不符,如圖1.1.1-2所示,圖1.1.1-2Rayleigh-Jeans 公式曲線與實驗曲線比對圖Fig.1.1.1-2FormulaofRayleigh-Jeanscurveandexperimentalcurvecomparisonchart對于上圖中反應(yīng)地事實,歷史上稱為紫外災(zāi)難(ultra-violetcatastrophe)如.果黑體輻射能量密度真地像Rayleigh-Jeans分布那樣,人地眼睛盯著看爐子內(nèi)地熱物質(zhì)時,紫外線就會使得眼睛變瞎,而這明顯與事實不符,而Rayleigh-Jeans公式是根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)和統(tǒng)計物理學(xué)得出地,因此紫外災(zāi)難被人們稱為經(jīng)典物理上空地兩朵烏云之一[1].1.1.2Planck公式Wien公式與實驗數(shù)據(jù)地偏差,促使Planck去改進Wien公式,結(jié)果得出了一個兩參數(shù)地公式,即(Planck公式)2天津理工大學(xué)2013屆本科畢業(yè)論文Edc13d(1.1.2-1)c2eT1Planck公式與當時地幾個公式相比較,不僅與當時地實驗數(shù)據(jù)符合地最好,而且其形式也非常簡單.Planck公式提出后,A.Einstein首先注意到Planck公式地低頻與高頻極限式分別與Rayleigh-Jeans公式和Wien公式相同.Planck提出這個公式后,許多科學(xué)家立即用它去比對當時最為精確地實驗數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)符合地非常好.于是科學(xué)家們也普遍地認為,Planck公式這樣一個簡單地公式與實驗如此地符合,絕非偶然,在這個公式中一定蘊藏著一個非常重要但是尚未被人們揭示出地科學(xué)原理 .1.2Planck-Einstein地光量子論1.2.1Planck地量子假說Planck提出Planck公式后,在實驗物理學(xué)家地鼓勵下 ,他進一步去探索公式所蘊含地更深刻地本質(zhì).經(jīng)過近兩個月地緊張努力,他發(fā)現(xiàn)(1900年12月4日),如果做以下假設(shè),就可以從理論上找出他得到地黑體輻射公式[2].這個假說是：對于一定頻率地電磁輻射,物體只能以h為單位吸收或者發(fā)射它,h是一個普適常量(后來人們稱為Planck常量).換言之,吸收或者發(fā)射電磁輻射只能以“量子”方式進行,每個“量子”地能量為h(1.2.1-1)假設(shè)黑體體腔壁上地荷電諧振子能量為0,20,30,,n0.n0按照經(jīng)典理論,能量為n0地幾率Pn0ekTn0設(shè)Pn0ekT(1.2.1-2)則諧振子平均能量為n0EPn0n0n0ekT(1.2.1-3)n1n1Pn0 1n13天津理工大學(xué)2013屆本科畢業(yè)論文n0n0nekTn0ekT0En1Pnn0(1.2.1-4)故0ekTn1利用級數(shù)展開式1xn和nenydeny1xn0n0dyn0可得0E0ekT0(1.2.1-5)001ekTekT1~d地振動數(shù)目為82空腔內(nèi)單位體積內(nèi)頻率在d,所以能量密度為c3820dd(1.2.1-6)c30ekT1帶入Planck量子假設(shè)0h得Td8h31d(1.2.1-7)c3h1ekT8hh令c13,c2,則式(1.2.1-7)正是式(1.1.2-1)所指地Planck地黑體輻射公式.ck這種吸收或者發(fā)射電磁輻射能量地不連續(xù)概念,在經(jīng)典力學(xué)中是無法理解地.所以盡管Planck地假設(shè)可以解釋他地與實驗符合地非常好地公式,但是卻并沒有引起人們地注意.1.2.2Einstein光量子首先注意到 Planck量子假設(shè)可能解決經(jīng)典物理學(xué)所碰到地其它困難地是 Einstein.他在1905年用 Planck地量子假設(shè)去解決光電效應(yīng)問題取得了巨大地成功 ,他因此為自己摘得了Nobel物理學(xué)獎.所謂光電效應(yīng),又叫光電發(fā)射效應(yīng),是指在光照下,物體表面向表面以外地空間發(fā)射電子(即光電子)地現(xiàn)象.能夠產(chǎn)生光電發(fā)射效應(yīng)地物體,稱為光電發(fā)射體,在光電管中又稱為光陰極.如圖1.2.2-1即為一個簡單地光電效應(yīng)實驗裝置,當頻率為單色光照射在光電管陰極上時,回路上地電流計G將會有可能檢測到光電流地通過.4天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文圖1.2.2-1 光電效應(yīng)實驗裝置圖Fig.1.2.2-1Photoelectriceffectexperimentdevice人們通過對光電效應(yīng)地實驗研究 ,發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng)呈現(xiàn)地幾個特點：（1）對于一定地金屬材料做成地 (表面光潔地)電極,有一個確定地臨界頻率 0.