2022-2023學年上海中大高級中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2022-2023學年上海中大高級中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）”是“雙曲線C的漸近線方程為y=”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】判斷充分與必要的條件關系，關鍵是看題設與條件能否互推，此題雙曲線C的漸近線方程為的雙曲線是不唯一的，從而進行求解．【解答】解：∵雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）”根據(jù)雙曲線C的漸近線的定義可得：y=；∴雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）?“雙曲線C的漸近線方程為y=”；若雙曲線C的漸近線方程為y==±x；∴雙曲線C的方程還可以為：，∴“雙曲線C的漸近線方程為y=”推不出雙曲線C的方程為；∴雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）”是“雙曲線C的漸近線方程為y=”的充分不必要條件；故選A．【點評】此題是一道基礎題，主要考查充分條件和必要條件的定義，不過這類基礎題也是高考中經(jīng)常考的．2.已知a，β，是三個不同的平面,l，m是兩條不同的直線，則下列命題一定正確的是(A)若l丄a,l//β則a//β(B)若丄a，丄β，則a//β(C)若l//m且la，mβ，l//β，m//a，則a//β(D)若l，m異面,且la，mβ，l//β，m//a，則a//β參考答案：D略3.若直線截得的弦長為4，則的最小值為

A．

B．

C．3

D．參考答案：A4.已知,命題函數(shù)是的增函數(shù),命題

的值域為,且是假命題,是真命題,則實數(shù)的范圍是

（

）

A．

B．

C.

D．參考答案：C5.已知是函數(shù)的零點，若的值滿足（

）A．

B．

C．

D．的符號不能確定參考答案：C略6.設函數(shù)f（x）=sin（2）+cos（2），且其圖象關于直線x=0對稱，則A．y=f（x）的最小正周期為，且在（0，）上為增函數(shù)B．y=f（x）的最小正周期為，且在（0，）上為增函數(shù)C．y=f（x）的最小正周期為，且在（0，）上為減函數(shù)D．y=f（x）的最小正周期為，且在（0，）上為減函數(shù)參考答案：C7.數(shù)列{an}的前n項和為sn，sn=an2+bn+c（a，b，c∈R，n∈N+）則“c=0”是{an}為等差數(shù)列的(

) A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：B考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，從而得到答案．解答： 解：當c=0時，an=Sn﹣Sn﹣1=（an2+bn）﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）]=（an2+bn）﹣（an2﹣2an+a+bn﹣b）=2an﹣a+b．∴a2﹣a1=（4a﹣a）﹣（2a﹣a）=2a，∴c=0時，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，是充分條件；若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則sn=na1+=n2+（a1﹣）n=an2+bn+c，∴c=0，是必要條件，故選：B．點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題要認真審題，仔細解答．8.已知函數(shù)的導函數(shù)圖象如圖所示，若為銳角三角形，則一定成立的是A． B．C． D．

參考答案：D略9.設a=2ln、b=log2、c=（）﹣0.3，則（）A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c參考答案：D【考點】4M：對數(shù)值大小的比較．【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵a=2ln=∈（0，1），b=log2＜0，c=（）﹣0.3=20.3＞1．∴c＞a＞b．故選：D．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．10.不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為

.參考答案：，則，.

12.如圖，圓是的外接圓，過點的切線交的延長線于點，，則的長為

．參考答案：13.對于，當非零實數(shù)a，b滿足，且使最大時，的最小值為

.參考答案：-214.△的三個內(nèi)角、、所對邊的長分別為、、，已知，則=

.參考答案：15.在平面直角坐標系中，定義d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），之間的“折線距離”．在這個定義下，給出下列命題：①到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個正方形；②到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個圓；③到M（﹣1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”之和為4的點的集合是面積為6的六邊形；④到M（﹣1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”差的絕對值為1的點的集合是兩條平行線．其中正確的命題是．（寫出所有正確命題的序號）參考答案：①③④【考點】兩點間距離公式的應用．【分析】先根據(jù)折線距離的定義分別表示出所求的集合，然后根據(jù)集合中絕對值的性質(zhì)進行判定即可．【解答】解：到原點的“折線距離”等于1的點的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一個正方形，故①正確，②錯誤；到M（﹣1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”之和為4的點的集合是{（x，y）||x+1|+|y|+|x﹣1|+|y|=4}，故集合是面積為6的六邊形，則③正確；到M（﹣1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”差的絕對值為1的點的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=1}，集合是兩條平行線，故④正確；故答案為：①③④．16.已知為非零向量，且夾角為，若向量，則

