自動控制原理四

第四節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應5/17/20231一、典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應

下圖所示為穩(wěn)定的二階系統(tǒng)的典型結構圖。開環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)傳遞函數(shù)為:-這是最常見的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡化為二階系統(tǒng)。稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。5/17/20232特征根為：，注意：當不同時，（極點）有不同的形式，其階躍響應的形式也不同。它的階躍響應有振蕩和非振蕩兩種情況。特征方程為：⒈當時，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為持續(xù)的等幅振蕩。⒉當時，特征方程有一對實部為負的共軛復根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為衰減的振蕩過程。⒊當時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為非振蕩過程。⒋當時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為非振蕩過程。5/17/20233當輸入為單位階躍函數(shù)時，，有：[分析]：當時，極點為：此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱為無阻尼振蕩圓頻率。5/17/20234兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應階躍響應為：當時，極點為：極點的負實部決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部是振蕩頻率。稱為阻尼振蕩圓頻率。5/17/20235兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應階躍響應函數(shù)為：當時，極點為：5/17/20236兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應當時，極點為：即特征方程為特征方程還可為5/17/20237兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應因此過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應為于是閉環(huán)傳函為：這里，式中5/17/20238

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階躍響應如下表所示：單位階躍響應極點位置特征根阻尼系數(shù)單調上升兩個互異負實根單調上升一對負實重根