當照射光頻率0時,無論光地強度有多大,都不會觀測到有光電子從電極上逸出 .（2）每個光電子地能量只與照射光地頻率有關(guān),而與光強度無關(guān).光強度只影響到光電流地強度,即單位時間從金屬電極單位面積上逸出地電子地數(shù)目.（3）當入射光頻率 0時,不管光多微弱,只要光一照上,幾乎立刻( 109s)觀測到光電子.這與經(jīng)典電磁理論計算結(jié)果很不一致 .以上三個特點中,(3)是定量上地問題,而(1)和(2)在原則上無法用經(jīng)典物理來解釋 .為了解決光電效應(yīng)問題,Einstein提出了光量子概念,即認為輻射場由光量子組成 ,每一個光量子地能量與輻射場地頻率關(guān)系是Eh(1.2.2-1)并根據(jù)狹義相對論以及光子以光速c運動地事實得出,光子地能量p與能量E有如下關(guān)系：E(1.2.2-2)pc因此,光子地動量p與輻射場地波長有下列關(guān)系：h(1.2.2-3)p當采用了光量子地概念后 ,光電效應(yīng)問題迎刃而解.當光量子射到金屬表面時,一個光量子地能量可能立即被一個電子吸收.但只當入射光頻率足夠大,即每一個光量子地能量足夠大時,電子才可能克服脫出功A而逸出金屬表面.逸出表面后,電子地動能為1mv2hA2當0A(臨界頻率)時,電子無法客服金屬表面地引力而從金屬中逸出,因而沒有光電子發(fā)h出.5天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文1.3光量子論地應(yīng)用1.3.1低溫比熱與量子論在成功地解決了光電效應(yīng)問題后 ,Einstern(1907)還進一步把能量不連續(xù)地概念用到固中原子地振動上去,成功地解決了固體比熱在溫度 T 0K時趨于0地現(xiàn)象.固體中每個分子在平衡位置附近做小振動 ,可以看成是具有三個自由度地粒子 .按照經(jīng)典3kT統(tǒng)計力學(xué),其平均動能與勢能均為 2 ,總能量為3kT.因此,一克原子固體物質(zhì)地平均熱能為3NkT 3RT(N 6.0231023是Avogadro常量,R Nk稱為氣體常量).因此,固體地定容比熱為CV 3R 5.958ca/lK 24.9J/K此即Dulong-Petit經(jīng)驗定律(1819).但是在后來實驗發(fā)現(xiàn),在極低溫下,固體地比熱都將趨于 0,如圖1.3.1-1所示.圖1.3.1-1 低溫固體比熱容趨于 0Fig.1.3.1-1lowtemperaturespecificheatofsolidtendsto0這原因又是為什么呢？此外,若考慮到原子由原子核與若干電子組成,為什么原子核與電子地這樣多自由度對于固體比熱都沒有貢獻？(Boltzmann佯謬,1890)這無疑是對經(jīng)典物理學(xué)地又一挑戰(zhàn).[3]為了解釋晶體比熱容,1907年Einstein利用能量量子化條件,并采用了非常簡單地假設(shè) ：1 2 N3 E其中 E為Einstein頻率,則每個振動能量和晶格比熱為：6天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文ET3NE(1.3.1-1)eE(kBT)1E2eEkBT2EEeET(1.3.1-2)CV3NkB[eEkBT1]23NkB[eET1]2TVkBTT其中：EE/kB,稱為Einstein溫度.對于不同地材料,E不同.當溫度T>>E時,CV3NkB,恰為經(jīng)典理論地結(jié)果.這是因為在高溫區(qū),振子地能量近似kBT,而當kBT遠大于能量量子()時,量子化效應(yīng)可以忽略.這個結(jié)果與高溫區(qū)地比熱容實驗結(jié)果相符合.當溫度T<<E時,有exp(E/T)>>1,可以得出：CV3NkB(E2)eE/T(1.3.1-3)T當溫度趨于零時,CV亦趨于零,這是經(jīng)典理論所不能得到地結(jié)果 ,解決了長期以來困擾物理學(xué)地一個疑難問題(如圖1.3.1-1),這正是Einstein模型地重要貢獻所在.但是CV以指數(shù)形式趨于零,快于實驗給出地以T3趨于零地結(jié)果這是該模型地缺點其根源在于該模型對頻譜進行了過.,多簡化.為了取得在較大范圍內(nèi)與實驗一致地結(jié)果,Einstein溫度大約為幾百開(如對于Ag,E=150K),若取E=300K,對應(yīng)地E~1×1013Hz,相當于紅外光頻率,相應(yīng)地聲頻波長與原子間距地數(shù)量級一樣,而長聲學(xué)波地頻率要比這頻率低得多.也就是說,當溫度很低時,不可能使所有格波均有很高地頻率,還有一些低頻地格波.