參考答案：【知識點】平面向量數(shù)量積的運算F3【答案解析】解析：解：因為為非零向量，且夾角為，向量=，所以||2=（）2=（）2+（）2+2=1+1+2cos=1+1+1=3，所以||=；故答案為：．【思路點撥】將向量=平方，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積解17.若，則的最小值為

參考答案：4，當且僅當，即，即時取等號，所以最小值為4.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a、b、c成等比數(shù)列，c=bsinC﹣ccosB．（Ⅰ）求B的大??；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的周長和面積．參考答案：【考點】HP：正弦定理；HT：三角形中的幾何計算．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，由正弦定理可得sinC=sinBsinC﹣sinCcosB，進而變形可得1=sinC﹣cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin（B﹣），即可得B﹣的值，計算可得B的值，即可得答案；（Ⅱ）由余弦定理可得（a+c）2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比數(shù)列，進而可以變形為12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4，進而計算可得△ABC的周長l=a+b+c，由面積公式S△ABC=acsinB=b2sinB計算可得△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，若c=bsinC﹣ccosB，由正弦定理可得sinC=sinBsinC﹣sinCcosB，又由sinC≠0，則有1=sinC﹣cosB，即1=2sin（B﹣），則有B﹣=或B﹣=，即B=或π（舍）故B=；（Ⅱ）已知b=2，則b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比數(shù)列，即b2=ac，則有12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4，所以△ABC的周長l=a+b+c=2+4=6，面積S△ABC=acsinB=b2sinB=3．【點評】本題考查正弦、余弦定理的應用，關鍵利用三角函數(shù)的恒等變形正確求出B的值．19.已知數(shù)列{an}的前n項和為，且，.（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且，求實數(shù)a的值；（2）若數(shù)列{an}滿足，且，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（3）設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，試探究當正實數(shù)a滿足什么條件時，數(shù)列{an}具有如下性質(zhì)M：對于任意的，都存在使得，寫出你的探求過程，并求出滿足條件的正實數(shù)a的集合.參考答案：（1）3；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）首先根據(jù)，，求出，再計算即可.（2）首先由得到，由且，得到數(shù)列{an}的通項公式，即可證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列.（3）有題意得：，然后對分類討論，可知當，，時，數(shù)列{an}不具有性質(zhì).當時，對任意，，都有，即當時，數(shù)列{an}具有性質(zhì).【詳解】（1）設等差數(shù)列{an}的公差為，由，，得，解得，則，所以.（2）因為，所以，解得，因為，，，當為奇數(shù)時，.當為偶數(shù)時，.所以對任意，都有.當時，，即數(shù)列{an}是等差數(shù)列.（3）解：由題意，{an}是等比數(shù)列，.①當時，，所以對任意，都有，因此數(shù)列{an}不具有性質(zhì).②當時，，.所以對任意，都有，因此數(shù)列{an}不具有性質(zhì).③當時，.，.?。ū硎静恍∮诘淖钚≌麛?shù)），則，.所以對于任意，.即對于任意，都不在區(qū)間內(nèi)，所以數(shù)列{an}不具有性質(zhì).④當時，，且，即對任意，，都有，所以當時，數(shù)列{an}具有性質(zhì)M.綜上，使得數(shù)列{an}具有性質(zhì)M的正實數(shù)的集合為.【點睛】本題第一問考查等差數(shù)列的性質(zhì)，第二問考查等差數(shù)列的證明，第三問考查等差和等比數(shù)列的綜合應用，屬于難題.20.某園林局對1000株樹木的生長情況進行調(diào)查，其中杉樹600株，槐樹400株．現(xiàn)用分層抽樣方法從這1000株樹木中隨機抽取100株，杉樹與槐樹的樹干周長(單位：cm)的抽查結(jié)果如下表：樹干周長(單位：cm)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)杉樹61921x槐樹420y6(1)求x，y值及估計槐樹樹干周長的眾數(shù)；(2)如果杉樹的樹干周長超過60cm就可以砍伐，請估計該片園林可以砍伐的杉樹有多少株？(3)樹干周長在30cm到40cm之間的4株槐樹有1株患蟲害，現(xiàn)要對這4株樹逐一進行排查直至找出患蟲害的樹木為止．求排查的樹木恰好為2株的概率．參考答案：略21.（本小題滿分12分）已知橢圓C：的離心率為，長軸長為8.。（I）求橢圓C的標準方程；（II）若不垂直于坐標軸的直線經(jīng)過點P（m，0），與橢圓C交于A，B兩點，設點Q的坐標為（n，0），直線AQ，BQ的斜率之和為0，求的值。參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）直接由題意和橢圓的概念可列出方程組，進而可求出橢圓的標準方程；（Ⅱ）根據(jù)已知設出直線方程為（），并記，于是聯(lián)立直線與橢圓的方程并整理可得一元二