小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之集合法

------------------------------------------------------------------------小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之集合法小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之集合法我們在研究一些問題時(shí)，可以把某一確定范圍內(nèi)的事物的全體看作是一個(gè)集合。例如，所有自然數(shù)就可以看作是一個(gè)集合。在小學(xué)一般用畫圖的方式表示集合，這種圖叫作韋恩圖（韋恩是英國數(shù)學(xué)家）。運(yùn)用集合的思想，利用韋恩圖進(jìn)行解題的方法叫做集合法。例1五年級(jí)一班有48人。在午后自習(xí)時(shí)，做完語文作業(yè)的有37人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人。語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？（適于三年級(jí)程度）解：由題意可知，做完語文作業(yè)的37人中有一部分只做完語文作業(yè)，另一部分既做完語文作業(yè)又做完數(shù)學(xué)作業(yè)。做完數(shù)學(xué)作業(yè)的42人中也是有一部分只做完數(shù)學(xué)作業(yè)，另一部分既做完數(shù)學(xué)作業(yè)又做完語文作業(yè)。所以，如果我們用A圓圈表示做完語文作業(yè)的人數(shù)，用B圓圈表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，則兩個(gè)圓圈相交的陰影部分就表示語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)（如圖20-1）。從圖中可以看出，語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)等于A圓圈的人數(shù)加上B圓圈的人數(shù)減去全班的總?cè)藬?shù)。37+42-48=31（人）答：語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有31人。例2有110名學(xué)生參加書法和繪畫比賽，參加書法比賽的有72人，既參加書法比賽又參加繪畫比賽的有24人。參加繪畫比賽的有多少人？（適于三年級(jí)程度）解：可通過畫如圖20-2的韋恩圖來分析題意。A圓圈表示參加書法比賽的人數(shù)，B圓圈表示參加繪畫比賽的人數(shù)，兩圓圈相交的陰影部分表示既參加書法比賽又參加繪畫比賽的人數(shù)。由圖可知，參加繪畫比賽的人數(shù)應(yīng)等于總?cè)藬?shù)減去只參加書法比賽的人數(shù)。而只參加書法比賽的人數(shù)等于A圓圈的人數(shù)減去相交陰影部分的人數(shù)。只參加書法比賽的人數(shù)：72-24=48（人）參加繪畫比賽的人數(shù)：110-48=62（人）答略。（適于六年級(jí)程度）解：參加徑賽的有：根據(jù)題意作圖20-3從圖中可以看出，只參加田賽的人數(shù)是：276-230=46（人）兩種活動(dòng)都參加的人數(shù)是：184-46=138（人）答略。*例4某班45名學(xué)生期末考試的成績?nèi)缦拢赫Z文90分以上的有14人，數(shù)學(xué)90分以上的有25人，語文和數(shù)學(xué)都不足90分的有17人。求語文、數(shù)學(xué)都在90分以上的有多少人？（適于五年級(jí)程度）解：作圖20-4。由圖可看出，語文、數(shù)學(xué)一門或兩門在90分以上的人數(shù)是：45-17=28（人）只語文在90分以上的人數(shù)是：28-25=3（人）只數(shù)學(xué)在90分以上的人數(shù)是：28-14=14（人）語文、數(shù)學(xué)都在90分以上的人數(shù)是：28-（14+3）=11（人）答略。*例5學(xué)校氣象小組有50名成員，其中負(fù)責(zé)觀測的有19人，負(fù)責(zé)記錄的有15人，既負(fù)責(zé)觀測又負(fù)責(zé)記錄的有7人。問：（1）只負(fù)責(zé)記錄，不負(fù)責(zé)觀測的有多少人？（2）只負(fù)責(zé)觀測，不負(fù)責(zé)記錄的有多少人？