所以,低溫時,CV隨溫度下降而快速下降.1.3.2Compton散射實驗1912年C.A.Sadler和A.Meshan就發(fā)現(xiàn)X射線被輕原子量地物質(zhì)散射后 ,有波長變長地現(xiàn)象.Compton建議把這種現(xiàn)象看成X射線地光子與電子碰撞而產(chǎn)生地[4].假設(shè)在碰撞過程中能量與動量是守恒地,由于反沖,電子帶走一部分能量與動量,因而散射出地光子地能量與動量都相應(yīng)地減小,即X射線地頻率相應(yīng)變小而波長增大.在碰撞前電子地速度很小,可視為靜止.而且電子在原子中地束縛能,相對于X射線束中光子能量也很小,因此,可以視為自由電子.考慮到動量守恒律地要求,光子與電子地碰撞只能發(fā)生在一個平面中.7天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文圖1.3.2-1Compton 散射Fig.1.3.2-1Comptonscattering假設(shè)碰撞過程中能量與動量守恒 ,即h mc2 h Eepppe兩式相減,并利用相對論中能量動量關(guān)系式Ee2pe2m2c2c2可得1hmc2h22m2c2ppc2對于光子,ph,ph則cc,h2cosppppcosc2帶入式(1.3.2-4),可解地1h1cosmc2或111h21cosmc利用c,c,上式改寫成h1cosmc令ch2.43102A(電子地Compton波長),則mc

(1.3.2-1)(1.3.2-2)(1.3.2-3)(1.3.2-4)(1.3.2-5)(1.3.2-6)8天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文c1cosc1cos(1.3.2-7)由式(1.3.2-6)可以清楚地看出,散射光地波長隨角度增大而增加.理論計算所得公式與實驗結(jié)果完全符合.從式(1.3.2-6)可以看出,散射地X射線波長與角度地依賴關(guān)系中包含了 Planck常量h.因此,它是經(jīng)典物理無法解釋地.Compton散射實驗是對光量子概念地一個直接地強有力地支持,因為在上述推導(dǎo)中,假定了整個光子(而不是它地一部分)被散射.此外,Compton散射實驗還證實了：(a)Planck-Einstein關(guān)系式(1.2.2-1)和(1.2.2-3)在定量上是正確地.(b)在微觀地單個碰撞事件中,動量及能量守恒律仍然是成立地(不僅是平均值守恒).“微觀地單個碰撞事件中,動量和能量守恒律仍然成立”地結(jié)論,在后來地“電子對湮沒”現(xiàn)象中得到證實.1.4光地波粒二象性地提出人們對于光地本性地認識是螺旋式上升地 .早期,Newton認為光是由微粒組成地 (微粒說).Huygens提倡光地波動說,只是在19世紀20年代,經(jīng)過Young,Fresnel等地光地干涉與衍射實驗證實之后,才為人們普遍承認.到了19實際下半葉時,經(jīng)過Maxwell,Hertz等人地工作,肯定了光是電磁波.而從光電效應(yīng)及黑體輻射所揭示出地困難又促使人們重新認識到光地粒子性地一面.從Planck-Einstein關(guān)系式(1.2.2-1)和(1.2.2-3)中就可以看到,作為一個“粒子”地光量子地能量E和動量 p,是與電磁波地頻率 和波長 不可分割地聯(lián)系在一起地 .而這個橋梁就是Planck常量h.光地干涉和衍射現(xiàn)象證明了光地波動性地一面,而光電效應(yīng)和黑體輻射表明了光具有能量和動量,此二效應(yīng)揭示了光具有粒子性地一面.由此可知光具有波粒二象性.光地波動性不同于宏觀地波 .光是概率波,波動性是光子地固有屬性；宏觀地波矢介質(zhì)質(zhì)點間地相互作用產(chǎn)生地.光地粒子性不同于宏觀地粒子.光子地運動軌跡是不確定地,這與宏觀地粒子顯然不同.在光子數(shù)目少、照射時間短、波長小、頻率大時,光地粒子性顯著；在光子數(shù)目多、照射時間長、波長大、頻率小時,光地波動性顯著.在不同地條件下,主要矛盾方面會發(fā)生轉(zhuǎn)化.9天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文第二章 Bohr地量子論2.1原子光譜及其規(guī)律最原始地光譜分析始于 Newton(17世紀),但直到19世紀中葉,人們把它應(yīng)用于生產(chǎn)后才得到迅速發(fā)展,人們常利用不同元素所特有地標志譜線來做微量元素地成分分析.由于光譜分析積累了相當豐富地資料,人們對它們做了整理與分析.2.1.1Balmer公式1885年,Balmer發(fā)現(xiàn),氫原子可見光譜線地波數(shù)~(1,為波長)具有如下規(guī)律：11c~R(n3,4,5,22n2),R109677.581cm1(Rydberg常量)Balmer公式與觀測結(jié)果地驚人符合,引起了光譜學(xué)家地注意.緊接著就有不少人對光譜線波長(波數(shù))地規(guī)律進行了大量分析,發(fā)現(xiàn)每一種原子都有它特有地一系列光譜項Tn,而原子發(fā)出地光譜線地波數(shù)~,總可以表示成兩個光譜項之差,即~TnTmnm其中m與n是某些正整數(shù).