衰減振蕩一對共軛復根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應5/17/20239典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應可以看出：隨著的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當時c(t)呈現(xiàn)單調上升運動(無振蕩)?？梢姺从硨嶋H系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。5/17/202310衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標二、典型二階系統(tǒng)的性能指標及其與系統(tǒng)參數(shù)的關系（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程：⒈上升時間：根據定義，當時，。解得：5/17/202311稱為阻尼角，這是由于。衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標5/17/202312衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標⒉峰值時間：當時，整理得：由于出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：其中5/17/202313衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標5/17/202314⒊最大超調量：故：衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標將峰值時間代入5/17/202315衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標5/17/202316衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標⒋調節(jié)時間：可見，寫出調節(jié)時間的表達式是困難的。由右圖可知響應曲線總在一對包絡線之內。包絡線為根據調節(jié)時間的定義，當t≥ts時|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。5/17/202317當t=t’s時，有：由于實際響應曲線的收斂速度比包絡線的收斂速度要快因此可用包絡線代替實際響應來估算調節(jié)時間。即認為響應曲線的包絡線進入誤差帶時，調整過程結束。衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標5/17/202318當較小時，近似?。海宜运p振蕩瞬態(tài)過程的性能指標5/17/202319衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標5/17/202320衰減振幸蕩瞬態(tài)向過程的惜性能指遷標5/前4/北20體2321⒌良振蕩次關數(shù)N：衰減振為蕩瞬態(tài)創(chuàng)過程的熄性能指復標由分析知，在之間，調節(jié)時間和超調量都較小。工程上常取作為設計依據，稱為最佳阻尼常數(shù)。5/4怕/20悔2322非振蕩而瞬態(tài)伐過程寶的性器能指眉標這是一個單調上升的過程。用調整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。利用牛頓迭代公式（二）非振蕩瞬態(tài)過程：⒈對于，極點為：牛頓迭代公式：對其根可迭代求出5/范4/晴20完2323非振蕩卡瞬態(tài)伶過程縮慧的性駐能指裂標在c(t)中，有兩個衰減指數(shù)項，所以是一個單調上升的過程。用調整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。⒉對于，極點為：當時利用舟牛頓碎迭代爽公式華可得當時，，這時可用一階系統(tǒng)來近似5/4該/20固2324非振蕩瞬今態(tài)過程步的性能夾指標5/貪4/小20質2325非振蕩瞬或態(tài)過程興的性能寨指標當時，系統(tǒng)也具有單調非振蕩的瞬間過程，是單調非振蕩的臨界狀態(tài)。在非振蕩過程中，它的最小。通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應時間，即希望希統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0~1之間。而不希望處于過阻尼情況，因為調節(jié)時間過長。但對于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于情況。當時，極點遠離虛軸，且c(t)中包含極點s2的衰減項的系數(shù)小，所以由極點s2引起的指數(shù)項衰減的很快，因此，在瞬態(tài)過程中可以忽略s2的影響，把二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。5/4鑼/20妻2326阻尼系數(shù)是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質。在的情況下瞬態(tài)特性為單調變化曲線，無超調和振蕩，但長。當時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。[總結遞]在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調量大，振蕩次數(shù)多，調節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質差。注意到只與有關，所以一般根據來選擇。越大，（當一定時）為了限制超調量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調量在25%~1.5%之間。5/胞4/歲20嗓2327阻尼哄系數(shù)伍、阻耍尼角杰與最感大超轟調量稠的關猶系zb=cos-1zd%zb=cos-1zd%0.184.26°72.90.6950.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7820.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.155/甚4/圣20歉2328瞬態(tài)題過程廈的性咳能指日標例蕉子[例]：求系統(tǒng)的特征參數(shù)并分析與性能指標的關系：[解]剖：閉環(huán)陜傳遞函筑數(shù)為：時，?？焖傩院?，振蕩加劇；時，下面分析瞬態(tài)性能指標和系統(tǒng)參數(shù)之間的關系：（假設）5/4閱/20聰2329改善辨二階窩系統(tǒng)姐響應悲特性擱的措欺施三、改兩善二階憶系統(tǒng)響權應特性野的措施二階系澇統(tǒng)超調健產生過眉程[0,t1]誤差信甩號為正護，產生駁正向修屬正作用償，以使騙誤差減屋小，但煉因系統(tǒng)屑阻尼系翼數(shù)小，汽正向速奔度大，賠造成響霉應出現(xiàn)恰正向超絞調。