（3）氣象小組有多少人負(fù)責(zé)其他工作？（適于高年級(jí)程度）解：作圖20-5。用A圓圈表示負(fù)責(zé)觀測的人數(shù)，用B圓圈表示負(fù)責(zé)記錄的人數(shù)，則兩圓圈相交的陰影部分就表示既負(fù)責(zé)觀測又負(fù)責(zé)記錄的人數(shù)。由圖20-5可知，只負(fù)責(zé)記錄，不負(fù)責(zé)觀測的人數(shù)，等于負(fù)責(zé)記錄的人數(shù)減去既負(fù)責(zé)觀測又負(fù)責(zé)記錄的人數(shù)；只負(fù)責(zé)觀測，不負(fù)責(zé)記錄的人數(shù)，等于負(fù)責(zé)觀測的人數(shù)減去既負(fù)責(zé)觀測又負(fù)責(zé)記錄的人數(shù)；氣象小組負(fù)責(zé)其他工作的人數(shù)，等于總?cè)藬?shù)減去負(fù)責(zé)觀測和負(fù)責(zé)記錄的人數(shù)，再加上既負(fù)責(zé)觀測又負(fù)責(zé)記錄的人數(shù)。（1）只負(fù)責(zé)記錄，不負(fù)責(zé)觀測的人數(shù)：15-7=8（人）（2）只負(fù)責(zé)觀測，不負(fù)責(zé)記錄的人數(shù)為：19-7=12（人）（3）負(fù)責(zé)其他工作的人數(shù)為：50-19-15+7=23（人）答略。*例6某班有45名學(xué)生。據(jù)統(tǒng)計(jì)，喜愛足球、籃球、排球這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的各有26人，喜愛其中兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的分別有13、14、15人。三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜愛的有多少人？（適于高年級(jí)程度）解：用A圓圈表示喜愛足球的人數(shù)，B圓圈表示喜愛籃球的人數(shù)，C圓圈表示喜愛排球的人數(shù)。則A、B兩圓圈相交的部分表示既喜愛足球又喜愛籃球的人數(shù)；B、C兩圓圈相交的部分表示既喜愛籃球又喜愛排球的人數(shù)；A、C兩圓圈相交的部分表示既喜愛足球又喜愛排球的人數(shù)；A、B、C三個(gè)圓圈相交的部分表示三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜愛的人數(shù)（圖20-6）。由圖20-6可知，三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜愛的人數(shù)應(yīng)等于班級(jí)的總?cè)藬?shù)減去喜愛足球、籃球、排球的人數(shù)，再加上既喜愛足球又愛籃球、既喜愛籃球又喜愛排球、既喜愛足球又喜愛排球的人數(shù)。45-26×3+（13+14+15）=45-78+42=45+42-78=87-78=9（人）答：三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜愛的有9人。*例755名學(xué)生中，有18人參加合唱隊(duì)，25人參加美術(shù)組，17人參加運(yùn)動(dòng)隊(duì)，參加合唱隊(duì)與美術(shù)組的共有36人，沒有人既參加合唱隊(duì)又參加運(yùn)動(dòng)隊(duì)，什么組都沒有參加的有5人，請(qǐng)回答：（1）既參加合唱隊(duì)又參加美術(shù)組的有多少人？（2）只參加合唱隊(duì)的有多少人？（3）只參加美術(shù)組的有多少人？（4）只參加運(yùn)動(dòng)隊(duì)的有多少人？（5）既參加運(yùn)動(dòng)隊(duì)又參加美術(shù)組的有多少人？（適于高年級(jí)程度）解：作圖20-7。因?yàn)閰⒓雍铣?duì)與美術(shù)組的共有36人，所以：（1）既參加合唱隊(duì)又參加美術(shù)組的人數(shù)是：18+25-36=7（人）（2）只參加合唱隊(duì)的人數(shù)是：18-7=11（人）現(xiàn)在還不能求出只參加美術(shù)組的人數(shù)，先求出去掉既參加美術(shù)組又參加合唱隊(duì)的7人，美術(shù)組剩下的人數(shù)是：25-7=18（人）因?yàn)樵?5名學(xué)生中，參加美術(shù)組、運(yùn)動(dòng)隊(duì)的總?cè)藬?shù)是25+17=42（人），只參加合唱隊(duì)的有11人，什么組都沒有參加