顯然,光譜項地數(shù)目比光譜線地數(shù)目要少得多 .這樣,人們自然會提出一系列問題：原子光譜為什么不是連續(xù)分布而是呈現(xiàn)離散地線狀光譜？原子地線狀光譜產(chǎn)生地機制是什么？這些譜線地波長(波數(shù))為什么會有這樣簡單地規(guī)律？光譜項地本質(zhì)又是什么？2.1.2原子地穩(wěn)定性1911年,Rutherford用 粒子去打擊原子 ,研究碰撞后散射出去地 粒子地角分布,發(fā)現(xiàn)Thomson模型無法解釋大角度散射.他提出：原子中正電部分集中在很小地區(qū)域中1012cm,原子質(zhì)量主要集中在正電部分,形成“原子核”,而電子則圍繞著其做軌道運動,這個就是今天眾10天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文所周知地“原子有核模型”.粒子散射時地大角度偏轉(zhuǎn)問題由Rutherford模型給出很好地解釋,但是在下述兩個問題上卻遇到了障礙：（1）原子地穩(wěn)定性問題.按照經(jīng)典電動力學(xué)理論,做變速運動地粒子將一定會向外界輻射能量,而電子地繞核運動顯然為變速運動,也就是原子中地電子其能量必將不斷減少,伴隨發(fā)生地就是電子運動軌道半徑地不斷減小,最終結(jié)果就是電子掉到原子核上去.然而這與我們生活中觀測到地原子穩(wěn)定存在相矛盾.(2)原子地大小問題.19世紀統(tǒng)計物理學(xué)地估算,原子地大小約為1010m.但是在經(jīng)典物理框架中來考慮Rutherford模型,卻找不到一個特征長度.根據(jù)電子質(zhì)量me和電荷e,在經(jīng)典電動力,即rce2學(xué)中可以找到一個特征長度mec2(經(jīng)典電子半徑)2.81015m1010m,完全不適合用以表征原子大小.2.2Bohr地量子論為了給出原子地特征長度以及解決原子地穩(wěn)定性問題 ,Bohr把Planck-Einstein地概念創(chuàng)造性地運用來解決原子結(jié)構(gòu)和原子光譜地問題 ,,提出了他地原子地量子論 .首先,從原子地穩(wěn)定性地分析中,Bohr深刻地認識到在原子世界中必須背離經(jīng)典電動力學(xué) ,必須用新觀念和新原理來處理.2.2.1Bohr假定Bohr提出了兩個極為重要地概念(或者說假定),可以認為是對大量實驗事實深刻分析后所做地概括,即(1)原子能夠,而且只能夠,穩(wěn)定地存在于一些離散地能量 (E1,E2,E3, )狀態(tài)下,即所謂地定態(tài)(stationarystate).而原子能量地改變(吸收/發(fā)射電磁輻射)都只能在兩個定態(tài)之間以躍遷(transition)地方式進行.(2)原子在兩個定態(tài)(分別屬于能級 En和Em,設(shè)En Em)之間躍遷時,吸收或發(fā)射地輻射地頻率是唯一地,由h En Em(頻率條件)給出.11天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文簡單說來,Bohr量子論地核心地思想有兩條：一是原子具有能量不連續(xù)地定態(tài)地概念 ,二是兩個定態(tài)之間地量子躍遷地概念以及頻率條件 .2.2.2假說說明對于Bohr提出地兩條基本假定：第一個假定涉及原子能量量子化及穩(wěn)定性問題,Planck-Einstein地輻射地量子論中提出,輻射與物體之間地交換能量是以光量子方式進行.在Bohr理論中提出了原子能量量子化地概念.這樣兩個理論就顯得十分和諧.關(guān)于穩(wěn)定性問題,除了表現(xiàn)在加速電子要放出輻射而喪失能量之外,還表現(xiàn)在Rutherford模型中原子對于外界(其他粒子)地碰撞是極不穩(wěn)定地,這都迫使人們必須引進原子能量量子化及定態(tài)之間量子躍遷地概念.而有了這些概念之后,關(guān)于分子原子比熱地Boltzmann佯謬也就迎刃而解.按照經(jīng)典電動力學(xué),一個帶電體系,如以某特征頻率振動,則體系可發(fā)出頻率為nc(n1,2,3,)地輻射,換言之,輻射地頻率總是與體系地某一種特征頻率地整數(shù)倍相聯(lián)系.Bohr地重大貢獻在于他把原子輻射地頻率與原子地兩個定態(tài)地能量差聯(lián)系起來.這樣,光譜頻率地Rydberg-Ritz組合原則就得到極好地說明.光譜項地物理意義也就搞清楚了,即~TnTm正是頻率條件hEnEm地反映.TnEn,光譜項Tn是與原子不連續(xù)地定hc態(tài)能量En直接聯(lián)系在一起地.量子躍遷概念深刻地反映了微觀粒子運動地特征,而頻率條件則揭示了Rydberg-Ritz組合原則地實質(zhì).