2022-2023學(xué)年湖南省郴州市匯文中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省郴州市匯文中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.閱讀如下程序，若輸出的結(jié)果為，則在程序中橫線?處應(yīng)填入語句為（

）（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：B略2.已知點滿足若的最小值為3，則的值為高考資源網(wǎng)w。w-w*k&s%5￥uA．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C由各選項知a取正值，設(shè)，結(jié)合圖形易得當(dāng)直線過點時，取得最小值，故，選C.3.過拋物線y2=4ax（a＞0）的焦點F作斜率為﹣1的直線l，l與離心率為e的雙曲線(b＞0)的兩條漸近線的交點分別為B，C．若xB，xC，xF分別表示B，C，F(xiàn)的橫坐標(biāo)，且，則e=（）A．6 B． C．3 D．參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】過拋物線y2=4ax（a＞0）的焦點F（a，0），所以直線y=﹣x+a與y=±交于B、C兩點，求出B、C的橫坐標(biāo)，再根據(jù)且，建立關(guān)于a、b的等式解出b2=2a2，可得此雙曲線的離心率．【解答】解：過拋物線y2=4ax（a＞0）的焦點F作斜率為﹣1的直線l，直線方程為y=﹣x+a，∵雙曲線的漸近線為y=±x，∴直線y=﹣x+a與漸近線的交點橫坐標(biāo)分別為xB=，xB=，xF=a，∵，∴a2=﹣，解得2a2=b2，∴e===，故選：D【點評】本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率．著重考查了直線的交點坐標(biāo)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．4.化簡：

A.

B.

C.

D.參考答案：A5.已知圓的方程，若拋物線過點A(0，－1)，B(0,1)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點軌跡方程是()參考答案：C6.某學(xué)校隨機抽查了本校20個同學(xué)，調(diào)查他們平均每天在課外從事體育鍛煉的時間（分鐘），根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖，以5為組距將數(shù)據(jù)分為八組，分別是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的頻率分布直方圖如圖所示，則原始的莖葉圖可能是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】頻率分布直方圖；莖葉圖．【分析】由頻率分布直方圖可得，[25，30），[30，35）的頻率相同，頻數(shù)為3，即可得出結(jié)論．【解答】解：由頻率分布直方圖可得，[25，30），[30，35）的頻率相同，頻數(shù)為3，故選：B．7.已知全集U=R，集合，則A.(－∞,2) B.(－∞,－2]∪[2,+∞) C.(－∞,－2)∪(2,+∞) D.[－2,2]參考答案：C8.已知，，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實數(shù)），則

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略10.已知函數(shù)f（x）=，且f（x0）=1，則x0=（）A．0 B．4 C．0或4 D．1或3參考答案：C【考點】導(dǎo)數(shù)的運算．【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】由f（x0）=1，得到x0的兩個方程解之即可．【解答】解：當(dāng)x≤1時，由得x0=0；當(dāng)x＞1時，由f（x0）=log3（x0﹣1）=1得x0﹣1=3，則x0=4，且兩者都成立；故選：C．【點評】本題考查了已知分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量；考查了討論的思想；注意分段函數(shù)的一個函數(shù)值可能對應(yīng)多個自變量．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如右圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果為

．參考答案：12.設(shè)函數(shù)，若恒成立，則t的取值范圍是

。參考答案：13.若，則k＝________．參考答案：答案：

14.函數(shù)，的最小值為________.參考答案：5【分析】用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x），結(jié)合基本不等式求出f（x）的最值即可.【詳解】此時時取等，但，所以，當(dāng)時，有最小值為5，故答案為：5.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與計算能力，是綜合性題目．15.如圖，在△ABC中，O為BC中點，若AB=I，，則______________。參考答案：16.若，則實數(shù)的取值范圍是