[t1,t2]誤差搜信號橫為負，產生已反向芝修正困作用槽，但理開始單反向鞠修正侄作用暫不夠學大，揚經過墳一段剩時間用才使單正向節(jié)速度巴為零摔，此遙時輸邊出達概到最陵大值嚴。[t2,t3]誤差慕信號圾為負，此時反竿向修正罷作用，驅大，使訪輸出返僑回過程殃中又穿河過穩(wěn)態(tài)威值，出根現(xiàn)反向辦超調。[t3,t4]誤差北信號散為正，產生包正向叛修正克作用蕩，但凳開始楊正向補修正專作用鏟不夠買大，測經過春一段窗時間血才使惜反向酒速度統(tǒng)為零隆，此等時輸比出達爺?shù)椒炊断蜃顕诖笾当K。5/4撒/20廟2330改善炊二階甩系統(tǒng)妻響應伶特性師的措狀施二階系句統(tǒng)超調累產生原宿因[0,t1]正向修巧正作用筋太大，折特別在房誠靠近t1點時。[t1,t2]反向榜修正色作用烘不足復。減小至二階富系統(tǒng)反超調惕的思女路[0徹,t1]減小妖正向否修正抖作用晉。附完加與乘原誤虜差信拼號相波反的菌信號反。[t1,t2]加大漂反向遠修正軌作用令。附尺加與敘原誤瀉差信歷號同談向的拾信號扁。[t2,t3]減小反挪向修正懷作用。離附加與恥原誤差振信號相羨反的信定號。[t3,t4]加大差正向蠅修正兔作用慘。附胖加與職原誤偶差信況號同他向的童信號堆。即在酬[0巧,t2]內附州加一崖個負俗信號若，在帽[t2,t4]內附脫加一狗個正犧信號勵。減去刊輸出幫的微撐分或加上狠誤差煤的微碑分都具陰有這紀種效沈果。5/4殖/20噴2331改善二睬階系統(tǒng)聾響應特流性的措漠施a.輸出量滾的速度拜反饋控膛制--+-b.誤差渡的比午例+欄微分俱控制將輸抱出量粗的速紙度信甩號c’兩(t仇)采用負焦反饋形須式反饋床到輸入墳端并與風誤差信趣號e(t們)比較著，構卷成一朽個內委反饋期回路漁。簡驚稱速朗度反朝饋。以誤干差信忠號e(t刻)與誤潮差信雞號的棟微分儀信號e’(令t)的和家產生免控制蒙作用孕。簡株稱PI控制謊。又脆稱微滑分順堵饋為了廢改善但系統(tǒng)覽性能利而改愧變系緞統(tǒng)的勉結構繭、參嚷數(shù)或閥附加哈具有澡一定島功能王的環(huán)唉節(jié)的跑方法伸稱為窗對系則統(tǒng)進儲行校槐正。原附加閃環(huán)節(jié)壓稱為評校正膝環(huán)節(jié)蠢。速度暮反饋銀和速撞度順獸饋是妄較常臂用的瓣校正備方法辛。5/4熱/20折2332改善型二階恒系統(tǒng)向響應缺特性交的措蓄施a.輸出量煎的速度州反饋控鎮(zhèn)制---與典型二階系統(tǒng)的標準形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調量δ%和調節(jié)時間ts變小。5/4僅/20膜2333改善二衡階系統(tǒng)膝響應特紡性的措科施+-b.誤差的羨比例+氏微分控佩制-與典型來二階系裙統(tǒng)的標辨準形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調量δ%和調節(jié)時間ts變小。⒊閉環(huán)傳遞函數(shù)有零點，將會給系統(tǒng)帶來影響。5/宋4/帶20弊2334改善二根階系統(tǒng)假響應特隔性的措甚施c.比例+樸微分控蔥制與速前度反饋鋪控制的混關系--比例結+微譯分控小制相芹當于新分別裳對輸撈入信溜號和餅反饋悼信號拆進行纖比例巧+微纏分。荷其中段對反飄饋信迷號進倦行比聾例+懂微分脂相當靈于速移度反澇饋。末所以載誤差錫的比匹例+妥微分姓控制宮相當類于輸撐出的龜速度滔反饋胃構成笛的閉踏環(huán)系蠅統(tǒng)再笨串聯(lián)透比例王+微美分環(huán)營節(jié)。替因此犧可以炎將其逆分別梨討論則。-5/閘4/麻20宮2335具有騙零點徐的二朗階系旬統(tǒng)零極點分布圖四、具供有零點靠的二階啞系統(tǒng)分寬析具有零點的二階系統(tǒng)比典型的二階系統(tǒng)多一個零點，(和不變)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，零點為：具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應為：5/紹4/違20薦2336由上圖可看出：使得比響應迅速且有較大超調量。具有撫零點聞的二趨階系明統(tǒng)分遍析5/4鎮(zhèn)/20佛2337設為零點和極點實部之比具有樂零點闊的二卸階系估統(tǒng)分并析5/雷4/各20洗2338具有諒零點濟的二乏階系伶統(tǒng)分難析具有零制點的二業(yè)階系統(tǒng)批階躍響蜓應為：式中：，零極點分布圖5/4掙/20挽2339具有果零點飾的二院階系斤統(tǒng)分娛析根據上去式可以或得出主屋要性能誼指標如敬下：式中：，，5/閑4/量20蕩2340具有零錦點的二肆階系統(tǒng)扔分析具有廣零點屯的二畢階系械統(tǒng)階斃躍響外應為袖：5/4舉/20攏2341比例壤+微敏分控阻制的響性能+-比例+康微分控里制的性以能顯然，這是一個典型二階環(huán)節(jié)加微分順饋。不同的是其原二階環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)增加了，變?yōu)?，而無阻尼振蕩頻率不變。我們知道，當阻尼系數(shù)不變時，附加零點會使系統(tǒng)的超調量增大。但是，增加了順饋環(huán)節(jié)雖然增加了一個零點，卻使系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加了。一般來講，超調量會下降。這樣，就能改善系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。5/4續(xù)/20啦2342具有零今點的二母階系統(tǒng)魄分析5/事4/島20圍2343我們可以不證明地給出c(t)的緊湊形式：20根據上式可以得出主要性能指標如下：①②③具有甜零點農的二倍階系盼統(tǒng)分彈析5/刷4/升20喇2344瞬態(tài)成過程都的性歡能指延標例刮3-噴1[解]：①③當T不變時，T=0.25，②[例3-1]：如圖所示系統(tǒng)，試求：①和;②和③若要求時，當T不變時K=?5/4裙/20峽2345瞬態(tài)畢過程錦的性重能指色標例阿3-煩2[解]：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：[例3-2]：上例中，用速度反饋改善系統(tǒng)的性能。如下圖所示。為使，求的值。并計算加入速度反饋后的瞬態(tài)指標。--165/將4/淺20良2346這時徐的瞬俱態(tài)性離能指恒標為受：瞬態(tài)狀過程耽的性徐能指沙標例房誠3-慌2顯然，加入了速度反饋后，不變，而增加了倍。上例中，若要求，則：5/4崖/20旨2347具有綁零點墊的二易階系相統(tǒng)性五能指柜標與講實例[解]：[例3-3]對典型的二階系統(tǒng)（）采用微分順饋校正。為使，試確定順饋系數(shù)和。5/狗4/姿20菜2348具有零冷點的二德階系統(tǒng)賭性能指翅標與實姐例與未加微分順饋時比較：

顯然，加了微分順饋后，瞬態(tài)品質提高了。表三識羅列介了典民型二漠階系膨統(tǒng)，羞附加百速度騙反饋重，附剪加微對分順蘿饋后樂的性趴能指惡標。5/4希/20翅2349五、擾逢動作用完下典型蘭二階系放統(tǒng)的分陡析擾動作晌用下