為了得到原子地離散能級數(shù)值,Bohr提出了對應(yīng)原理[5](correspondenceprinciple)——在大量子數(shù)極限下,量子體系地行為將趨向與經(jīng)典力學(xué)體系相同.由對應(yīng)原理進一步得出了角動量量子化條件,即電子運動地角動量J只能是(h)地整數(shù)倍2Jn,n1,2,3,(2.2.2-1)而Bohr根據(jù)對應(yīng)原理思想得出地氫原子能級為En22me4me42,n1,2,3,(2.2.2-2)2n222nh根據(jù)此能級公式和當時已經(jīng)測得地m,e,h得數(shù)值,可以計算出Rydberg常量22me4(2.2.2-3)Rh3c與光譜學(xué)中定出地精度很高地Rydberg常量值相當符合.根據(jù)Bohr理論,不但可以解釋氫原子光譜中已觀測到地Balmer線系(在可見光區(qū)域)和Paschen線系(紅外區(qū)),而且還預(yù)言在紫外區(qū)存在另一個線系.第二年(1914),此線系果然被Lyman觀測到了.原子能量不連續(xù)地概念也在1914年為Franck和Hertz地實驗直接證實.12天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文2.2.3Sommerfie對Bohr模型地推廣在量子論發(fā)展初期,大家地研究對象地自由度都是一維地,以諧振子為代表.Planck給出地動量量子化條件為dpdq nh而Sommerfie將Planck積分改寫為如下形式[6]：pidqnihi即作用量地線積分.并將其應(yīng)用到了解決氫原子問題上：Jpd2pnhJrprdrnrh進而可得到氫原子地能級公式：22me422me4Enr)2h2n2h2(n上式中nnrn,此公式顯然與圓軌道時一樣(半長軸能級簡并所致).我們知道對于相對論性氫原子 ,有24m0e2(1E2)JrJ24e2m0cc2E(2m0E2)c量子化：JWnhdJrWnrhdrr則式(2.2.3-6)變?yōu)?1E2)22m0cnrnEE22(2)2m0cm0c

(2.2.3-1)(2.2.3-2)(2.2.3-3)(2.2.3-4)(2.2.3-5)(2.2.3-6)(2.2.3-7)(2.2.3-8)上式中e21,稱為精細結(jié)構(gòu)常數(shù).現(xiàn)對式(2.2.3-8)左端以為小參量做展開：hc13713天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文22E左端n*nrn(12n2)n(12nn)式中n.同時令E*,則式右端改寫,nnrm0c2(2.2.3-8)為右端

（1 E) 1（-1 E）(1 E)2 1于是n1(1 E)2 1由上式反解出E,展開到 4項：1112342234E2412(1)422n8n2nnn8n1n2即E2m0c22m0e4(13)En[12(13)](2.2.3-9)2n22n3n4nnn4n式中2m0c222m0e4Enh2n22n2為非相對論性氫原子地能級 .Sommerfie地精細結(jié)構(gòu)能級得到 F.Paschen測量工作地支持.2.2.4Bohr理論地意義Bohr理論取得很大成功,首次打開了人們認識原子結(jié)構(gòu)地大門,他所存在地問題和局限性也逐漸為人們所發(fā)現(xiàn).首先,Bohr理論雖然成功地說明氫原子光譜地規(guī)律性,但是對于復(fù)雜原子光譜,甚至對氦原子光譜,Bohr理論就遇到了極大地困難,不但定量上無法處理,甚至在原則上就有問題.在光譜學(xué)中,除了譜線地波長(頻率)之外,還有一個重要地觀測量,即譜線地(相對)強度.這個問題,在Bohr理論中雖然借助于對應(yīng)原理也得到了一些有價值地結(jié)果,但卻不能提供系統(tǒng)解決它地方法.此外,Bohr理論只能處理簡單地周期運動,而不能處理非束縛態(tài)問題,例如,散射.再其次,從理論體系上講,Bohr提出地原子能量不連續(xù)概念和角動量量子化條件等,與經(jīng)典力學(xué)是不相容地,多少帶有人為地性質(zhì),并未從根本上解決不連續(xù)性得本質(zhì) .在今天看來,Bohr地量子論已經(jīng)為量子力學(xué)所替代 .但是Bohr提出地一些最基本概念 (原子定態(tài)能量地量子化,量子躍遷概念,頻率條件等)至今仍然是正確地,并在量子力學(xué)中被保留了14天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文下來.而且Bohr地深刻思想,在很長一段時間內(nèi),對量子力學(xué)地建立和對近代物理地發(fā)展都有重要地影響.提別對應(yīng)原理地思想,作為經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)地橋梁,在量子力學(xué)建立地過程中起過積極地作用.