。參考答案：17.若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.參考答案：0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）三棱錐,底面為邊長為的正三角形,平面平面,,為上一點,,為底面三角形中心.(Ⅰ)求證∥面;(Ⅱ)求證:;(Ⅲ)設(shè)為中點,求二面角的余弦值.參考答案：證明:(Ⅰ)連結(jié)交于點,連結(jié).。。。1分為正三角形的中心,∴,且為中點.又,∴∥,

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分平面,平面∴∥面

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分(Ⅱ),且為中點,∴,又平面平面,∴平面,

。。。。。。。。。。。5分由(Ⅰ)知,∥,∴平面,∴

。。。。。。。。。。。。6分連結(jié),則,又,∴平面,∴

。。。。。。。。。。8分(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,兩兩互相垂直,且為中點,所以分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則

∴

。。。。。。。。。。。。。。10分設(shè)平面的法向量為,則,令,則

。。。。。。。。。。。。。。。。11分由(Ⅱ)知平面,∴為平面的法向量,∴,。。。。。。。。。。。13分由圖可知,二面角的余弦值為

.。。。。。14分19.（10分）學(xué)校要建一個面積為的長方形游泳池，并且在四周要修建出寬為和的小路（如圖所示）。問游泳池的長和寬分別為多少米時，占地面積最?。坎⑶蟪稣嫉孛娣e的最小值。參考答案：設(shè)游泳池的長為，則游泳池的寬為,

又設(shè)占地面積為，…2分依題意，得………8分當(dāng)且僅當(dāng),即時,取“=”.答：游泳池的長為,寬為時，占地面積最小為648………10分略20.已知等差數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，a5=10，S7=56．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=an+（），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．參考答案：考點：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列的前n項和公式、通項公式，求出公差和首項，再求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）由（1）求出bn，由分組求和法和等差、等比數(shù)列的前n項和公式求出Tn．解答： 解：（1）由S7=56得=56，則7a4=56，解得a4=8，因為a5=10，所以公差d=a5﹣a4=10﹣8=2，則a4=a1+3d，解得a1=8﹣6=2，所以an=2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）得，bn=an+（）=2n+3n，所以Tn=（2+3）+（4+32）+（6+33）+…+（2n+3n）=（2+4+6+…+2n）+（3+32+33+…+3n）=+=，所以Tn=．點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式，等差、等比數(shù)列的前n項和公式，及數(shù)列的求和方法：分組求和法，屬于中檔題．21.已知函數(shù)f（x）=+x，g（x）=f（x）+lnx，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)a=0時，記h（x）=g（x）﹣x2﹣x（b∈R且b≠0），求h（x）在定義域內(nèi)的極值點；（Ⅲ）?x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜lnx2﹣lnx1成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)恒成立問題．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)a=0時，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值點的關(guān)系，即可求h（x）在定義域內(nèi)的極值點；（Ⅲ）根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=+x，g（x）=+x+lnx，（x＞0）g'（x）=，由g'（x）＞0得，x＞1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由g'（x）＜0得，0＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），遞減區(qū)間為（0，1）；（Ⅱ）當(dāng)a=0時，記h（x）=g（x）﹣x2﹣x=lnx﹣x2，（x＞0），h'（x）=，①當(dāng)b＜0時，h'（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，h（x）在定義域內(nèi)的無極值點；②當(dāng)b＞0時，令h'（x）=0，得x=，則

x（0，\sqrt）\sqrt

（\sqrt，+∞）h'（x）+0﹣h（x）遞增極大值遞減由表格可知：函數(shù)h（x）的極大值點為x=．（Ⅲ）?x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜lnx2﹣lnx1成立，則等價為成立，即，即g（x）=+x+lnx，在x≥1上為增函數(shù)，∴g'（x）=恒成立，即a≤x2+x在[1，+∞）上恒成立，∴a≤2，即實數(shù)a的取值范圍a≤2．【點評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和極值的判斷，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力，綜合性較強，難度較大．22.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1=1，公比q＞0，其前n項和為Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足anbn=n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：（1）∵S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列，∴2（S3+a3）=S2+a2+S1+a1，∴=3a1+2a1q，化為4q2=1，公比