所以有人稱Bohr地量子論為“對應(yīng)原理地量子力學(xué)”(TheQuantumMechanicsoftheCorrespondencePrinciple)而.Heisenberg地矩陣力學(xué)地提出,可以認為是Bohr對應(yīng)源流地邏輯上發(fā)展地結(jié)果.2.3J.Franck-----G.Hertz實驗在Bonr理論發(fā)表地第二年,即1914年,J.Franck和G.Hertz用慢電子轟擊汞蒸氣原子地方法,發(fā)現(xiàn)原子吸收能量是不連續(xù)地,從而直接地證明了原子能級地存在[7].為此,兩人分享了1925地Nobel物理學(xué)獎.2.3.1實驗原理根據(jù)Bohr理論,原子只能較長久地停留在一些穩(wěn)定狀態(tài) (即定態(tài)),其中每一狀態(tài)對應(yīng)一定地能量,其數(shù)值是彼此分立地.當原子在能級間進行躍遷時將要吸收或者輻射一定頻率地光子 .因此原子與具有一定能量地電子發(fā)生碰撞時 ,便可以使原子由低能級躍遷到高能級 .設(shè)原子地第一激發(fā)態(tài)和基態(tài)地能量分別為 E2和E1,初速度為零地電子在電位差為 U0地電場作用下獲得地能量為 eU0,當電子和原子發(fā)生碰撞時 ,如果滿足eU0 1mev2E2E12則原子將從電子吸收能量而從基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài) ,相應(yīng)地電位勢U0就稱為原子地第一激發(fā)電位.電子由熱陰極發(fā)出,在加速電壓UGK地作用下,向柵極方向加速運動 ,并能穿過柵網(wǎng),繼續(xù)向極板運動.如果電子能量較大,便能克服減速電壓UAG地作用而到達極板,形成板流IP,并為電流計PA所檢出.這時IP隨UGK地增長規(guī)律類似于真空管地伏安特性 ,見圖3.3.1-2.15圖2.3.1-1 實驗裝置 圖2.3.1-2 實驗數(shù)據(jù)天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文圖2.3.1-1實驗裝置圖2.3.1-2實驗數(shù)據(jù)Fig.2.3.1-1ExperimentaldeviceFig.2.3.1-2Experimentaldata2.3.2數(shù)據(jù)分析電子在加速運動過程中必將與汞原子發(fā)生碰撞 ,如果碰撞之前電子地能量小于汞原子第一激發(fā)電位U0所對應(yīng)地能量(對于汞原子U04.9V),則它們之間地碰撞是彈性地,這時電子損失能量是很小地.如果電子地能量達到了eU0,那么電子與原子之間將發(fā)生非彈性碰撞.在碰撞過程中,電子地能量傳遞給汞原子 ,假設(shè)這種碰撞發(fā)生在柵極附近 ,那些因碰撞而損失了能量地電子,在穿過柵極后將無力克服減速電壓 UAG而到不了極板,從而使板流減小,曲線開始下降.隨著UGK地增加,電子與原子地非彈性碰撞將向陰極方向移動,經(jīng)碰撞而損失能量地電子奔向柵極地剩余路程上又得到加速,以致在穿過柵極之后有足夠地能量來克服減速電壓而到達極板,所以板流IP又將隨UGK地增加而升高.如果UGK地增加使得電子在達到柵極前其能量再一次達到eU0,則電子與汞原子將再次發(fā)生非彈性碰撞,造成IP地又一次下降.在UGK較高地情況下,電子在向柵極飛奔地路程上,將于汞原子發(fā)生多次彈性碰撞.每當UGKnU0(n1,2,)時就發(fā)生這種碰撞.在IPUGK曲線上出現(xiàn)圖3.3.1-2所示IP地多次下降.對于汞,曲線上每兩個相鄰地峰值地UGK差值為4.9V5V.即汞原子地第一激發(fā)電位.處于激發(fā)態(tài)地原子是不穩(wěn)定地,它將自發(fā)地躍遷到較低能級,并以光子地形式輻射出能量,如果不存在中間能級,它將直接回到基態(tài),所發(fā)射地光子地譜線與共振譜線相對應(yīng).對于汞原子地第一激發(fā)態(tài),U04.9V,其輻射波長為16天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文eU0 h

hchc 12500Ae U0它與光譜學(xué)中測得地 2537A相對應(yīng).以上討論表明,當原子激發(fā)到不同地狀態(tài)時,將吸收一定數(shù)值地能量,這些數(shù)值是不連續(xù),足見原子內(nèi)部地能量是量子化地,由此直接證明了原子能級地存在.17天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文第三章 deBroglie物質(zhì)波3.1物質(zhì)波概念地提出在Planck與Einstein地光量子論以及Bohr地原子量子論地啟發(fā)之下,考慮到光具有波動與粒子兩重性(兩者通過Eh設(shè)想實物粒子(指h,p聯(lián)系起來),deBroglie根據(jù)類比地原則,靜質(zhì)量m0地粒子)也可能有粒子與波動兩重性,只不過其波動性尚未被人們認識到.這兩方面必有類似地關(guān)系式相聯(lián)系 ,而Planck常量必然出現(xiàn)其中.他提出這個假設(shè),一方面是企圖把實物粒子與光地理論統(tǒng)一起來,另一方面是為了更自然地去理解微觀粒子能量地不連續(xù)性,以克服Bohr量子化條件帶有人為性地缺點.3.1.1deBroglie波長公式deBroglie仔細分析了光地微粒說以及波動說發(fā)展地歷史,并注意到了19世紀Hamilton曾經(jīng)闡述過地幾何光學(xué)與經(jīng)典粒子力學(xué)地相似性,提出了他地物質(zhì)波假說.我們知道,幾何光學(xué)地三條基本定律(在均勻、各向同性介質(zhì)中光線沿直線傳播,反射定律以及折射定律)可以概括為Fermat原理(亦稱最短光程原理),即Bdl0(3.1.1-1)Av式中vc,c光在為真空中地速度,n為介質(zhì)地折射系數(shù).上式還可以表示為nBndl0(3.1.1-2)A上式表示光線從A點到B點實際上所走地路程,比起相鄰地其他可能地路徑來說光程Bndl取極值.A另一方面,按照經(jīng)典粒子力學(xué),在勢場V中運動地一個粒子從A點到B點實際上所走軌道,由Maupertuis地最小作用原理確定,即BB2mEVdl0(3.1.1-3)pdlAA其中m是粒子地質(zhì)量,p是粒子地動量,E是能量.上式表明,粒子從A到B所走地實際軌道地18天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文B“作用積分”(actionintegral) pdl比起相鄰地其他地可能軌道 ,取極值.A根據(jù)上述分析與類比,deBroglie提出,與具有一定能量 E及動量p地粒子相聯(lián)系地波(他稱為“物質(zhì)波”(matterwave))地頻率及波長分別為E(3.1.1-4)hh(3.1.1-5)p上面地式(3.1.1-5)即deBroglie物質(zhì)波理論中大家最熟悉地波長公式,1926年Davisson電子衍射實驗直接地驗證了這一波長公式.Davisson和Germer用具有一定能量(波長)地電子垂直地射向金屬鎳單晶(立方晶)地磨光平面上,觀測不同角度上地反射波強度,他們觀測到與X光相似地衍射現(xiàn)象.3.1.2物質(zhì)波地相速與群速根據(jù)deBroglie假設(shè),與靜質(zhì)量m地粒子想聯(lián)系地物質(zhì)波頻率為,其關(guān)系為Emc2h(3.1.2-1)在粒子地固有參考系內(nèi)E0m0c2h0(3.1.2-2)0為粒子內(nèi)在時鐘頻率.若粒子以速度v運動,則在靜止地參考系內(nèi)觀察m0則,其質(zhì)量m1v22c0(3.1.2-3)v21 c2此外,由于時間膨脹效應(yīng),在觀測者地參考系測量到地粒子地內(nèi)在時鐘頻率應(yīng)變?yōu)?01v2(3.1.2-4)c2聯(lián)立式(3.1.2-3)(3.1.2-3)v2)(3.1.2-5)1(12c由Lorentz變換19天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文vxt 2t0 c1 c2在靜止參考系看來,粒子地內(nèi)在振動e2i0t0成了波動：exp[2i0(tvx)]exp[2i(tvx)]1v2c2c2c2exp[2im(c2tvx)]exp[i9Etpx)](3.1.2-6)hexp[i(tkx)]上式中E mc2 m0c2v21 c2p mv m0vkv21 c2則相速為c2v相 c (3.1.2-7)k v群速度為dddv(3.1.2-8)dkvdvdk3.2相位一致性定律盡管今天人們認為deBroglie最大地貢獻在于提出了物質(zhì)波地概念以及給出了物質(zhì)波地波長公式,但是其本人卻最得意地是他得出地相位一致性定律[8].3.2.1相位一致性定律deBroglie給出地相位一致性定律為：粒子走到任何地方 ,它內(nèi)在震蕩地相位 內(nèi)都與傳到哪里相位波地相位 波一致,簡單證明如下：20天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文內(nèi)21tvx2)2(1vx2)t2(1v2波2(t2)tctcc利用式(3.1.2-5)易得內(nèi) 波 (3.1.2-8)3.2.2量子化條件新含義deBroglie用他地相位一致性定律給予了Bohr量子化條件新地含義.若設(shè)想粒子繞一圓形軌道運動,設(shè)O點為粒子與相位波地共同起點,點P為圓周上別與O地一點,當粒子與相位波同時從O點出發(fā),因為相位波地相速度 v相比粒子地速度v要大地多,相位波多走一圈后趕上粒子 ,它們在時間重新在P點相遇.而時間與粒子繞一圈地時間T地關(guān)系為c2v(T)v相v即v2c22Tv1(3.2.2-1)c2要求P點內(nèi)在震蕩地相位為2地整數(shù)倍,即內(nèi)212n(3.2.2-2)再根據(jù)相位一致性原理,相位波在 P點相位也是2n .這就意味著相位波繞圓形軌道一周地相位差是2 地整數(shù)倍.進而就是說要求軌道地周長 2R是相位波波長 2 h地整數(shù)倍.k p而這正是經(jīng)典力學(xué)地駐波條件 .就這樣為了Bohr量子化條件一個直觀地解釋 .deBroglie把原子中地定態(tài)(stationarystate)與駐波(stationarywave)聯(lián)系起來,即把粒子能量地量子化與有限空間中駐波地頻率以及波長地不連續(xù)性聯(lián)系起來 .雖然從爾后建立起來地量子力學(xué)地觀點來說,這種聯(lián)系還有不確切之處,能處理地問題也很有局限性,但是他地物理圖像時很有啟發(fā)性地.例如,在氫原子中做穩(wěn)定地圓軌道運動地電子所對應(yīng)地電子所對應(yīng) deBroglie駐波地一種波形,如下圖3.2.2-121天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文圖3.2.2-1圓軌道上地駐波圖3.2.2-2方勢阱內(nèi)地駐波Fig.3.2.2-1StandingonacircularorbitFig.3.2.2-2Standingwavesquarepotentialwell駐波條件要求：波繞原子核一周后應(yīng)光滑地銜接起來,否則疊加起來地波將會由于干涉而相消.這就對于軌道有所限制,即圓軌道地周長應(yīng)該是波長地整數(shù)倍：2rn,n1,2,3,或2r(3.2.2-3)n再利用deBroglie關(guān)系h,即可得到pnh,因而粒子地角動量為p2rJrpnh(3.2.2-4)n2這正是Bohr地量子化條件,這樣就從物質(zhì)波地駐波條件比較自然地得出了角動量地量子化條件.又如,在無限深方勢阱中運動地粒子(如圖3.2.2-2),相應(yīng)地物質(zhì)波限制在0,a區(qū)域中傳播.在此區(qū)域之外,以及x0和a兩個端點上,波幅應(yīng)為0,即x0和a是波地節(jié)點,這與兩端固定地弦振動相似,按駐波條件na,n1,2,3,2即n2a(3.2.2-5)n可見駐波地波長是不連續(xù)變化地.再利用deBroglie關(guān)系式,即可得出粒子地動量及能量地可能取值hnhppn(3.2.2-6)n2a22天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文22222EEnpnnh22ma2n2(3.2.2-7)2m8ma它們都是不連續(xù)地,由此人們可以自然地理解 ,為什么束縛粒子地能量是量子化地 .23天津理工大學(xué) 2013屆本科畢業(yè)論文第四章 Schr?dinger方程地提出與矩陣力學(xué)地建立4.1波動力學(xué)地建立

①在了解了deBroglie地物質(zhì)波理論后,Schr?dinger對其才能很是贊賞.但是我們知道,對于波地討論和研究,我們必須得有一個波動方程,而Schr?dinger正是憑借著天才地物理才干找出了物質(zhì)波地波動方程,也就是今天我們所說地Schr?dinger方程.而Schr?dinger方程地提出,標志著波動力學(xué)地建立.4.1.1Schr?dinger方程任何重大地成就都不是能夠輕易得到地 ,Schr?dinger構(gòu)建其方程地道路也不是一帆風(fēng)順地,起初他企圖建立相對論性地波動方程 ,但是由于當時他還不知道自旋地存在而以失敗告終 ,后來他考慮非相對論性地波動方程,不到半年時間里他連續(xù)發(fā)表了題為《作為本征值問題地量子化》(QuantisierungalsEigenwertproblem)地論文地四部分,奠定了波動力學(xué)地基礎(chǔ)[9].Schr?dinger從經(jīng)典地Hamilton-Jacobi方程出發(fā)：H(q,W) Eq (4.1.1-1)做變量代換W ln (4.1.1-2)即H(q, ) Eq如果H(p,q)p2()則應(yīng)有2mVq,( )2 2m2(EV)20 (4.1.1-3)對空間取積分變分①從時間上講，矩陣力學(xué)的建立要早于波動力學(xué)，在本文中為了與上文的連接更順暢，故而先介紹波動力學(xué)。24天津理工大學(xué)2013屆本科畢業(yè)論文Jd[()22m2(EV)2]0(4.1.1-4)在上式d為體積元.做分部積分,設(shè)在無窮遠處足夠快地趨于0,使得在無窮遠處地面積分趨于0,則有J2d[22m2(EV)]0若為任意,則上式即為：22m(4.1.1-5)2(EV)0上式即為今天我們所熟識地定態(tài)Schr?dinger方程.對于氫原子問題,取球坐標(r,,),若對其分離變量,則角變量部分地波函數(shù)是球諧函數(shù),徑向函數(shù)則滿足如下微分方程222[2m2(Ee2)l(l21)]0rrrrr(l0,1,2,...)由邊界條件(無窮遠處 0足夠快)自然得出：0地本征值是連續(xù)地0地本征值為離散地EEnme422n2

(4.